Omomorfismo di anelli, grandi dubbi :)
Salve ragazzi, vi espongo questo problema.
Ho quest'applicazione.
$f : ZZ_210 -> ZZ_210$ definita ponendo $AA a in ZZ_210 , f(a) = a^53$
Devo stabilire
1)se tale applicazione è un omomorfismo di anelli.
2) se $f$ induce, per restrizione e corestrizione, un automorfismo del gruppo delle unità di $ZZ_210$.
Allora, per il primo punto e di conseguenza per il secondo, ho dei grossi problemi.
Infatti , per procedere per via diretta è un macello. Non ho strumenti per gestire il tutto.
Mi spiego,
per la definizione, considero
$ a, b in ZZ_210$
Allora $f(a+b) = (a+b)^53 = f(a) +f(b)=a^53+b^53$ ? A priori non posso dire ne che è vero ne che è falso. A meno che, non impiegassi 10 anni della mia vita per calcolare quella potenza di binomio.
analogamente
$f(a*b) = (a*b)^53=f(a)f(b)= a^53*b^53$ <-- questo è più scontato , discende direttamente dalla proprietà delle potenze.
Quindi
$f(a*b)=f(a)*f(b)$ sembra che valga.
L'intoppo è nella somma, quindi mi resta da provare che $f$ è un omomorfismo di gruppi additivi.
Ora noto che $f(0) = 0^53 =0$ e che se $x' = -a in ZZ_210$
$f(x') = f(-a) = (-a)^53= (-1)^53*a^53 = $ {53 è dispari } = $ -a^53=-f(a)$.
Inoltre $f(1) = 1^53=1$.
Quindi, f manda lo zero nello zero, i simmetrici in simmetrici e l'uno in uno.
Mi basta per dire che f è un omomorfismo?!
Possibile che sia cosi semplice come cosa, o sbaglio qualcosa?
Grazie mille per una vostra eventuale risposta, prego della vostra attenzione
Ho quest'applicazione.
$f : ZZ_210 -> ZZ_210$ definita ponendo $AA a in ZZ_210 , f(a) = a^53$
Devo stabilire
1)se tale applicazione è un omomorfismo di anelli.
2) se $f$ induce, per restrizione e corestrizione, un automorfismo del gruppo delle unità di $ZZ_210$.
Allora, per il primo punto e di conseguenza per il secondo, ho dei grossi problemi.
Infatti , per procedere per via diretta è un macello. Non ho strumenti per gestire il tutto.
Mi spiego,
per la definizione, considero
$ a, b in ZZ_210$
Allora $f(a+b) = (a+b)^53 = f(a) +f(b)=a^53+b^53$ ? A priori non posso dire ne che è vero ne che è falso. A meno che, non impiegassi 10 anni della mia vita per calcolare quella potenza di binomio.
analogamente
$f(a*b) = (a*b)^53=f(a)f(b)= a^53*b^53$ <-- questo è più scontato , discende direttamente dalla proprietà delle potenze.
Quindi
$f(a*b)=f(a)*f(b)$ sembra che valga.
L'intoppo è nella somma, quindi mi resta da provare che $f$ è un omomorfismo di gruppi additivi.
Ora noto che $f(0) = 0^53 =0$ e che se $x' = -a in ZZ_210$
$f(x') = f(-a) = (-a)^53= (-1)^53*a^53 = $ {53 è dispari } = $ -a^53=-f(a)$.
Inoltre $f(1) = 1^53=1$.
Quindi, f manda lo zero nello zero, i simmetrici in simmetrici e l'uno in uno.
Mi basta per dire che f è un omomorfismo?!
Possibile che sia cosi semplice come cosa, o sbaglio qualcosa?
Grazie mille per una vostra eventuale risposta, prego della vostra attenzione
Risposte
Per la somma guarda qui http://it.wikipedia.org/wiki/Endomorfismo_di_Frobenius
In realtà per far vedere che è un omomorfismo di anelli ti basta far vedere che preserva le operazioni di somma e di prodotto.
Il resto son proprietà scontate.
L'unica cosa che potresti far vedere in più è che sia un omomorfismo unitario, ovvero che $f(1_A)=1_B$.
In realtà per far vedere che è un omomorfismo di anelli ti basta far vedere che preserva le operazioni di somma e di prodotto.
Il resto son proprietà scontate.
L'unica cosa che potresti far vedere in più è che sia un omomorfismo unitario, ovvero che $f(1_A)=1_B$.
Il fatto è che tale endomorfismo il professore non l'ha mai accennato a lezione.
Ne tanto meno abbiamo mai accennato cosa sia la caratteristica di un anello... e questo mi lascia perplesso, senza tale nozione, il problema è irrisolvibile? O ci sono altre strade? Non ne vedo..
il fatto è che utilizzare nozioni non "usate " a lezioni,potrebbero essere un po pericolose..
aspetto delucidazioni.
Grazie Mistake
Ne tanto meno abbiamo mai accennato cosa sia la caratteristica di un anello... e questo mi lascia perplesso, senza tale nozione, il problema è irrisolvibile? O ci sono altre strade? Non ne vedo..
il fatto è che utilizzare nozioni non "usate " a lezioni,potrebbero essere un po pericolose..
aspetto delucidazioni.
