Omomorfismo di valutazione

[lemboannalisa]

Ciao!
Sapreste darmi una definizione chiara e precisa di omomorfismo di valutazione (o di sostituzione) e una dimostrazione della sua esistenza e unicità?

[killing_buddha]

Sii piu' preciso rispetto al contesto in cui fai la domanda, altrimenti la natura della risposta potrebbe non piacerti. Hai dimestichezza con le categorie cartesiane chiuse, ad esempio?

[lemboannalisa]

Ho seguito un corso di algebra 1 e questi argomenti sono stati affrontati nell'ambito degli anelli di polinomi

[killing_buddha]

Benissimo, allora il punto e' che tu puoi vedere un polinomio $p(X)$ a coefficienti in un anello $R$, o in un campo se vuoi (i numeri razionali, o reali) come una funzione $R\to R$ che manda un elemento $a$ in $p(a)$; "valutare" un polinomio in $a$ vuol dire fissare $a$, e per ogni polinomio vedere "quanto fa in $a$", con una mappa $R[X]\to R$

Questo omomorfismo esiste: l'ho appena definito ed e' evidentemente un morfismo per come definisco le operazioni di somma e prodotto tra polinomi. \[ev_a(p+q)=ev_a(p)+ev_a(q) \qquad ev_a(pq)=ev_a(p)ev_a(q)\]
E' unico, perche' se ce n'e' un altro che manda ogni polinomio nel suo valore in $a$ allora coincide con [;ev_a;] (questo dovresti riuscire a dimostrarlo direttamente, ricordando che due funzioni lineari coincidono ovunque se e solo se coincidono su...)

[lemboannalisa]

Ho capito. Grazie mille!

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"killing_buddha":tu puoi vedere un polinomio $p(X)$ a coefficienti in un anello $R$, o in un campo se vuoi (i numeri razionali, o reali) come una funzione $R\to R$ che manda un elemento $a$ in $p(a)$

Bisogna stare attenti però a distinguere un polinomio dalla funzione polinomiale associata.
Non è la stessa cosa: segnalo questo.

[killing_buddha]

Si', stavo per dirlo io