Omomorfismo e isomorfismo di anelli
Siano $R$ e $R'$ due anelli e sia $f:R->R'$ un omomorfismo di anelli.
Se $g:R'->R$ è un omomorfismo di gruppi tale che $f \circ g = "id"_R$ posso concludere che $f$ è un isomorfismo di anelli?
In teoria dovrei verificare anche la condizione $g \circ f = "id"_{R'}$.
C'è qualche controesempio in cui vale la condizione $f \circ g = "id"_R$ ma non vale la condizione $g \circ f = "id"_{R'}$?
Se $g:R'->R$ è un omomorfismo di gruppi tale che $f \circ g = "id"_R$ posso concludere che $f$ è un isomorfismo di anelli?
In teoria dovrei verificare anche la condizione $g \circ f = "id"_{R'}$.
C'è qualche controesempio in cui vale la condizione $f \circ g = "id"_R$ ma non vale la condizione $g \circ f = "id"_{R'}$?
Risposte
"thedarkhero":No, ci sono dei controesempi.
Siano $R$ e $R'$ due anelli e sia $f:R->R'$ un omomorfismo di anelli.
Se $g:R'->R$ è un omomorfismo di gruppi tale che $f \circ g = "id"_R$ posso concludere che $f$ è un isomorfismo di anelli?
C'è qualche controesempio in cui vale la condizione $f \circ g = "id"_R$ ma non vale la condizione $g \circ f = "id"_{R'}$?Sì
Pensa alla combo inclusione-proiezione
$A to AxxB to A$
La composizione è l'identità ma nessuna delle due frecce è isomorfismo.
$A to AxxB to A$
La composizione è l'identità ma nessuna delle due frecce è isomorfismo.
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