Omomorfismo iniettivo
Dire che l'omomorfismo è iniettivo significa che Ker=0; per dimostrare che l'omomorfismo è iniettivo posso trovarmi la dimensione di ker e se essa è diversa da zero, affermare che l'omomorfismo non è iniettivo?
Risposte
Sì.
[xdom="Seneca"]Sposto in Algebra.[/xdom]
[xdom="Seneca"]Sposto in Algebra.[/xdom]
Dipende da cosa si intende per omomorfismo.
Tra gruppi e anelli non penso si possa parlare di dimensione. Tra spazi vettoriali si.
Per quanto concerne i gruppi ( anelli) tutto al più puoi parlare di cardinalità del nucleo...
se $|kerf|= 1 => $ il Kernel ha un unico elemento, che è necessariamente quello nullo $=>$ f, omomorfismo tra gruppi\anelli è iniettivo.
Tra spazi vettoriali dire che $dim Kerf = 0 =>$ che il nucleo è generato dal vettore nullo.. e che quindi consta di un solo elemento , che è il vettore nullo e che quindi $|Kerf| =1$.
In generale , per gli anelli\gruppi, non penso esista una formula per il calcolo della cardinalità e quindi ti tocca trovartelo in nucleo e quindi non puoi giocare sulla dimensione, perché il Ker non è generato da vettori.
Tieni a mente la definizione. Ti faccio due esempi.
Uno di un omomorfismo iniettivo.
Considera
$(ZZ_2,+) , (ZZ_4,+)$ gruppi.
e considera l'applicazione $f : ZZ_2 -> ZZ_4$ definita ponendo $AA x in ZZ_2 , f(x) = [2x]_4$
f è sicuramente un omomorfismo.
Determiniamo $Kerf $.
Considera
$[x]_2 in ZZ_2$
$[x]_2 in Kerf <=> f([x]_2)=[0]_4 => [2x]_4={0]_4 = > 2x-=0(mod4) , x-=0(mod2).$
Quindi,
$Kerf = { [x]_2 in ZZ_2 | f([x]_2)= {0]_4} = { [x]_2 in ZZ_2 | x=2k,k in ZZ} = {{0}_4} => $ f iniettiva.
uno di omomorfismo non iniettivo
considera
$\tau : ZZ_80[X} -> ZZ_20, AA f(X) in ZZ_80[X] , \tau(f(X))=[5a_0]_20 $ Tale applicazione è sicuramente un omomorfismo.
troviamo il nucleo.
Sia $f(x) in ZZ_80[x]$
$ f(x) in Ker\tau <=> \tau(f(X))=[5a_0]_20 = [0]_20 => 5a_0-=0(mod20) , a_0-=0(mod4) => a_0=4k$
Dunque
$Ker\tau = { f(x) in ZZ_80[X} | a_0-=0(mod4) } = { 4,8,12,16.20,...,0}$ Quindi l'omomorfismo non è iniettivo,infatti è diverso dal sottoanello banale di $ZZ_80[x]$ .
Inoltre nota che $|Ker\tau|$=20:)
Ciao
Tra gruppi e anelli non penso si possa parlare di dimensione. Tra spazi vettoriali si.
Per quanto concerne i gruppi ( anelli) tutto al più puoi parlare di cardinalità del nucleo...
se $|kerf|= 1 => $ il Kernel ha un unico elemento, che è necessariamente quello nullo $=>$ f, omomorfismo tra gruppi\anelli è iniettivo.
Tra spazi vettoriali dire che $dim Kerf = 0 =>$ che il nucleo è generato dal vettore nullo.. e che quindi consta di un solo elemento , che è il vettore nullo e che quindi $|Kerf| =1$.
In generale , per gli anelli\gruppi, non penso esista una formula per il calcolo della cardinalità e quindi ti tocca trovartelo in nucleo e quindi non puoi giocare sulla dimensione, perché il Ker non è generato da vettori.
Tieni a mente la definizione. Ti faccio due esempi.
