Omomorfismo tra anelli e ufd
Salve a tutti, avrei una domanda da porre a chiunque voglia rispondermi:
Se ho un anello $A$ e devo dimostrare che è un UFD, è giusto cercare di provarlo trovando un omomorfismo $phi : A -> B$ con $B$ UFD? Cioè la domanda è questa, è vero che se ho un anello UFD e trovo un omomorfismo tra questo anello e un altro (che non so se sia UFD) allora anche quest'ultimo deve essere per forza UFD?
Se ho un anello $A$ e devo dimostrare che è un UFD, è giusto cercare di provarlo trovando un omomorfismo $phi : A -> B$ con $B$ UFD? Cioè la domanda è questa, è vero che se ho un anello UFD e trovo un omomorfismo tra questo anello e un altro (che non so se sia UFD) allora anche quest'ultimo deve essere per forza UFD?
Risposte
Un omomorfismo qualsiasi? Non credo che ti dia molte informazioni. L'omomorfismo nullo esiste sempre!
mmm...si in effetti questo è vero...però nel mio caso ero riuscito a trovare un omomorfismo non nullo, in questo caso mi dice qualcosa o è sempre troppo poco per concludere qualcosa...!??! Comunque l'esercizio su cui mi sono imbattuto e ho provato a risolvere in questo modo è questo (così forse si riesce a capire meglio):
Sia $A={f in QQ[x] | f(0) in ZZ}$ Si dica se $A$ è un UFD.
io avevo provato la strada descritta sopra trovando l'omomorfismo $phi: A->ZZ$ con $phi(f)=f(0)$, e siccome $ZZ$ è un UFDavevo pensato che bastasse...ma probabilmente non è così semplice a quanto pare vero..!?
Sia $A={f in QQ[x] | f(0) in ZZ}$ Si dica se $A$ è un UFD.
io avevo provato la strada descritta sopra trovando l'omomorfismo $phi: A->ZZ$ con $phi(f)=f(0)$, e siccome $ZZ$ è un UFDavevo pensato che bastasse...ma probabilmente non è così semplice a quanto pare vero..!?
Credo che si possa affrontare con un argomento simile a quello del lemma di Gauss: fattorizzi in [tex]\mathbb Q[x][/tex]; se un fattore ha termine noto non intero, raccogli il denominatore e poi distribuisci le sue varie potenze tra gli altri fattori in modo da ottenere solo polinomi a termine noto intero.
Ad esempio [tex](x + 2)(x+ \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}(x+2)(2x+1) = (\frac{1}{2} + 1)(2x + 1)[/tex]. Prova a seguire questa strada, se poi non ci riesci non appena ho un attimo di tempo provo a formalizzarla per bene...
Per quanto riguarda l'altra domanda, comunque è falsa: [tex]\mathbb Z[\sqrt{-5}][/tex] non ha fattorizzazione unica, ma [tex]i : \mathbb Z \hookrightarrow \mathbb Z[\sqrt{-5}][/tex] è un omomorfismo di anelli non banale (è l'immersione canonica).
Non so, però, se la suriettività dà informazioni aggiuntive: devo pensarci.
Ad esempio [tex](x + 2)(x+ \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}(x+2)(2x+1) = (\frac{1}{2} + 1)(2x + 1)[/tex]. Prova a seguire questa strada, se poi non ci riesci non appena ho un attimo di tempo provo a formalizzarla per bene...
Per quanto riguarda l'altra domanda, comunque è falsa: [tex]\mathbb Z[\sqrt{-5}][/tex] non ha fattorizzazione unica, ma [tex]i : \mathbb Z \hookrightarrow \mathbb Z[\sqrt{-5}][/tex] è un omomorfismo di anelli non banale (è l'immersione canonica).
Non so, però, se la suriettività dà informazioni aggiuntive: devo pensarci.
Una possibile formulazione: sia [tex]f \in A[/tex] e scomponiamolo in fattori irriducibili in [tex]\mathbb Q[x][/tex]: [tex]f(x) = g_1(x) g_2(x) \ldots g_n(x)[/tex]. Scriviamo [tex]g_i(x) = x g_i'(x) + a_i[/tex] (separiamo il termine noto). Allora [tex]f(x) = \prod_{i = 1}^n a_i (\frac{1}{a_i} x g_i'(x) + 1)[/tex].
Ma adesso, visto che [tex]f(0) \in \mathbb Z[/tex] segue anche [tex]c = \prod_{i = 1}^n a_i \in \mathbb Z[/tex]. Quindi [tex]f(x) = (\frac{c}{a_1}xg_1'(x) + c) (\frac{1}{a_2} xg_2'(x) + 1) \ldots (\frac{1}{a_n} x g_n'(x) + 1)[/tex]. Pertanto l'esistenza della fattorizzazione è garantita.
