Omomorfismo di gruppi ciclici

[Soloandre1]

Sia $f: G_1 rarr G_2 $ omomorfismo di gruppi.
Allora se $G_1$ e' un gruppo ciclico allora $G_2$ e' anch'esso un gruppo ciclico.

So che:
i) $f$ e' omomorfismo quindi $AA g,h in G_1, f(g*h)=f(g)**f(h)$ (dove ho indicato con $*$ l'operazione su $G_1$ e con $**$ l'operazione su $G_2$)
ii) in particolare $f(1_{G_1})=1_{G_2}$
iii) $G_1$ e' ciclico, quindi $EE x in G$ tale che $gp(x)=G_1$

Non riesco a capire da dove partire per arrivare a dire che $G_2$ e' ciclico, qualcuno avrebbe una spintarella da darmi?

[Gi81]

Non mi sembra che valga quella proprietà.
Ci manca qualcosa.

Eccoti un controesempio: prendi $G_1=ZZ_2$ (che è ciclico), e $G_2$ il gruppo trirettangolo (che non è ciclico), e
$f:G_1->G_2$ con legge $f(x)=1_(G_2)$ (l'omomorfismo banale)

[Soloandre1]

(il gruppo trirettangolo sarebbe il gruppo $ZZ_2 x ZZ_2$ ?)


Me lo saro' sognato probabilmente, ma avevo trovato tra gli esercizi svolti in rete da un prof della mia facolta', l'utilizzo di questa proprieta', tant'e' che l'ho utilizzata durante uno scritto e mi e' stata corretta. Pero' siccome mi e' stato scritto "Perche?" al posto di "no", ho pensato che fosse una cosa vera ma da dimostrare perche non banale.

Grazie mille!

[Gi81]

"Soloandre":(il gruppo trirettangolo sarebbe il gruppo $ZZ_2 x ZZ_2$ ?)

Sì, potevo scrivere anche così.

"Soloandre":Me lo saro' sognato probabilmente, ma avevo trovato tra gli esercizi svolti in rete da un prof della mia facolta', l'utilizzo di questa proprieta', tant'e' che l'ho utilizzata durante uno scritto e mi e' stata corretta. Pero' siccome mi e' stato scritto "Perche?" al posto di "no", ho pensato che fosse una cosa vera ma da dimostrare perche non banale

Ah, ho capito. Errata interpretazione della segnalazione del prof.

Ok, ora è tutto chiaro

[vict85]

L'immagine di un gruppo ciclico tramite un omomorfismo è un sottogruppo ciclico ma \(G_2\) può essere qualsiasi. Se l'omomorfismo è suriettivo invece \(G_2\) deve essere ciclico. Ovviamente si considera il gruppo banale come ciclico altrimenti non funziona.

[Soloandre1]

Bè però questo è comunque un buon risultato.

Quindi se ho un omomorfismo:
$f: G_1 rarr G_2$
dove $G_1$ è un gruppo ciclico, so che $Im f$ è un sottogruppo ciclico di $G_2$.
Se poi dimostro la suriettività dell'omomorfismo, ottengo che $G_2$ è ciclico.

Detto $x in G_1$ tale che $gp(x)=G_1$, posso dire che $gp(f(x))=Imf$ ?

[vict85]

Io uso generalmente \(\displaystyle \langle S\rangle \) per segnare il sottogruppo generato da un insieme \(\displaystyle S \) (è molto usato quindi è bene che impari anche questa notazione). Inoltre un modo alternativo per segnare l'immagine di un sottoinsieme \(\displaystyle S \) è \(\displaystyle f(S) \).

Puoi dimostrare molto di più...

Dati due omomorfismi tra due gruppi \(\displaystyle G_1 = \langle S_1\rangle\) e \(\displaystyle G_2 \) allora i due omomorfismi coincidono se e solo se coincidono sugli elementi di \(\displaystyle S_1 \). In particolare ogni omomorfismo da un gruppo ciclico è completamente determinato dall'immagine di un suo generatore. Sia ha inoltre ovviamente che \(\displaystyle f(G) = \langle f(S)\rangle \) per ogni \(\displaystyle S

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[Soloandre1]

Grazie!!