Operazioni binarie!? Differenze nel concetto.
Salve a tutti,
mi ritrovo a studiare analisi matematica 2, ed il docente ha voluto rinfrescare un pò la memoria con alcuni pre-corsi reintroducendo il concetto di operazione binaria.... egli disse:
E bene, qui nasce il mio dubbio, lui ci disse poi che le operazioni binarie interne da noi trattate non sono state trattate secondo quella definizione ma secondo quest'altra:
E bene, l'unica differenza, secondo lui, è che si è preferito scegliere un insieme del tipo $F={((x,y),z)|P(x,y)=z}$ e da qui si giustificano le scritture in merito alla commutativa, associativa, ... ma sopratturro la def. di operazione binaria come funzione che a sua volta veniva definita come legge/predicato/proprietà.
Ci disse anche, se dovessimo trattare gli insiemi del tipo $F$ senza un predicato, e senza almeno un simbolo dell'uguaglianza, ci complicheremo moltissimo la vita...
Tutto sommato mi sembrò esser coerente, e soprattuto non fece errori a livello concettuale... o almeno non ne ho sentiti..
La mia domanda è, perchè nei miei studi ho sempre incontrato la def., in ogni libro, di operazione binaria come legge o proprietà... e perchè non vi sono testi che fanno diversamente? Sono davvero molto incuriosito da ciò che vorrei parlarne!
Ringrazio anticipatamente!
Cordiali saluti
P.S.=E' una mia semplice curiosità! Tutto sommato, alle sue osservazioni c' ero arrivato anch'io ma avevo bisogno di una conferma da uno specialista... fu come la manna dal cielo per me!
mi ritrovo a studiare analisi matematica 2, ed il docente ha voluto rinfrescare un pò la memoria con alcuni pre-corsi reintroducendo il concetto di operazione binaria.... egli disse:
"un insieme $F$ è un' operazioni binaria in un insieme $A$, trattiamo solamente quelle interne, se $F:A xx A ->A$, ovvero una funzione, e quindi secondo la def. "una relazione binaria, in questo caso, di $A xx A$ in $A$ che soddisfa la quantificazione, sempre in questo caso, $AA(x,y)in A xx A(EE! z in A(((x,y),z) in F)$".
E bene, qui nasce il mio dubbio, lui ci disse poi che le operazioni binarie interne da noi trattate non sono state trattate secondo quella definizione ma secondo quest'altra:
"un insieme $F$, ove $F={((x,y),z)|P(x,y)=z}$, è un' operazioni binaria in un insieme $A$, trattiamo solamente quelle interne, se $F:A xx A ->A$, ovvero una funzione, e quindi secondo la def. "una relazione binaria, in questo caso, di $A xx A$ in $A$ che soddisfa la quantificazione, sempre in questo caso, $AA(x,y)in A xx A(EE! z in A(((x,y),z) in F)$".
E bene, l'unica differenza, secondo lui, è che si è preferito scegliere un insieme del tipo $F={((x,y),z)|P(x,y)=z}$ e da qui si giustificano le scritture in merito alla commutativa, associativa, ... ma sopratturro la def. di operazione binaria come funzione che a sua volta veniva definita come legge/predicato/proprietà.
Ci disse anche, se dovessimo trattare gli insiemi del tipo $F$ senza un predicato, e senza almeno un simbolo dell'uguaglianza, ci complicheremo moltissimo la vita...
Tutto sommato mi sembrò esser coerente, e soprattuto non fece errori a livello concettuale... o almeno non ne ho sentiti..
La mia domanda è, perchè nei miei studi ho sempre incontrato la def., in ogni libro, di operazione binaria come legge o proprietà... e perchè non vi sono testi che fanno diversamente? Sono davvero molto incuriosito da ciò che vorrei parlarne!
Ringrazio anticipatamente!
Cordiali saluti
P.S.=E' una mia semplice curiosità! Tutto sommato, alle sue osservazioni c' ero arrivato anch'io ma avevo bisogno di una conferma da uno specialista... fu come la manna dal cielo per me!
Risposte
"Martino":
Il punto è che le (quattro) operazioni si sapeva maneggiarle molto prima di (avere la necessità di) sapere cosa fossero
Ciao Martino, la frase che ho quotato la ritengo interessante. Sai per caso quando fu formalizzato per bene il concetto di operazione e di funzione?
Grazie!
Probabilmente verso fine ottocento / inizio novecento, quando ci si è posti il problema dei fondamenti.
Ma prima di tale data si aveva un'idea intuitiva del concetto di funzione/operazione o proprio non si sapeva cosa fosse?
Se la risposta è la seconda, mi chiedo come sia stato possibile costruire l'intero edificio matematico!
Come mai ci si è posto il problema dei fondamenti solo in quel momento e chi se l'è posto?
Grazie
Scusa per l'OT, è l'ultimo.
Se la risposta è la seconda, mi chiedo come sia stato possibile costruire l'intero edificio matematico!
Come mai ci si è posto il problema dei fondamenti solo in quel momento e chi se l'è posto?
Grazie
Scusa per l'OT, è l'ultimo.
Prima si pensava alle funzioni come ad applicazioni, o leggi, o regole, e questo era abbastanza formale per lavorarci. Da quando si è sentita la necessità di ridurre gli assiomi ai minimi termini ci si è messi a far nascere tutto dal concetto indefinibile di "insieme", ma la teoria degli insiemi è solo una delle possibili teorie, si possono creare altre teorie in cui le funzioni sono definite in altri modi comunque accettabili. Quanto al problema dei fondamenti, forse è meglio che fai una ricerca su google, io non ne so tanto da farti un'esposizione.
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