Omomorfismo di gruppi
Traccia: Sia $(QQ , + )$ il gruppo dei razionali, $ZZ$ il sottogruppo degli interi e $QQ/ZZ$ il gruppo quoziente.
Si definisca $f: QQ -> QQ/ZZ$ ponendo $f(x) = [3x]$. Si dimostri che è un omomorfismo di gruppi.
Intanto mi sembra opportuno constatare che $ZZ$ è un sottogruppo abeliano, quindi è normale, di conseguenza posso quozientare.
Come verifico che $f(x) * f(y) = f ( x * y )$? Il mio omomorfismo manderebbe un generico $q$ razionale in $3q ZZ$.
Allora $f(x) * f(y) = 3x ZZ + 3y ZZ = 3( x + y) ZZ$
$f(x * y) = 3(x + y ) ZZ$.
E' corretto?
I gruppi quozienti, quando sono fatti tramite sottogruppi normali, mi creano problemi. Se ho ben capito, nel mio caso, gli elementi di $QQ/ZZ$ sono insiemi del tipo $q ZZ$, dove $q in QQ$.
Grazie.
Si definisca $f: QQ -> QQ/ZZ$ ponendo $f(x) = [3x]$. Si dimostri che è un omomorfismo di gruppi.
Intanto mi sembra opportuno constatare che $ZZ$ è un sottogruppo abeliano, quindi è normale, di conseguenza posso quozientare.
Come verifico che $f(x) * f(y) = f ( x * y )$? Il mio omomorfismo manderebbe un generico $q$ razionale in $3q ZZ$.
Allora $f(x) * f(y) = 3x ZZ + 3y ZZ = 3( x + y) ZZ$
$f(x * y) = 3(x + y ) ZZ$.
E' corretto?
I gruppi quozienti, quando sono fatti tramite sottogruppi normali, mi creano problemi. Se ho ben capito, nel mio caso, gli elementi di $QQ/ZZ$ sono insiemi del tipo $q ZZ$, dove $q in QQ$.
Grazie.
Risposte
Inoltre $"Ker"f$ dovrebbe essere ${ q : f(q) = 0 ZZ }$
Come lo computo? Mi dicono di verificare che si tratta di un sottogruppo di $QQ$ contenente $ZZ$. (a me sembra banale, invece)
Grazie.
Come lo computo? Mi dicono di verificare che si tratta di un sottogruppo di $QQ$ contenente $ZZ$. (a me sembra banale, invece)
Grazie.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo