Operatore di derivazione e derivazione polinomi
D, l'operatore di derivazione è un operatore lineare (cioè un'applicazione da $CC[x]$ in sè che soddisfa le due condizioni $D(f + g) = D(f) + D(g)$, $D(\alphaf) = \alphaD(f); (AAf, g in CC[x], AA\alpha in CC$) tale che:
$Dx^n := nx^(n-1)$ $AAn in NN$
Da ciò segue che $D(a(x))=D(a_nx^n+a_(n-1)x^(n-1)+...+a_1x+a_0)$ e che $D(a(x)b(x))= a(x)D(b(x))+ b(x)D(a(x))$
Posto $a(x)=x^2-2x+1$ e $b(x)=x^2-1$ si ha:
$D((x^2-2x+1)(x^2-1)) = (x^2-2x+1)D(x^2-1)+(x^2-1)D(x^2-2x+1)=(x^2-2x+1)2x+(x^2-1)(2x-2)=$
$=2x^3-4x^2+2x+2x^3-2x^2-2x+2=4x^3-6x^2+2$
invece
$D((x^2-2x+1)(x^2-1)) = D(x^4-x^2-2x^3+2x+x^2-1) = D(x^4-2x^3-1) = 4x^3-6x^2$
Dove sbaglio?
$Dx^n := nx^(n-1)$ $AAn in NN$
Da ciò segue che $D(a(x))=D(a_nx^n+a_(n-1)x^(n-1)+...+a_1x+a_0)$ e che $D(a(x)b(x))= a(x)D(b(x))+ b(x)D(a(x))$
Posto $a(x)=x^2-2x+1$ e $b(x)=x^2-1$ si ha:
$D((x^2-2x+1)(x^2-1)) = (x^2-2x+1)D(x^2-1)+(x^2-1)D(x^2-2x+1)=(x^2-2x+1)2x+(x^2-1)(2x-2)=$
$=2x^3-4x^2+2x+2x^3-2x^2-2x+2=4x^3-6x^2+2$
invece
$D((x^2-2x+1)(x^2-1)) = D(x^4-x^2-2x^3+2x+x^2-1) = D(x^4-2x^3-1) = 4x^3-6x^2$
Dove sbaglio?
Risposte
"GundamRX91":
$D((x^2-2x+1)(x^2-1)) = D(x^4-x^2-2x^3+2x+x^2-1) = D(x^4-2x^3-1) = 4x^3-6x^2$
Ti è semplicemente "sparito" $2x$ nel prodotto.
Scusate, la distrazione/fretta/poca attenzione mi affligge.Grazie
Sto provando a dimostrare la seguente proposizione, ma ho delle difficoltà nella seconda parte.
Proposizione: Un polinomio $a(x)$ ammette una radice (almeno) doppia $\rho$
se e solo se essa è radice anche del suo polinomio derivato $a'(x)$. Più in
generale, $\rho$ è una radice di molteplicità $h$ se e solo se annulla, insieme con
$a(x)$, anche tutte le sue derivate successive fino alla $(h-1)$-esima ma non
la h-esima: $a(\rho) = a'(\rho) = a''(\rho) = ... = a^(h-1)(\rho) = 0 != a(h)(\rho)$.
Dimostrazione: Sia $\rho$ una radice di $a(x)$; allora $a(x) = (x-\rho)q(x)$.
$\rho$ è (almeno) doppia se e solo se $q(\rho) = 0$, per cui da
$a'(x) =q(x) + (x-\rho)q'(x)$ sostituendo $\rho$ ad $x$ si ottiene
$a'(\rho) = q(\rho) + (\rho-\rho)q'(\rho) = q(\rho)$.
La seconda parte non riesco ad impostarla.....
Proposizione: Un polinomio $a(x)$ ammette una radice (almeno) doppia $\rho$
se e solo se essa è radice anche del suo polinomio derivato $a'(x)$. Più in
generale, $\rho$ è una radice di molteplicità $h$ se e solo se annulla, insieme con
$a(x)$, anche tutte le sue derivate successive fino alla $(h-1)$-esima ma non
la h-esima: $a(\rho) = a'(\rho) = a''(\rho) = ... = a^(h-1)(\rho) = 0 != a(h)(\rho)$.
