Operazione del gruppo GL2 su F2
Ciao a tutti,
per lunedì devo consegnare un esercizio per il corso di algebra e teoria dei numeri, e non riesco ad impostare il problema.
"$GL_2(\mathbb F_2)$ opera su ${\mathbb F_2}^2$ \ ${0}$. Si dimostri che:
1. Questa operazione è transitiva
2. Questa operazione è fedele
3. $GL_2(\mathbb F_2)$ è isomorfo al gruppo simmetrico $S_3$"
Mio tentativo di impostare il problema
1. L'operazione è quindi del gruppo $GL_2(\mathbb F_2)$ sull'insieme ${\mathbb F_2}^2$ \ ${0}$. Ciò significa che:
$G × M → M ; (g, m) → g · m$
quindi vale la proprietà dell'esistenza dell'elemento neutro e l'associatività relative all'operazione.
Vi prego di correggermi se sbaglio.
L'operazione è transitiva se esiste un'unica orbita. L'orbita di $m in M$ è definita come tutti gli elementi tali che: $O(m):={gm in M | g in G}$.
L'insieme ${\mathbb F_2}^2$ \ ${0}$ è composto dai tre elementi $(0,1),(1,0),(1,1)$.
Il gruppo $GL_2(\mathbb F_2)$ invece è composto dai 6 elementi ${((1,0),(0,1)),((0,1),(1,0)),((0,1),(1,1)),((1,0),(1,1)),((1,1),(0,1)),((1,1),(1,0))}$.
Ma qui mi blocco, in quanto credo che non mi sia chiara la definizione di orbita. Se provo a prendere i primi due elementi di G ed M ho:
$((1,0),(0,1))(0,1)=(0,1) in M | g in G$, ma questo vale anche se considero il secondo elemento di M: $((1,0),(0,1))(1,0)=(1,0) in M | g in G$.
Dove è che sbaglio?
per lunedì devo consegnare un esercizio per il corso di algebra e teoria dei numeri, e non riesco ad impostare il problema.
"$GL_2(\mathbb F_2)$ opera su ${\mathbb F_2}^2$ \ ${0}$. Si dimostri che:
1. Questa operazione è transitiva
2. Questa operazione è fedele
3. $GL_2(\mathbb F_2)$ è isomorfo al gruppo simmetrico $S_3$"
Mio tentativo di impostare il problema
1. L'operazione è quindi del gruppo $GL_2(\mathbb F_2)$ sull'insieme ${\mathbb F_2}^2$ \ ${0}$. Ciò significa che:
$G × M → M ; (g, m) → g · m$
quindi vale la proprietà dell'esistenza dell'elemento neutro e l'associatività relative all'operazione.
Vi prego di correggermi se sbaglio.
L'operazione è transitiva se esiste un'unica orbita. L'orbita di $m in M$ è definita come tutti gli elementi tali che: $O(m):={gm in M | g in G}$.
L'insieme ${\mathbb F_2}^2$ \ ${0}$ è composto dai tre elementi $(0,1),(1,0),(1,1)$.
Il gruppo $GL_2(\mathbb F_2)$ invece è composto dai 6 elementi ${((1,0),(0,1)),((0,1),(1,0)),((0,1),(1,1)),((1,0),(1,1)),((1,1),(0,1)),((1,1),(1,0))}$.
Ma qui mi blocco, in quanto credo che non mi sia chiara la definizione di orbita. Se provo a prendere i primi due elementi di G ed M ho:
$((1,0),(0,1))(0,1)=(0,1) in M | g in G$, ma questo vale anche se considero il secondo elemento di M: $((1,0),(0,1))(1,0)=(1,0) in M | g in G$.
Dove è che sbaglio?
Risposte
Scusa ma cosa ti turba di quanto hai scritto? Cioè, perché pensi di sbagliare? Dove poi? Non hai avanzato nessuna tesi.
La definizione di orbita di un elemento è $O(m) = {g\cdotm | g \in G}$, come hai ben scritto. Cosa vuol dire che $y \in O(m)$? Vuol dire che $\exists g \in G$ tale che $y = g\cdotm$. Alla luce di ciò, cosa vuol dire che esiste un'unica orbita?