Tuttavia non è unica! [tex](x+1)(x+2) = 2 (x +1) (\frac{1}{2} x + 1) = (2x+2) (\frac{1}{2} x + 1)[/tex] e queste due fattorizzazioni non sono equivalenti in [tex]A[/tex] perché sicuramente [tex]2x+2[/tex] non è associato a [tex]x+2[/tex], ma non può esserlo nemmeno a [tex]x+1[/tex] visto che [tex]2[/tex] (pensato come polinomio) non è invertibile in [tex]A[/tex].
Quindi, eventualmente, l'esistenza di un omomorfismo suriettivo di anelli può garantire l'esistenza di una fattorizzazione (ma ho i miei dubbi anche su questo, solo che non ho un controesempio a portata di mano), ma non l'unicità.
Ma adesso, visto che [tex]f(0) \in \mathbb Z[/tex] segue anche [tex]c = \prod_{i = 1}^n a_i \in \mathbb Z[/tex]. Quindi [tex]f(x) = (\frac{c}{a_1}xg_1'(x) + c) (\frac{1}{a_2} xg_2'(x) + 1) \ldots (\frac{1}{a_n} x g_n'(x) + 1)[/tex]. Pertanto l'esistenza della fattorizzazione è garantita.
Tuttavia non è unica! [tex](x+1)(x+2) = 2 (x +1) (\frac{1}{2} x + 1) = (2x+2) (\frac{1}{2} x + 1)[/tex] e queste due fattorizzazioni non sono equivalenti in [tex]A[/tex] perché sicuramente [tex]2x+2[/tex] non è associato a [tex]x+2[/tex], ma non può esserlo nemmeno a [tex]x+1[/tex] visto che [tex]2[/tex] (pensato come polinomio) non è invertibile in [tex]A[/tex].
Quindi, eventualmente, l'esistenza di un omomorfismo suriettivo di anelli può garantire l'esistenza di una fattorizzazione (ma ho i miei dubbi anche su questo, solo che non ho un controesempio a portata di mano), ma non l'unicità.
mmm...forse ho capito....proverò ad usare questa strada! se dovessi avere qualche dubbio te lo rifarò presente!
per il momento grazie mille dell'aiuto, ciao
per il momento grazie mille dell'aiuto, ciao
In teoria non c'è più nulla da fare. Nel post precedente dovrei aver dimostrato l'esistenza di fattorizzazioni e confutato la loro unicità. Quindi mi sembra di aver risposto al tuo quesito nel modo più esauriente possibile...
se l'omo che trovi è iniettivo dovrebbe funzionare..
Morfismo + iniettivo + suriettivo = isomorfismo. E' chiaro che in questo caso funziona! I due anelli sono, di fatto, lo stesso!!!!
Se invece intendi morfismo iniettivo (e non suriettivo), il controesempio che ho dato prima basta a mostrare che non può funzionare.
Se invece intendi morfismo iniettivo (e non suriettivo), il controesempio che ho dato prima basta a mostrare che non può funzionare.
non vorrei insistere ma probabilmente invece basterebbe trovare un omomorfismo iniettivo [tex]\Phi:B\rightarrow A[/tex] con [tex]B[/tex] UFD e [tex]A[/tex] candidato UFD come nella notazione precedente..
"aleio1":
non vorrei insistere ma probabilmente invece basterebbe trovare un omomorfismo iniettivo [tex]\Phi:B\rightarrow A[/tex] con [tex]B[/tex] UFD e [tex]A[/tex] candidato UFD come nella notazione precedente..
Potrei tranquillamente sbagliare io, ma allora potresti spiegarmi dove fallisce il controesempio che ho dato? Io non ci arrivo...
"maurer":
[tex]\mathbb Z[\sqrt{-5}][/tex] non ha fattorizzazione unica, ma [tex]i : \mathbb Z \hookrightarrow \mathbb Z[\sqrt{-5}][/tex] è un omomorfismo di anelli non banale (è l'immersione canonica).
E soprattutto mi piacerebbe anche una dimostrazione del fatto che dici.
P.S. Sei d'accordo sul fatto che [tex]\mathbb Z[\sqrt{-5}][/tex] non è un UFD, vero? Ad esempio [tex]6 = 2 \cdot 3 = (1- \sqrt{-5})(1+\sqrt{-5})[/tex] ed entrambi questi elementi sono irriducibili (si dimostra come ho fatto qui).
correggo: surgettivo.
Purtroppo la mia non è una. vera tesi con un sostegno dismostrativo. Però ho in mente l'idea che la surgettività della [tex]\Phi[/tex] fa ereditare a $A$ la struttura di $B$.
Sicuramente sbaglio a scrivere queste cose senza un valido sostegno ma il mio era solo un pensiero ipotetico.
Sto provando a trovare un contro esempio..
Purtroppo la mia non è una. vera tesi con un sostegno dismostrativo. Però ho in mente l'idea che la surgettività della [tex]\Phi[/tex] fa ereditare a $A$ la struttura di $B$.