Dimostrazione: Sia $\rho$ una radice di $a(x)$; allora $a(x) = (x-\rho)q(x)$.
$\rho$ è (almeno) doppia se e solo se $q(\rho) = 0$, per cui da
$a'(x) =q(x) + (x-\rho)q'(x)$ sostituendo $\rho$ ad $x$ si ottiene
$a'(\rho) = q(\rho) + (\rho-\rho)q'(\rho) = q(\rho)$.
La seconda parte non riesco ad impostarla.....
"GundamRX91":
La seconda parte non riesco ad impostarla.....
Prendimi con le molle, sono un neofita. Prova comunque a far così: supponi che $\rho$ (radice di $a(x)$) sia doppia e che sia $a′(\rho)!=0$ e vedi che succede: probabilmente troverai una contraddizione.
Non ci arrivo.
Istintivamente mi viene da cercare un modo per andare dalla derivata $a'(x)$ al polinomio originale $a(x)$ ma non credo sia la strada giusta, se ha poi
senso.
Istintivamente mi viene da cercare un modo per andare dalla derivata $a'(x)$ al polinomio originale $a(x)$ ma non credo sia la strada giusta, se ha poi
senso.
Un aiutino?
"GundamRX91":
Proposizione: Un polinomio $a(x)$ ammette una radice (almeno) doppia $\rho$
se e solo se essa è radice anche del suo polinomio derivato $a'(x)$.
Ok la prima parte. Per il viceversa, supponi ci sia un $alpha$ tale che $f(alpha)=f '(alpha) =0$ (indico il polinomio con $f(x)$). Per Ruffini, $(X-alpha)$ divide $f(x)$, quindi $f(X)=(x-alpha)h(x)$. Derivando formalmente (è un prodotto) ottieni $f'(X)=h(x)+(x-alpha)h'(x)$. Di nuovo, per l'ipotesi e per Ruffini, $(x-alpha)$ divide $f'(X)$: quindi (e ti chiedo di pensare bene a questo passaggio) $(x-alpha)$ necessariamente divide $h(x)$, i.e. $h(x)=(x-alpha)g(x)$.
Risostituendo all'indietro, si ottiene che $(x-alpha)^2$ divide $f(x)$.
Più chiaro adesso?
Buono studio
Oddio, vediamo se ho capito 
Sia $\rho$ una radice (almeno doppia) del polinomio derivato $a'(x)$ tale che $a'(\rho)=0$
Posto $a'(x)=h(x)+(x-\rho)h'(x)$ da cui $0=a'(\rho)=h(\rho)+(\rho-\rho)h'(\rho)=0$ allora $x-\rho|h(x)$
per cui $EEq(x)$ tale che $h(x)=(x-\rho)q(x)$.
Segue allora che $a(x)=(x-\rho)h(x)=(x-\rho)q(x)(x-\rho)=(x-\rho)^2q(x)$
E' corretto?
Sia $\rho$ una radice (almeno doppia) del polinomio derivato $a'(x)$ tale che $a'(\rho)=0$
Posto $a'(x)=h(x)+(x-\rho)h'(x)$ da cui $0=a'(\rho)=h(\rho)+(\rho-\rho)h'(\rho)=0$ allora $x-\rho|h(x)$
per cui $EEq(x)$ tale che $h(x)=(x-\rho)q(x)$.
Segue allora che $a(x)=(x-\rho)h(x)=(x-\rho)q(x)(x-\rho)=(x-\rho)^2q(x)$
E' corretto?
"GundamRX91":
Sia $\rho$ una radice (almeno doppia) del polinomio derivato $a'(x)$ tale che $a'(\rho)=0$
Mmm, non ci siamo. Non ho mica capito che cosa hai fatto. Sicuro di aver letto bene e con sufficiente attenzione quello che ho scritto io sopra?
Si ho letto bene, ma evidentemente allora non ho capito 
Forse con un esempio esplicito o direttamente con tutti passaggi (al limite dello stupido, quale sono io) forse ci arrivo.
Forse con un esempio esplicito o direttamente con tutti passaggi (al limite dello stupido, quale sono io) forse ci arrivo.
Premetto una cosa: per convenzione con $p,q,r,s$ si indicano i polinomi, mentre con $alpha, beta,...$ si indicano le radici.