La definizione di orbita di un elemento è $O(m) = {g\cdotm | g \in G}$, come hai ben scritto. Cosa vuol dire che $y \in O(m)$? Vuol dire che $\exists g \in G$ tale che $y = g\cdotm$. Alla luce di ciò, cosa vuol dire che esiste un'unica orbita?
Pensavo di trovare solo un elemento che facesse parte di $O (m) $, invece ne ho già trovati due (ossia ho trovato due y). Giusto?
No, non hai trovato niente. Da quanto hai scritto hai semplicemente detto che $(1,0)\in O((1,0))$ e $(0,1) \in O((0,1))$(e grazie tante, hai fatto agire l'identità del gruppo 
). Questo non vuol dire che le due orbite sono diverse.
Mi dici allora cosa vuol dire che c'è un'unica orbita?
). Questo non vuol dire che le due orbite sono diverse.Mi dici allora cosa vuol dire che c'è un'unica orbita?
Si è qui in effetti che non capisco. L'orbita è unica se esiste ed è unica la $g in G $ per cui vale la relazione sopra citata?
Le orbite esistono sempre e orbite distinte sono disgiunte. Se il gruppo agisce transitivamente su un insieme vuol dire che tutti gli elementi dell'insieme sono contenuti in una sola orbita, come scritto sopra $x \in O(m) iff \exists g \in G | x = g \cdot m$.
La $g$ per cui questo avviene non è detto che sia unica unica: se lo stabilizzatore di $m$ non contiene solo l'identità allora è chiaro che $g' \in Stab(m)$ non banale implica $gg' \cdot m = g \cdot m = x$.
Dimostrare che l'azione è transitiva equivale a dire che, fissato $m \in X$($X$ è l'insieme su cui agisco), $\forall y \in X \exists g \in G | y = g \cdot m$.
Inoltre se l'azione è transitiva la scelta di $m$ è indifferente, infatti se scegli $m' != m$, poiché l'azione è transitiva $\exists g \in G | m = g\cdotm'$ e quindi $O(m) \nn O(m') != \emptyset => O(m) = O(m')$.
Chiaro?
La $g$ per cui questo avviene non è detto che sia unica unica: se lo stabilizzatore di $m$ non contiene solo l'identità allora è chiaro che $g' \in Stab(m)$ non banale implica $gg' \cdot m = g \cdot m = x$.
Dimostrare che l'azione è transitiva equivale a dire che, fissato $m \in X$($X$ è l'insieme su cui agisco), $\forall y \in X \exists g \in G | y = g \cdot m$.
Inoltre se l'azione è transitiva la scelta di $m$ è indifferente, infatti se scegli $m' != m$, poiché l'azione è transitiva $\exists g \in G | m = g\cdotm'$ e quindi $O(m) \nn O(m') != \emptyset => O(m) = O(m')$.
Chiaro?
Grazie mille del supporto e scusami della mia lentezza ma sono un vero principiante in questi temi 
.
Credo di aver capito. Ho quindi impostato la soluzione per i tre punti da risolvere come segue.
1.
Definisco l'insieme M come: $M=\mathbb F_2^2$ \ ${0} = {x,y,z}={((0),(1)),((1),(0)),((1),(1))}$
e il gruppo G: $G=GL_2(\mathbb F_2)={g_1,g_2,g_3,g_4,g_5,g_6}={((1,0),(1,1)),((0,1),(1,1)),((1,1),(0,1)),((1,1),(1,0)),((1,0),(0,1)),((0,1),(1,0))}$
Considero $m_1$ con $g_1, g_2, g_6$: $O(m_1)={g*m_1 in M : g in G}={(((1,0),(1,1))((0),(1)), (((0,1),(1,1))((0),(1)), (((0,1),(1,0))((0),(1))}={((0),(1)),((1),(0)),((1),(1))}$,
ho quindi riprodotto già tutto M e posso quindi fermarmi, valendo $O(m_i) sube M$ (in questo caso ho $O(m_1) = M$). Poichè anche $m_2,m_3 in O(m_1)$, vale quindi: $O(m_1)=O(m_2)=O(m_3)=M$, e quindi esiste solo un'orbita.
2.
