Operazione binaria interna

[filyterzo]

Salve.
Come da programma, oggi mi son imbattutto sulla "operazione binaria interna".



Tra gli esempi che vengono esposti sul libro, vi sono il punto d) e il punto e) che non riesco a comprendere:
Nel caso del punto d) perché: (a,b) + (c,d) = (a+b, b+d)?
Nel caso del punto e) si parla di un certo Zn, di cui sconosco ogni riferimento.
Di cosa si tratta?
Grazie anticipatamente per le eventuali risposte.
Cordiali saluti.

[Pappappero1]

Nel punto (d) credo che ci sia un errore di stampa: probabilmente $(a,b)+(c,d) = (a+c,b+d)$ è l'operazione più naturale su $\RR^2$. Tuttavia, formalmente anche l'operazione indicata ha il diritto di essere un'operazione binaria (è una funzione da $\RR^2 \times \RR^2$ in $\RR^2$, perciò è un operazione, sebbene sia poco naturale).

Nel punto (e), $\ZZ_n$ sono le classi di resto modulo $n$, spesso indicate anche con $\ZZ/{n\ZZ}$. Dimostrare che in effetti la somma scritta in quel modo definisce un operazione è un esercizio che aiuta a chiarire come funzionano le classi di resto e cosa vuol dire che "un'operazione passa al quoziente". Se non sai cosa sono le classi di resto, puoi immaginare di fare la somma delle ore su un orologio in cui il quadrante mostra $n$ ore, indicate da $0$ a $n-1$ (per intendersi, $\ZZ/{12\ZZ}$ è il nostro orologio da polso, con l'unica eccezione che ci si scrive uno zero invece che un 12); tuttavia, con questa "definizione", provare che l'operazione così definita è un'operazione non chiarisce un bel niente.

[Maci86]

d) L'hanno inventata in quel modo, non è nulla di quello che conosci

[filyterzo]

Allora mi chiedo, cos'è la "operazione binaria interna"?
Magari specificando la risposta in contenuti più banali e con esempi...

Cioè, ho capito che se considerassimo una relazione tra insiemi definita come "applicazione", ad esempio f, la operazione binaria interna non è altro che il prodotto cartesiano che abbiamo visto precedentemente nelle operazioni fra insiemi. Quindi, si tratta di associazione di coppie ordinate?

[Pappappero1]

Ci sono due passaggi importanti da capire: la definizione di funzione (sinonimo di applicazione) come relazione tra due insiemi, e la definizione di operazione come funzione su un prodotto cartesiano. Qui ci interessa il secondo passaggio, tuttavia per rinfrescare le idee diamo una rispolverata anche alla prima definizione.

Ogni funzione $f: A \to B$ è una relazione su $A \times B$, ovvero un sottoinsieme di $A \times B$, con certe proprietà. In particolare si vuole che:
- per ogni $a \in A$, ci sia una coppia in cui $a$ compare come prima entrata - nella notazione più comune si vuole che per ogni $a \in A$ sia definito un elemento $f(a) \in B$.
- si vuole che questa associazione sia univocamente determinata da $a$, cioè che se $(a,b)$ e $(a,b')$ sono nella relazione, allora $b = b'$. In altri termini, questo vuol dire che non possono esserci due elementi diversi entrambi immagine di un $a$.

Dunque questa è una funzione. Tuttavia, siccome detta in questi termini la si fa più complicata di quanto è in realtà, quando si pensa a una funzione si pensa a una regola che associa a ogni elemento $a$ di un insieme $A$ uno e un solo elemento di un insieme $B$ e quell'elemento lo si indica con $f(a)$.

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Una operazione binaria interna su $A$ è una funzione $\phi: A \times A \to A$. Quindi, dicendola come ci piace, è una regola che manda una coppia $(a_1,a_2) \in A\times A$ in un elemento di $A$, che si può indicare con $\phi(a_1,a_2)$, ma spesso più semplicemente ci piace indicarla con $a_1 \cdot a_2$ (o con altri simboli, $+,\oplus,\otimes,\wedge$, e chi più ne ha più ne metta). Parlando formalmente, un'operazione binaria è una relazione su $(A\times A) \times A$, cioè un sottoinsieme di $(A\times A) \times A$, che soddisfi le due proprietà richieste per una funzione, in cui $A\times A$ gioca il ruolo che giocava $A$ prima, e $A$ gioca il ruolo che giocava $B$.