@GundamRX91: la proposizione da te scritta può essere vista così:
Che $alpha$ sia radice di $p(x)$ è sempre vero per ipotesi di partenza.
Quindi quando vuoi dimostrare la seconda implicazione hai due ipotesi di partenza:
1) $p(x)=(x-alpha)*q(x)$
2) $p'(x)=(x-alpha)*s(x)$
Devi dimostrare che $alpha$ è radice per $q(x)$, ovvero che $q(alpha)=0$
Più chiaro ora?
@GundamRX91: la proposizione da te scritta può essere vista così:
Proposizione: sia $alpha$ radice del polinomio $p(x)$
$alpha$ è radice (almeno) doppia per $p(x)$ $<=>$ $alpha$ è radice di $p'(x)$
Che $alpha$ sia radice di $p(x)$ è sempre vero per ipotesi di partenza.
Quindi quando vuoi dimostrare la seconda implicazione hai due ipotesi di partenza:
1) $p(x)=(x-alpha)*q(x)$
2) $p'(x)=(x-alpha)*s(x)$
Devi dimostrare che $alpha$ è radice per $q(x)$, ovvero che $q(alpha)=0$
Più chiaro ora?
Suvvia, Gundam, non dire così. Non sei stupido, lo sai.
Sinceramente, non saprei che cosa aggiungere a quanto ti ho scritto prima: insomma, direi che ci sono tutti i passaggi della dimostrazione.
Mi parli di esempi: non te li ho proposti perchè secondo me non è il caso di vedere un esempio. Comunque, se vuoi un esempio, la cosa più utile da fare non è chiederlo agli altri, ma provare da solo a costruirselo. Non è per nulla difficile, se hai ben compreso l'enunciato del teorema.
Forza, Gundam, forza e coraggio. Non buttarti giù. Sii testardo e concentrati. Devi dimostrare che se $alpha$ è una radice di $f$ e di $f'$, allora è almeno doppia. Che cosa vuol dire questo? Scriviti tutte le tue deduzioni su un foglio e ripercorri la dimostrazione che ti ho scritto io.
E, ovviamente, se hai dubbi scrivi.
Sinceramente, non saprei che cosa aggiungere a quanto ti ho scritto prima: insomma, direi che ci sono tutti i passaggi della dimostrazione.
Mi parli di esempi: non te li ho proposti perchè secondo me non è il caso di vedere un esempio. Comunque, se vuoi un esempio, la cosa più utile da fare non è chiederlo agli altri, ma provare da solo a costruirselo. Non è per nulla difficile, se hai ben compreso l'enunciato del teorema.
Forza, Gundam, forza e coraggio. Non buttarti giù. Sii testardo e concentrati. Devi dimostrare che se $alpha$ è una radice di $f$ e di $f'$, allora è almeno doppia. Che cosa vuol dire questo? Scriviti tutte le tue deduzioni su un foglio e ripercorri la dimostrazione che ti ho scritto io.
E, ovviamente, se hai dubbi scrivi.
Intanto grazie per le risposte e il supporto 
Nelle prossime ore ci penso e poi vi faccio sapere.
e il supporto Nelle prossime ore ci penso e poi vi faccio sapere.
Scusate, ma ho bisogno di formalizzare meglio il problema perchè non mi è tutto molto chiaro.
Intanto si parla di polinomi ad una indeterminata a coefficienti in un campo, diciamo $K$, e il cui insieme dei polinomi è $K[x]$.