L'operazione è fedele se vale:
${e}={g in G : g*m=m AA m in M}$
in tal caso basta considerare $g=g_5=((1,0),(0,1))$:
Si ottiene: ${g*m=m AA m in M, text{con } g=g_5=((1,0),(0,1))}=((1,0),(0,1))={e}$
Quindi l'operazione è fedele.
3.
Si ha $S_3:={text{Gruppo simmetrico di ordine 3 }}=S(N)=S({1,2,3})$.
Dobbiamo mostrare che $\alpha : GL_2(\mathbb F_2) \rightarrow S_3$ è un isomorfismo (ossia un omomorfismo di gruppi biiettivo), con $\alpha(g)(n)=gn, text{ con } g in GL_2(\mathbb F_2)=G, n in N, s=gn in S_3$
Mostriamo che $\alpha$ è un omomorfismo:
Vale, per ogni $g_i,g_j in G=GL_2(\mathbb F_2)$ e per ogni $n in N$: $(\alpha(g_i)*\alpha(g_j))*m=\alpha(g_i)*(\alpha(g_j)*m)=g_i*(g_j*m)=(g_i*g_j)*m=\alpha(g_i*g_j)*m$, dove per le uguaglianze abbiamo usato le proprietà dei prodotti righe per colonne di matrici (in particolare la moltiplicazione con scalari $n in RR$) e abbiamo semplicemente applicato la trasformazione $\alpha(g)=g$.
Mostriamo che l'omomorfismo è biiettivo:
è biiettivo se esiste l'inversa di $\alpha(g)=g$ ed è unica. Nel nostro caso, poichè gli elementi g sono delle matrici 2x2 con determinante diverso da zero, l'inversa esiste ed è la $\alpha^-1(g)=g^-1$. Sappiamo che è unica, e, se definiamo $\alpha(g)=g=((a,b),(c,d))$, vale: $\alpha^-1(g)=g^-1=[1/(ad-bc)]*((d,-b),(-c,a))$. Lo mostriamo esplicitamente per le nostre $g_i$:
$g_1^-1=((1,0),(-1,1))$ , $g_2^-1=((-1,1),(1,0))$ , $g_3^-1=((1,-1),(0,1))$ , $g_4^-1=((0,1),(1,-1))$ , $g_5^-1=((1,0),(0,1))$ , $g_6^-1=((0,1),(1,0))$ .
Quindi $\alpha$ è un isomorfismo.
Sono corrette come soluzioni?
. Credo di aver capito. Ho quindi impostato la soluzione per i tre punti da risolvere come segue.
1.
Definisco l'insieme M come: $M=\mathbb F_2^2$ \ ${0} = {x,y,z}={((0),(1)),((1),(0)),((1),(1))}$
e il gruppo G: $G=GL_2(\mathbb F_2)={g_1,g_2,g_3,g_4,g_5,g_6}={((1,0),(1,1)),((0,1),(1,1)),((1,1),(0,1)),((1,1),(1,0)),((1,0),(0,1)),((0,1),(1,0))}$
Considero $m_1$ con $g_1, g_2, g_6$: $O(m_1)={g*m_1 in M : g in G}={(((1,0),(1,1))((0),(1)), (((0,1),(1,1))((0),(1)), (((0,1),(1,0))((0),(1))}={((0),(1)),((1),(0)),((1),(1))}$,
ho quindi riprodotto già tutto M e posso quindi fermarmi, valendo $O(m_i) sube M$ (in questo caso ho $O(m_1) = M$). Poichè anche $m_2,m_3 in O(m_1)$, vale quindi: $O(m_1)=O(m_2)=O(m_3)=M$, e quindi esiste solo un'orbita.
2.
L'operazione è fedele se vale:
${e}={g in G : g*m=m AA m in M}$
in tal caso basta considerare $g=g_5=((1,0),(0,1))$:
Si ottiene: ${g*m=m AA m in M, text{con } g=g_5=((1,0),(0,1))}=((1,0),(0,1))={e}$
Quindi l'operazione è fedele.
3.
Si ha $S_3:={text{Gruppo simmetrico di ordine 3 }}=S(N)=S({1,2,3})$.
