Omomorfismo di insiemi ordinati
Salve, colgo in primis l'occasione per salutare tutti, ho sempre letto questo forum, grazie alle ricerche su Google ma solo oggi ho deciso di iscrivermi. 
Sono alle prese con l'algebra e gli insiemi, più precisamente con ordinamenti e omomorfismi/isomorfismi. Purtroppo il libro di testo non mi soddisfa molto in questa parte e ho ancora dei dubbi:
Un ordinamento parziale è una relazione r su A che sia: riflessiva, antisimmetrica e transitiva.
1) Questo ordinamento è anche noto come ordinamento largo o semiordinamento?
2) Cos'è un ordinamento totale? Una relazione per essere tale che proprietà deve avere?
3) Una relazione che sia antiriflessiva e transitiva, cos'è?
4) mi spiegate con moooolta calma cos'è un omomorfismo di insiemi ordinati e cos'è un isomorfismo di insiemi ordinati?
Grazie,
saluti
Sono alle prese con l'algebra e gli insiemi, più precisamente con ordinamenti e omomorfismi/isomorfismi. Purtroppo il libro di testo non mi soddisfa molto in questa parte e ho ancora dei dubbi:
Un ordinamento parziale è una relazione r su A che sia: riflessiva, antisimmetrica e transitiva.
1) Questo ordinamento è anche noto come ordinamento largo o semiordinamento?
2) Cos'è un ordinamento totale? Una relazione per essere tale che proprietà deve avere?
3) Una relazione che sia antiriflessiva e transitiva, cos'è?
4) mi spiegate con moooolta calma cos'è un omomorfismo di insiemi ordinati e cos'è un isomorfismo di insiemi ordinati?
Grazie,
saluti
Risposte
Ciao! Indichiamo il nostro ordinamento parziale, o semplicemente ordinamento con $\leq$, per cui il nostro insieme ordinato (o ordine) sarà $(A,\leq)$.
Prima domanda,
alcuni chiamano, in analogia con i termini "minore stretto" e "minore largo", un ordinamento largo quello che tu intendi normalmente per ordinamento, e cioè una relazione che sia riflessiva, antisimmetrica e transitiva. Mentre indicano con "ordinamento stretto" una relazione che sia solo antisimmetrica e transitiva (ad esempio la relazione di minore stretto, appunto).
Per la seconda,
un ordinamento totale è un ordinamento in cui due qualunque elementi sono confrontabili, mentre in un ordinamento qualsiasi (parziale) questo non avviene necessariamente. Mi spiego meglio: se il nostro ordine non è totale, in generale, puoi trovare in $A$ due elementi, diciamo $a$ e $b$ tali che nè $a\leq b$ nè $b \leq a$ siano vere; un ordinamento totale, invece, è per definizione un ordine $(A,\leq)$ in cui, comunque presi $a,b\in A$ si ha $a\leq b$ o $b \leq a$ (la "o" è inclusiva).
Terza,
una relazione $R$ è antiriflessiva se non esiste alcun elemento tale che $aRa$ ed è transitiva se $aRb \wedge bRc => aRc$. Ad esempio, la relazione di minore stretto sui numeri naturali è una relazione antiriflessiva e transitiva (e antisimmetrica, ovviamente).
Quarta,
un omomorfismo è, in generale, un'applicazione tra due strutture che conservi le operazioni (cioè le strutture stesse). Nel nostro caso, supponi di avere due insiemi ordinati, diciamoli $(A,\leq_A)$ e $(B,\leq_B)$. Sia $f:A->B$ un'applicazione di $A$ in $B$. Diremo che $f$ è compatibile con l'ordinamento, o che $f$ è un omomorfismo d'ordine se
$\forall x,y \in A, x \leq_A y => f(x)\leq_B f(y)$
Se $f$ è invertibile e la sua inversa $f^{-1}$ è anch'essa un omomorfismo d'ordine, allora si dice che $f$ è un isomorfismo d'ordine.
Spero di averti aiutato a risolvere i dubbi..
ciao
Prima domanda,
alcuni chiamano, in analogia con i termini "minore stretto" e "minore largo", un ordinamento largo quello che tu intendi normalmente per ordinamento, e cioè una relazione che sia riflessiva, antisimmetrica e transitiva. Mentre indicano con "ordinamento stretto" una relazione che sia solo antisimmetrica e transitiva (ad esempio la relazione di minore stretto, appunto).
Per la seconda,
un ordinamento totale è un ordinamento in cui due qualunque elementi sono confrontabili, mentre in un ordinamento qualsiasi (parziale) questo non avviene necessariamente. Mi spiego meglio: se il nostro ordine non è totale, in generale, puoi trovare in $A$ due elementi, diciamo $a$ e $b$ tali che nè $a\leq b$ nè $b \leq a$ siano vere; un ordinamento totale, invece, è per definizione un ordine $(A,\leq)$ in cui, comunque presi $a,b\in A$ si ha $a\leq b$ o $b \leq a$ (la "o" è inclusiva).
Terza,
una relazione $R$ è antiriflessiva se non esiste alcun elemento tale che $aRa$ ed è transitiva se $aRb \wedge bRc => aRc$. Ad esempio, la relazione di minore stretto sui numeri naturali è una relazione antiriflessiva e transitiva (e antisimmetrica, ovviamente).
Quarta,
un omomorfismo è, in generale, un'applicazione tra due strutture che conservi le operazioni (cioè le strutture stesse). Nel nostro caso, supponi di avere due insiemi ordinati, diciamoli $(A,\leq_A)$ e $(B,\leq_B)$. Sia $f:A->B$ un'applicazione di $A$ in $B$. Diremo che $f$ è compatibile con l'ordinamento, o che $f$ è un omomorfismo d'ordine se
$\forall x,y \in A, x \leq_A y => f(x)\leq_B f(y)$
Se $f$ è invertibile e la sua inversa $f^{-1}$ è anch'essa un omomorfismo d'ordine, allora si dice che $f$ è un isomorfismo d'ordine.
Spero di averti aiutato a risolvere i dubbi..
ciao
"mickey88":
$\forall x,y \in A, x \leq_A y => f(x)\leq_B f(y)$
e come si "pronuncia"?
"Calandra":
[quote="mickey88"]
$\forall x,y \in A, x \leq_A y => f(x)\leq_B f(y)$
e come si "pronuncia"?[/quote]
"Quali che siano $x$ e $y$ elementi di $A$ , dall'avere che $x$ precede $y$ (secondo la relazione d'ordine definita su $A$) si deduce che $f(x)$ precede $f(y)$ (secondo la relazione d'ordine definita su $B$)."
Era questo che volevi sapere?
"Seneca":
Era questo che volevi sapere?
sì, grazie.
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