Omomorfismo funzione esponenziale.
Buonanotte, ho cominciato a fare i primi esercizi di Algebra.
il testo è il seguente:
Si dimostri che la funzione esponenziale $x → a^x$ definisce un omomorfismo di gruppi $(RR,+) → (RR\ {0},·)$ e si determini il suo nucleo e la sua immagine.
SOL.:
Dati due gruppi $(G,*),(G',+)$ ,una $f:G rightarrow G'$ si dice omomorfismo se e solo se $f(a*b)=f(a)+f(b)$.
Nel mio caso: $f(x+y)=a^(x+y)=a^x · a^y=f(x)·f(y)$.
$ker(f)={x in RR| f(x)=1}$ da cui segue che $ker(f)={0}$ e che quindi l'omomorfismo è iniettivo.
$Im(f)={a^x| x in RR}$ . Questo comporta la suriettività.
A questo punto posso anche dire che $f$ è isomorfismo e pertanto $ (RR,+) ~= (RR\ {0},·) $
Va bene?
il testo è il seguente:
Si dimostri che la funzione esponenziale $x → a^x$ definisce un omomorfismo di gruppi $(RR,+) → (RR\ {0},·)$ e si determini il suo nucleo e la sua immagine.
SOL.:
Dati due gruppi $(G,*),(G',+)$ ,una $f:G rightarrow G'$ si dice omomorfismo se e solo se $f(a*b)=f(a)+f(b)$.
Nel mio caso: $f(x+y)=a^(x+y)=a^x · a^y=f(x)·f(y)$.
$ker(f)={x in RR| f(x)=1}$ da cui segue che $ker(f)={0}$ e che quindi l'omomorfismo è iniettivo.
$Im(f)={a^x| x in RR}$ . Questo comporta la suriettività.
A questo punto posso anche dire che $f$ è isomorfismo e pertanto $ (RR,+) ~= (RR\ {0},·) $
Va bene?
Risposte
Ciao!
Tutto corretto tranne da qui in poi:
Perché comporta la suriettività?
Ciao
Tutto corretto tranne da qui in poi:
"feddy":
$Im(f)={a^x| x in RR}$ . Questo comporta la suriettività.
Perché comporta la suriettività?
Ciao
Non è suriettiva perché l'immagine è $RR^+$, che non coincide con $RR-{0} $.
"feddy":
Non è suriettiva perché l'immagine è $RR^+$, che non coincide con $RR-{0} $.
quindi $(RR, +)$ è isomorfo a $Imf = (RR^+, \cdot)$ per il primo th. di omomorfismo.
Yes 
grazie mille Shocker 
grazie mille Shocker
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