Omomorfismo di gruppi
Salve a tutti, vi scrivo perchè ho un dubbio sulle dimostrazioni di alcune proprietà degli omomorfismi di gruppi. In particolare:
Dato l'omomorfismo di gruppi $ f : (G,*) -> (H,circ) $
1) $"Ker"(f)$ è sottogruppo di G
a) nel dimostrare che l'elemento neutro $e$ appartiene al nucleo viene detto questo:
$ f(e) = f(e*e) = f(e) circ f(e) -> (f(e))^-1 circ f(e) = (f(e))^-1 circ f(e) circ f(e) -> e = f(e) $
ora il mio dubbio è: perchè si usa la funzione inversa se non si è detto che l'omomorfismo è biettivo?
b) nel dimostrare l'esistenza dell'inverso nel nucleo, si dice:
$ f(g^-1) circ f(g) = f(g * g^-1) = f(e) = e = f(g) circ (f(g))^-1 $
anche qui stesso problema, non capisco perchè si usa la funzione inversa.
Qualcuno sa darmi qualche dritta? Grazie!
Dato l'omomorfismo di gruppi $ f : (G,*) -> (H,circ) $
1) $"Ker"(f)$ è sottogruppo di G
a) nel dimostrare che l'elemento neutro $e$ appartiene al nucleo viene detto questo:
$ f(e) = f(e*e) = f(e) circ f(e) -> (f(e))^-1 circ f(e) = (f(e))^-1 circ f(e) circ f(e) -> e = f(e) $
ora il mio dubbio è: perchè si usa la funzione inversa se non si è detto che l'omomorfismo è biettivo?
b) nel dimostrare l'esistenza dell'inverso nel nucleo, si dice:
$ f(g^-1) circ f(g) = f(g * g^-1) = f(e) = e = f(g) circ (f(g))^-1 $
anche qui stesso problema, non capisco perchè si usa la funzione inversa.
Qualcuno sa darmi qualche dritta? Grazie!
Risposte
Hei, ciao!
Ti ho sistemato un po' il MathML, non era chiarissimo il testo.
Non penso sia una questione di "funzione inversa"; basta ricordare questa proprietà degli omomorfismi di gruppi: $f(a^(-1))=[f(a)]^(-1)$ (con $a in G$).
Comunque, devi proprio dimostrarlo in questo modo che $Ker(f)$ è un sottogruppo di $G$?
Perchè se sai già che un omomorfismo manda sottogruppi in sottogruppi (e viceversa) saresti già a posto: se vuoi, puoi provare a dimostrare che, dato $f:G->H$ se $H'f^(-1)(H)
Poichè il $Kerf$ è per definizione l'insieme delle controimmagini dell'identità di $H$ hai "gratis" il fatto che è un sottogruppo. Hai capito?
Buono studio.
Ti ho sistemato un po' il MathML, non era chiarissimo il testo.
Non penso sia una questione di "funzione inversa"; basta ricordare questa proprietà degli omomorfismi di gruppi: $f(a^(-1))=[f(a)]^(-1)$ (con $a in G$).
Comunque, devi proprio dimostrarlo in questo modo che $Ker(f)$ è un sottogruppo di $G$?
Perchè se sai già che un omomorfismo manda sottogruppi in sottogruppi (e viceversa) saresti già a posto: se vuoi, puoi provare a dimostrare che, dato $f:G->H$ se $H'
Poichè il $Kerf$ è per definizione l'insieme delle controimmagini dell'identità di $H$ hai "gratis" il fatto che è un sottogruppo. Hai capito?
Buono studio.
Ciao! innanzittutto grazie per la risposta.
mmm, non mi è molto chiara questa altrnativa, sicuramente per colpa mia! Però vediamo, forse capendo questo posso capire i miei dubbi:
quando tu mi dici che
$ f(g-1)=[f(g)]-1 (con g∈G). $
questo viene dimostrato in teoria da quello che ho detto io:
$ f(g^-1) circ f(g) = f(g * g^-1) = f(e) = e = f(g) circ (f(g))^-1 $
giusto?
Ora, quello che forse non capisco è l'ultima uguaglianza, cioè $ e = f(g) circ (f(g))^-1 $
Perchè l'elemento neutro di H, e, è uguale al prodotto di un elemento dell'immagine per il suo inverso?