Sicuramente sbaglio a scrivere queste cose senza un valido sostegno ma il mio era solo un pensiero ipotetico.
Sto provando a trovare un contro esempio..
Ok, così è più plausibile.
Però c'è il grosso problema di far vedere che se [tex]p \in B[/tex] è irriducibile, allora [tex]\Phi(p)[/tex] è irriducibile in [tex]A[/tex]. Sinceramente, propendo per la falsità, ma non ho controesempio nemmeno in questo caso (ti faccio osservare che le tue ipotesi sono diverse da quelle in cui mi mettevo io: io volevo che fosse [tex]A[/tex] ad essere UFD, perché era quella la situazione dell'omomorfismo proposto da trefe.re4).
Però c'è il grosso problema di far vedere che se [tex]p \in B[/tex] è irriducibile, allora [tex]\Phi(p)[/tex] è irriducibile in [tex]A[/tex]. Sinceramente, propendo per la falsità, ma non ho controesempio nemmeno in questo caso (ti faccio osservare che le tue ipotesi sono diverse da quelle in cui mi mettevo io: io volevo che fosse [tex]A[/tex] ad essere UFD, perché era quella la situazione dell'omomorfismo proposto da trefe.re4).
anche io voglio che sia [tex]A[/tex] ad essere UFD e infatti prendo [tex]B[/tex] UFD e lo mando in [tex]A[/tex] con la speranza che me lo copra tutto e lo copra anche con la sua struttura..
Non capisco bene: volete confutare il fatto che un quoziente di un UFD e' ancora un UFD? In tal caso basta prendere [tex]\mathbb{Z}[X]/(x^2+5)[/tex], no? Oppure parlate di esistenza di fattorizzazioni (senza unicita')?
Io parlavo dell'esistenza senza unicità...
Se la situazione è quella che assumo io, l'esercizio con cui questo thread è stato aperto basta a concludere che l'unicità non è in generale preservata:
Se la situazione è quella che assumo io, l'esercizio con cui questo thread è stato aperto basta a concludere che l'unicità non è in generale preservata:
"maurer":
Quindi, eventualmente, l'esistenza di un omomorfismo suriettivo di anelli può garantire l'esistenza di una fattorizzazione (ma ho i miei dubbi anche su questo, solo che non ho un controesempio a portata di mano), ma non l'unicità.
"aleio1":
anche io voglio che sia [tex]A[/tex] ad essere UFD e infatti prendo [tex]B[/tex] UFD e lo mando in [tex]A[/tex] con la speranza che me lo copra tutto e lo copra anche con la sua struttura..
No, le mie ipotesi erano [tex]\Phi : B \to A[/tex] con [tex]A[/tex]UFD. E' vero che [tex]B[/tex] è UFD?
io invece pensavo..se esiste [tex]\Phi:B\rightarrow A[/tex] surgettivo con [tex]B[/tex] UFD. E' vero che [tex]A[/tex] è UFD?
non capisco piu' niente.Ci sono due problemi di cui pare parliate. Sia [tex]f:A \to B[/tex] un omomorfismo di anelli commutativi unitari.
1) E' vero che se in [tex]A[/tex] esiste la fattorizzazione in irriducibili allora esiste anche in [tex]B[/tex]?
2) E' vero che se [tex]B[/tex] e' un UFD allora [tex]A[/tex] e' un UFD?
Di quale di questi due problemi state parlando? Se di nessuno dei due, di quale problema state parlando?
Quanto al problema (1), per produrre un eventuale controesempio bisogna intanto pensare ad un anello in cui non esiste la fattorizzazione in irriducibili. Non ho esempi di tali anelli. Se vogliamo un dominio allora dobbiamo prenderlo non noetheriano. Richiedete anche che [tex]f[/tex] preservi gli elementi irriducibili oppure no?
Il problema (2) mi sembra mal posto, per esempio se [tex]I[/tex] e' un ideale massimale di [tex]A[/tex] allora [tex]A/I[/tex] e' banalmente un UFD.
"aleio1":No, considera per esempio la proiezione canonica [tex]\mathbb{Z}[X] \to \mathbb{Z}[X]/(x^2+5)[/tex]. Questo quoziente e' isomorfo a [tex]\mathbb{Z}[\sqrt{-5}][/tex].
io invece pensavo..se esiste [tex]\Phi:B\rightarrow A[/tex] surgettivo con [tex]B[/tex] UFD. E' vero che [tex]A[/tex] è UFD?
Il mio problema era il seguente:
Sia [tex]f:A\to B[/tex] omomorfismo surgettivo di anelli commutativi con unità.
E' vero che se [tex]A[/tex] è UFD allora [tex]B[/tex] è UFD?
Sia [tex]f:A\to B[/tex] omomorfismo surgettivo di anelli commutativi con unità.
E' vero che se [tex]A[/tex] è UFD allora [tex]B[/tex] è UFD?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo