Omomorfismo di gruppi e di anelli
Salve a tutti! vorrei solo essere sicura di aver svolto il seguente esercizio in modo giusto...
Si consideri l'applicazione $ f: ZZ$ x $ZZ rarr ZZ$ x $ZZ $ definita da $ f(x,y) = (3x-y,0) $.
a) si provi che $ f $ è un morfismo di gruppi, e si descriva $ Ker f $ come sottogruppo ciclico. Si dimostri poi che esiste un quoziente di $ ZZ$ x$ ZZ $ modulo un sottogruppo ciclico che è isomorfo a $ ZZ $ .
b) la $ f $ è un morfismo di anelli?
Allora, per quanto riguarda il punto a) ho pensato che devo verificare che $ AA (a,b),(c,d) in ZZ$ x $ZZ, f((a,b)+(c,d))=f(a,b)+f(c,d) $
Quindi, dato che $ f((a,b)+(c,d))=f(a+c,b+d)=(3(a+c)-(b+d),0)=(3a+3c-b-d,0)=(3a-b,0)+(3c-d,0) $
e che $ f(a,b)+f(c,d)=(3a-b,0)+(3c-d,0) $ , l'uguaglianza è verificata!
Per quanto riguarda il nucleo, $ Kerf $ è formato da tutti gli elementi che danno l'unità, che in questo caso è zero, quindi da tutti gli $ x,y $ t.c. $ x=y/3 $ .
Quindi $ Kerf= <(1,3)> = {k(1,3) // k in ZZ } $ che è ciclico isomorfo a $ ZZ $ .
$ rArr ZZ$ x $ZZ // Kerf = ZZ$ x ${0} = ZZ$ x $0 = ZZ $ che è ciclico.
Per il punto b) deve essere verificata anche la proprietà per la molteplicazione, e quindi $ f((a,b)(c,d))=f(a,b) f(c,d) $ .
Ma poichè $ f((a,b)(c,d))=f(ac,bd)=(3(ac)-(bd),0) $ mentre invece $ f(a,b)f(c,d)=(3a-b,0)(3c-d,0)=((3a-b)(3c-d),0) $
si può concludere che non è verificata!
E' tutto giusto o c'è qualcosa di sbagliato??
Vi ringrazio in anticipo!
Si consideri l'applicazione $ f: ZZ$ x $ZZ rarr ZZ$ x $ZZ $ definita da $ f(x,y) = (3x-y,0) $.
a) si provi che $ f $ è un morfismo di gruppi, e si descriva $ Ker f $ come sottogruppo ciclico. Si dimostri poi che esiste un quoziente di $ ZZ$ x$ ZZ $ modulo un sottogruppo ciclico che è isomorfo a $ ZZ $ .
b) la $ f $ è un morfismo di anelli?
Allora, per quanto riguarda il punto a) ho pensato che devo verificare che $ AA (a,b),(c,d) in ZZ$ x $ZZ, f((a,b)+(c,d))=f(a,b)+f(c,d) $
Quindi, dato che $ f((a,b)+(c,d))=f(a+c,b+d)=(3(a+c)-(b+d),0)=(3a+3c-b-d,0)=(3a-b,0)+(3c-d,0) $
e che $ f(a,b)+f(c,d)=(3a-b,0)+(3c-d,0) $ , l'uguaglianza è verificata!
Per quanto riguarda il nucleo, $ Kerf $ è formato da tutti gli elementi che danno l'unità, che in questo caso è zero, quindi da tutti gli $ x,y $ t.c. $ x=y/3 $ .
Quindi $ Kerf= <(1,3)> = {k(1,3) // k in ZZ } $ che è ciclico isomorfo a $ ZZ $ .
$ rArr ZZ$ x $ZZ // Kerf = ZZ$ x ${0} = ZZ$ x $0 = ZZ $ che è ciclico.
Per il punto b) deve essere verificata anche la proprietà per la molteplicazione, e quindi $ f((a,b)(c,d))=f(a,b) f(c,d) $ .
Ma poichè $ f((a,b)(c,d))=f(ac,bd)=(3(ac)-(bd),0) $ mentre invece $ f(a,b)f(c,d)=(3a-b,0)(3c-d,0)=((3a-b)(3c-d),0) $
si può concludere che non è verificata!
E' tutto giusto o c'è qualcosa di sbagliato??
Vi ringrazio in anticipo!
Risposte
....o per quanto riguarda il morfismo di anelli...dovrei verificare anche che si mantiene l'elemento neutro per la moltiplicazione se non sbaglio...ma in questo caso non ce n'è bisogno..no?!
Il quoziente [tex]$\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/\mathrm{Ker}f$[/tex] è corretto ma non l'hai dimostrato!
scusa ma non capisco...cosa non ho dimostrato?
Che $ Kerf $ è ciclico è evidente, giusto? e dato che è un ciclico infinito, è isomorfo a $ ZZ $.
Devo forse considerare $ Imf $ ?
Cioè, $ Imf ={(x,y) in ZZ x ZZ // f(x^{\prime},y^{\prime})=(x,y), con (x^{\prime},y^{\prime}) in ZZ x ZZ } $
$ ={(3x-y,0) in ZZ x ZZ}= {(3x-y)// x,y in ZZ x ZZ} $ x $ {0} $
e dato che MCD(3,1)=1 $ rArr Imf = ZZ $ x $ {0} $
e quindi, poichè $ ZZ x ZZ // Kerf $ è isomorfo a $ Imf $ ... concludo!
E' corretto così?
Che $ Kerf $ è ciclico è evidente, giusto? e dato che è un ciclico infinito, è isomorfo a $ ZZ $.
Devo forse considerare $ Imf $ ?
Cioè, $ Imf ={(x,y) in ZZ x ZZ // f(x^{\prime},y^{\prime})=(x,y), con (x^{\prime},y^{\prime}) in ZZ x ZZ } $
$ ={(3x-y,0) in ZZ x ZZ}= {(3x-y)// x,y in ZZ x ZZ} $ x $ {0} $
e dato che MCD(3,1)=1 $ rArr Imf = ZZ $ x $ {0} $
e quindi, poichè $ ZZ x ZZ // Kerf $ è isomorfo a $ Imf $ ... concludo!
E' corretto così?
Insomma quegli [tex]$=$[/tex] non sono altri che [tex]$\cong$[/tex] (\$\cong\$); allora ci sei! 
Ok, quindi non serve considerare anche $ Imf $...cioè è una cosa in più...
basta dire che $ Kerf $ è isomorfo a $ ZZ $ e conculdo come avevo fatto nel primo post,giusto?
basta dire che $ Kerf $ è isomorfo a $ ZZ $ e conculdo come avevo fatto nel primo post,giusto?
Facciamo un pò ordine: per il I teorema di omomorfismo tra gruppi è [tex]$\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/\mathrm{Ker}(f)\cong\mathrm{Im}(f)=\{(3x-y;0)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\mid(x;y)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\}=\mathbb{Z}\times\{0\}\cong\mathbb{Z}$[/tex] perché [tex]$f(1;2)=(1;0)$[/tex], indipendentemente da ciò hai dimostrato che [tex]$\mathrm{Ker}(f)\cong\mathbb{Z}$[/tex].
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