Dobbiamo mostrare che $\alpha : GL_2(\mathbb F_2) \rightarrow S_3$ è un isomorfismo (ossia un omomorfismo di gruppi biiettivo), con $\alpha(g)(n)=gn, text{ con } g in GL_2(\mathbb F_2)=G, n in N, s=gn in S_3$
Mostriamo che $\alpha$ è un omomorfismo:
Vale, per ogni $g_i,g_j in G=GL_2(\mathbb F_2)$ e per ogni $n in N$: $(\alpha(g_i)*\alpha(g_j))*m=\alpha(g_i)*(\alpha(g_j)*m)=g_i*(g_j*m)=(g_i*g_j)*m=\alpha(g_i*g_j)*m$, dove per le uguaglianze abbiamo usato le proprietà dei prodotti righe per colonne di matrici (in particolare la moltiplicazione con scalari $n in RR$) e abbiamo semplicemente applicato la trasformazione $\alpha(g)=g$.
Mostriamo che l'omomorfismo è biiettivo:
è biiettivo se esiste l'inversa di $\alpha(g)=g$ ed è unica. Nel nostro caso, poichè gli elementi g sono delle matrici 2x2 con determinante diverso da zero, l'inversa esiste ed è la $\alpha^-1(g)=g^-1$. Sappiamo che è unica, e, se definiamo $\alpha(g)=g=((a,b),(c,d))$, vale: $\alpha^-1(g)=g^-1=[1/(ad-bc)]*((d,-b),(-c,a))$. Lo mostriamo esplicitamente per le nostre $g_i$:
$g_1^-1=((1,0),(-1,1))$ , $g_2^-1=((-1,1),(1,0))$ , $g_3^-1=((1,-1),(0,1))$ , $g_4^-1=((0,1),(1,-1))$ , $g_5^-1=((1,0),(0,1))$ , $g_6^-1=((0,1),(1,0))$ .
Quindi $\alpha$ è un isomorfismo.
Sono corrette come soluzioni?
Ok per il primo punto.
Da quanto hai scritto si evince solo che $e \in {g \in G | g \cdot m = m \forall m \in M}$. O almeno io ho capito questo.
Gruppo simmetrico su $3$ elementi o su un insieme di $3$ elementi, non di ordine $3$.
Scusa... $gn \in S_3$? Intanto l'azione non la stai facendo su ${1, 2, 3}$ ma su ${ ( (1), (0)), ( (0), (1)), ( (1), (1))}$, quindi $N = { ( (1), (0)), ( (0), (1)), ( (1), (1))}$, ora: se $g$ agisce su $n \in N$ deve restituire un elemento di $N$, quindi chiaramente $gn$ non è un elemento di $S_3$.
"Guerino":
2.
L'operazione è fedele se vale:
${e}={g in G : g*m=m AA m in M}$
in tal caso basta considerare $g=g_5=((1,0),(0,1))$:
Si ottiene: ${g*m=m AA m in M, text{con } g=g_5=((1,0),(0,1))}=((1,0),(0,1))={e}$
Quindi l'operazione è fedele.
Da quanto hai scritto si evince solo che $e \in {g \in G | g \cdot m = m \forall m \in M}$. O almeno io ho capito questo.
3.
Si ha $S_3:={text{Gruppo simmetrico di ordine 3 }}=S(N)=S({1,2,3})$.
Gruppo simmetrico su $3$ elementi o su un insieme di $3$ elementi, non di ordine $3$.
Dobbiamo mostrare che $\alpha : GL_2(\mathbb F_2) \rightarrow S_3$ è un isomorfismo (ossia un omomorfismo di gruppi biiettivo), con $\alpha(g)(n)=gn, text{ con } g in GL_2(\mathbb F_2)=G, n in N, s=gn in S_3$
Scusa... $gn \in S_3$? Intanto l'azione non la stai facendo su ${1, 2, 3}$ ma su ${ ( (1), (0)), ( (0), (1)), ( (1), (1))}$, quindi $N = { ( (1), (0)), ( (0), (1)), ( (1), (1))}$, ora: se $g$ agisce su $n \in N$ deve restituire un elemento di $N$, quindi chiaramente $gn$ non è un elemento di $S_3$.
Grazie hai ragione!
Correggo al volo il tutto
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