Sia $a(x) in K[x]$ un polinomio e sia $\alpha in K$ una radice di $a(x)$; allora $\alpha$ è almeno doppia se e solo se è radice
anche di $a'(x)$, ovvero:
$(x-\alpha)^2 | a(x) Leftrightarrow (x-\alpha)^2 | a'(x)$
$Rightarrow$
$(x-\alpha)^2 | a(x) => EEq(x) in K[x]$ tale che $a(x) = (x-\alpha)^2q(x)$, la cui derivata è $a'(x)=2(x-\alpha)q(x)+(x-\alpha)^2q'(x)$
Se $x=\alpha$ allora $a'(\alpha)=2(\alpha-\alpha)q(\alpha)+(\alpha-\alpha)^2q'(\alpha)=0+0=0$
$Leftarrow$
Se $\alpha in K$ è una radice di $a(x) in K[x]$ allora per Ruffini $EEq(x) in K[x]$ tale che $a(x)=(x-\alpha)q(x)$; derivando si ottiene
$a'(x)=1(x-\alpha)^0q(x)+(x-\alpha)q'(x)=q(x)+(x-\alpha)q'(x)$; se $x=\alpha$ allora $a'(\alpha)=q(\alpha)+(\alpha-\alpha)q'(\alpha)=q(\alpha)=0$,
quindi sempre per Ruffini $(x-\alpha)|q(x) => EEh(x) in K[x]$ tale che $q(x)=(x-\alpha)h(x)$, ma da $a(x)=(x-\alpha)q(x)$
per sostituzione si ha $a(x)=(x-\alpha)(x-\alpha)h(x)=(x-\alpha)^2h(x)$
Così mi sembra più chiaro, anche perchè non avevo considerato la molteplicità delle radici seppure lo indicassi
e quindi
non mi ci ritrovavo più per la parte inversa della dimostrazione (sempre che sia corretta
).
Intanto si parla di polinomi ad una indeterminata a coefficienti in un campo, diciamo $K$, e il cui insieme dei polinomi è $K[x]$.
Sia $a(x) in K[x]$ un polinomio e sia $\alpha in K$ una radice di $a(x)$; allora $\alpha$ è almeno doppia se e solo se è radice
anche di $a'(x)$, ovvero:
$(x-\alpha)^2 | a(x) Leftrightarrow (x-\alpha)^2 | a'(x)$
$Rightarrow$
$(x-\alpha)^2 | a(x) => EEq(x) in K[x]$ tale che $a(x) = (x-\alpha)^2q(x)$, la cui derivata è $a'(x)=2(x-\alpha)q(x)+(x-\alpha)^2q'(x)$
Se $x=\alpha$ allora $a'(\alpha)=2(\alpha-\alpha)q(\alpha)+(\alpha-\alpha)^2q'(\alpha)=0+0=0$
$Leftarrow$
Se $\alpha in K$ è una radice di $a(x) in K[x]$ allora per Ruffini $EEq(x) in K[x]$ tale che $a(x)=(x-\alpha)q(x)$; derivando si ottiene
$a'(x)=1(x-\alpha)^0q(x)+(x-\alpha)q'(x)=q(x)+(x-\alpha)q'(x)$; se $x=\alpha$ allora $a'(\alpha)=q(\alpha)+(\alpha-\alpha)q'(\alpha)=q(\alpha)=0$,
quindi sempre per Ruffini $(x-\alpha)|q(x) => EEh(x) in K[x]$ tale che $q(x)=(x-\alpha)h(x)$, ma da $a(x)=(x-\alpha)q(x)$
per sostituzione si ha $a(x)=(x-\alpha)(x-\alpha)h(x)=(x-\alpha)^2h(x)$
Così mi sembra più chiaro, anche perchè non avevo considerato la molteplicità delle radici seppure lo indicassi
e quindinon mi ci ritrovavo più per la parte inversa della dimostrazione (sempre che sia corretta
).
Non ho letto tutto, mi sono fermato qui:
Noti nulla? Ti pare tutto corretto? Converrai con me che non c'è speranza di produrre una dimostrazione corretta di un teorema se non si è ben compreso (e conseguentemente formalizzato) il suo enunciato.
"GundamRX91":
Sia $a(x) in K[x]$ un polinomio e sia $\alpha in K$ una radice di $a(x)$; allora $\alpha$ è almeno doppia se e solo se è radice
anche di $a'(x)$, ovvero:
$(x-\alpha)^2 | a(x) Leftrightarrow (x-\alpha)^2 | a'(x)$
Noti nulla? Ti pare tutto corretto? Converrai con me che non c'è speranza di produrre una dimostrazione corretta di un teorema se non si è ben compreso (e conseguentemente formalizzato) il suo enunciato.
Si, vero, non c'entra nulla con l'enunciato soprastante che, in fondo va bene com'è e al massimo potrei
scrivere $a'(\alpha)=0$.
scrivere $a'(\alpha)=0$.
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