Scusa se insisto su questa strada ma cercando in giro la dimostrazione ho trovato varie volte questo passaggio, per cui vorrei capirlo perchè voglio essere sicuro che non mi stia sfuggendo qualcosa di ovvio e che dovrei sapere!
mmm, non mi è molto chiara questa altrnativa, sicuramente per colpa mia! Però vediamo, forse capendo questo posso capire i miei dubbi:
quando tu mi dici che
$ f(g-1)=[f(g)]-1 (con g∈G). $
questo viene dimostrato in teoria da quello che ho detto io:
$ f(g^-1) circ f(g) = f(g * g^-1) = f(e) = e = f(g) circ (f(g))^-1 $
giusto?
Ora, quello che forse non capisco è l'ultima uguaglianza, cioè $ e = f(g) circ (f(g))^-1 $
Perchè l'elemento neutro di H, e, è uguale al prodotto di un elemento dell'immagine per il suo inverso?
Scusa se insisto su questa strada ma cercando in giro la dimostrazione ho trovato varie volte questo passaggio, per cui vorrei capirlo perchè voglio essere sicuro che non mi stia sfuggendo qualcosa di ovvio e che dovrei sapere!
Tranquillo.
Perchè $f$ è un morfismo e per i morfismi vale la proprietà che ti ho scritto sopra.
Guarda qui come funziona: $f(g)circ[f(g)]^(-1)=f(gg^-1)=f(e)=e$
Praticamente, in un morfismo, l'inverso dell'immagine è l'immagine dell'inverso.
Chiaro?
"Realman":
Ora, quello che forse non capisco è l'ultima uguaglianza, cioè $ e = f(g) circ (f(g))^-1 $
Perchè l'elemento neutro di H, e, è uguale al prodotto di un elemento dell'immagine per il suo inverso?
Perchè $f$ è un morfismo e per i morfismi vale la proprietà che ti ho scritto sopra.
Guarda qui come funziona: $f(g)circ[f(g)]^(-1)=f(gg^-1)=f(e)=e$
Praticamente, in un morfismo, l'inverso dell'immagine è l'immagine dell'inverso.
Chiaro?
Per dimostrare che [tex]\ker(f) < G[/tex] devi dimostrare che [tex]\forall g,h\in \ker(f),\ gh^{-1}\in \ker(f)[/tex] (criterio per i sottogruppi)
Per fare questo basta usare il seguente metodo [tex]f(gh^{-1}) = f(g)f(h^{-1}) = e_He_H^{-1} = e_He_H[/tex]. Non si usa la funzione inversa (che come giustamente fai notare potrebbe non esistere) ma l'inverso di [tex]f(h)[/tex] in [tex]H[/tex].
Per quanto riguarda l'affermazione di Paolo è necessario dimostrare che se [tex]S
P.S: [tex]f(e) = f(e^2) = f(e)^2 \rightarrow f(e) = e_H[/tex] perché [tex]H[/tex] è un gruppo e quindi vale la proprietà di semplificazione, cioé se [tex]ab = ac[/tex] allora [tex]b=c[/tex]. Non dimenticarti che anche [tex]H[/tex] è un gruppo.
P.S2: Ricorda [tex]\forall n\in \mathbb{Z}, f(g^n) = f(g)^n[/tex], in particolare [tex]f(g^0) = f(e_G) = f(g)^0 = e_H[/tex] e [tex]f(g^{-1})=f(g)^{-1}[/tex]
P.S3: Nota bene [tex]f^{-1}(g)[/tex] è la funzione inversa, [tex]f(g)^{-1}[/tex] è l'inverso di [tex]f(g)[/tex] in [tex]H[/tex]
Per fare questo basta usare il seguente metodo [tex]f(gh^{-1}) = f(g)f(h^{-1}) = e_He_H^{-1} = e_He_H[/tex]. Non si usa la funzione inversa (che come giustamente fai notare potrebbe non esistere) ma l'inverso di [tex]f(h)[/tex] in [tex]H[/tex].
Per quanto riguarda l'affermazione di Paolo è necessario dimostrare che se [tex]S
P.S: [tex]f(e) = f(e^2) = f(e)^2 \rightarrow f(e) = e_H[/tex] perché [tex]H[/tex] è un gruppo e quindi vale la proprietà di semplificazione, cioé se [tex]ab = ac[/tex] allora [tex]b=c[/tex]. Non dimenticarti che anche [tex]H[/tex] è un gruppo.
P.S2: Ricorda [tex]\forall n\in \mathbb{Z}, f(g^n) = f(g)^n[/tex], in particolare [tex]f(g^0) = f(e_G) = f(g)^0 = e_H[/tex] e [tex]f(g^{-1})=f(g)^{-1}[/tex]
P.S3: Nota bene [tex]f^{-1}(g)[/tex] è la funzione inversa, [tex]f(g)^{-1}[/tex] è l'inverso di [tex]f(g)[/tex] in [tex]H[/tex]
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