Uno di un omomorfismo iniettivo.
Considera
$(ZZ_2,+) , (ZZ_4,+)$ gruppi.
e considera l'applicazione $f : ZZ_2 -> ZZ_4$ definita ponendo $AA x in ZZ_2 , f(x) = [2x]_4$
f è sicuramente un omomorfismo.
Determiniamo $Kerf $.
Considera
$[x]_2 in ZZ_2$
$[x]_2 in Kerf <=> f([x]_2)=[0]_4 => [2x]_4={0]_4 = > 2x-=0(mod4) , x-=0(mod2).$
Quindi,
$Kerf = { [x]_2 in ZZ_2 | f([x]_2)= {0]_4} = { [x]_2 in ZZ_2 | x=2k,k in ZZ} = {{0}_4} => $ f iniettiva.
uno di omomorfismo non iniettivo
considera
$\tau : ZZ_80[X} -> ZZ_20, AA f(X) in ZZ_80[X] , \tau(f(X))=[5a_0]_20 $ Tale applicazione è sicuramente un omomorfismo.
troviamo il nucleo.
Sia $f(x) in ZZ_80[x]$
$ f(x) in Ker\tau <=> \tau(f(X))=[5a_0]_20 = [0]_20 => 5a_0-=0(mod20) , a_0-=0(mod4) => a_0=4k$
Dunque
$Ker\tau = { f(x) in ZZ_80[X} | a_0-=0(mod4) } = { 4,8,12,16.20,...,0}$ Quindi l'omomorfismo non è iniettivo,infatti è diverso dal sottoanello banale di $ZZ_80[x]$ .
Inoltre nota che $|Ker\tau|$=20:)
Ciao
Mi avete scatenato un dubbio: alla che dimensione ha ker se è iniettivo? La risposta è 0: però in realtà se, per esempio siamo in R^3, ker=(0,0,0), e non ha dimensione zero, ma 1, essendo composto da un vettore nullo. Dissipatemi questo dubbio.
Guarda che $dim_RR <(0,0,0)> = 0$ e non $1$.
Ma guarda che la dimensione e la cardinalità , son due cose differenti.
Allora, sia $V -$ UN k spazio vettoriale
Sia ${v_1 , v_2,.... ,v_n}$ una base di $V$ e $v_1 , v_2,.... ,v_n$ vettori di $V$.
Allora
se $v_1 , v_2,.... ,v_n$ sono linearmente indipendenti..
Si pone $dimV=n$.
Cioè data una base, rappresenta il numero di vettori linearmente indipendenti che generano V.se prendi un'applicazione tra spazi vettoriali e ti esce $ker = {0}$ allora
la $dim Ker = 0$ perché $<0>$ <-- spazio generatodal vettore nullo è l'unico ad avere dimensione nulla.
Mentre
$|Ker| = 1$ perché l'unico elemento che c'è dentro è proprio il vettore nullo.
Chiaro?
Nota
Rispondendo alla tua domanda, si può dire che
se f è iniettiva
$dimKer =0$ e $cadKerf=|Kerf|=1$
Allora, sia $V -$ UN k spazio vettoriale
Sia ${v_1 , v_2,.... ,v_n}$ una base di $V$ e $v_1 , v_2,.... ,v_n$ vettori di $V$.
Allora
se $v_1 , v_2,.... ,v_n$ sono linearmente indipendenti..
Si pone $dimV=n$.
Cioè data una base, rappresenta il numero di vettori linearmente indipendenti che generano V.se prendi un'applicazione tra spazi vettoriali e ti esce $ker = {0}$ allora
la $dim Ker = 0$ perché $<0>$ <-- spazio generatodal vettore nullo è l'unico ad avere dimensione nulla.
Mentre
$|Ker| = 1$ perché l'unico elemento che c'è dentro è proprio il vettore nullo.
Chiaro?
Nota
Rispondendo alla tua domanda, si può dire che
se f è iniettiva
$dimKer =0$ e $cadKerf=|Kerf|=1$
Chiaro.
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