Grazie Mistake
Ehm, credo tra l'altro di averti suggerito una cosa errata, in quanto la caratteristica di $ZZ_(210)$ non è $53$, ma appunto $210$.
Guarda, ora come ora non mi viene nulla. Prova magari a fare delle considerazioni sul binomio di newton e vedi se riesci a tirar fuori qualcosa.
PS Credo che non sia affatto un omomorfismo.
Guarda, ora come ora non mi viene nulla. Prova magari a fare delle considerazioni sul binomio di newton e vedi se riesci a tirar fuori qualcosa.
PS Credo che non sia affatto un omomorfismo.
domani mattina proverò. Adesso a quest'ora tarda, la riflessione non viene .
PS
per vie informali, calcolatore, ho visto che $f(1+1=2) = 1 $ f(1)+f(1) = 2$ . No , non è un omomorfismo, proverò per via piu formale domani
.PS
per vie informali, calcolatore, ho visto che $f(1+1=2) = 1 $ f(1)+f(1) = 2$ . No , non è un omomorfismo, proverò per via piu formale domani
Previa dimostrazione della parte 1,
la due è immediata.
Ho già considerato che $AA a, b in ZZ_210 f(a)*f(b)=f(a*b)$
ma non
essendo (ZZ_210,*) un gruppo, f non è un omomorfismo di gruppi moltiplicativi, ma se considero
$(U(ZZ_210),*)$ allora, e restringo f considerando
$f' U(ZZ_210) -> U(ZZ_210)$
risulta essere un automorfismo , cioè quello cercato!
Giusto?
la due è immediata.
Ho già considerato che $AA a, b in ZZ_210 f(a)*f(b)=f(a*b)$
ma non
essendo (ZZ_210,*) un gruppo, f non è un omomorfismo di gruppi moltiplicativi, ma se considero
$(U(ZZ_210),*)$ allora, e restringo f considerando
$f' U(ZZ_210) -> U(ZZ_210)$
risulta essere un automorfismo , cioè quello cercato!
Giusto?
"Kashaman":
domani mattina proverò. Adesso a quest'ora tarda, la riflessione non viene
PS
per vie informali, calcolatore, ho visto che $f(1+1=2) = 1 $ f(1)+f(1) = 2$ . No , non è un omomorfismo, proverò per via piu formale domani
Guarda che fornire un controesempio è decisamente una prova che quello non è un omomorfismo.
Volevo solo farti osservare, in ultimo, che è $ZZ_(210)$ un gruppo rispetto alla somma, non al prodotto.
Non capisco perché il (mio) post di sopra non si vede bene. Succede solo a me?
no fra non si vede nulla
Non so perché. Comunque avevo scritto che quel controesempio basta a mostrare che non è un omomorfismo di anelli.
In quanto $ZZ_(120)$, ricorda che è un gruppo con la somma e non con il prodotto
In quanto $ZZ_(120)$, ricorda che è un gruppo con la somma e non con il prodotto
Comunque, do la risoluzione "formale " al punto 1 , vedete se va bene.
Verifico se $f(a+b) = f(a)+f(b)$
ho che
$f([a]_210)+f(_210)= [a]_210^53+_210^53$ mentre $f(a+b)= [(a+b)]_210^53$
Considero $(a+b)^53 = ${ per il binomio di newton } $ = \sum_{k=0}^53(n,k) a^(n-k)*b^k $
Considero ora , il coefficente di $k=1$
Ottengo che $((53!) / (1!(53-1)!) = ((53*52!) / ((52)!)=53$
Pertanto il termine appena successivo ad $a^53$ è
$53*a^52*b$ che non è congruo a zero modulo 210. Quindi non si annulla in $ZZ_210$.
Da cui, si stabilisce che :
$[(a+b)^53]_210!= [a^53+b^53]_210$ pertanto f non è un omomorfismo di gruppi additivi $=>$ di anelli.
Il punto b ho già risolto.
Va bene come ragionamento?
GRazie a tutti.
Ps: si Mistake, hai ragione. Però il fatto è che è un controesempio un po calcoloso, 2^53 èun numerino abbastanza grande, senza calcolatrice è un po difficile da far vedere.
Fammi sapere se il ragionamento appena esposto va bene, in più fammi sapere per il punto 2 sono giuste le considerazioni.
Cacchio, stò quesito si risolveva con due semplici righe.
Verifico se $f(a+b) = f(a)+f(b)$
ho che
$f([a]_210)+f(_210)= [a]_210^53+_210^53$ mentre $f(a+b)= [(a+b)]_210^53$
Considero $(a+b)^53 = ${ per il binomio di newton } $ = \sum_{k=0}^53(n,k) a^(n-k)*b^k $
Considero ora , il coefficente di $k=1$
Ottengo che $((53!) / (1!(53-1)!) = ((53*52!) / ((52)!)=53$
Pertanto il termine appena successivo ad $a^53$ è
$53*a^52*b$ che non è congruo a zero modulo 210. Quindi non si annulla in $ZZ_210$.
Da cui, si stabilisce che :
$[(a+b)^53]_210!= [a^53+b^53]_210$ pertanto f non è un omomorfismo di gruppi additivi $=>$ di anelli.
Il punto b ho già risolto.
Va bene come ragionamento?
GRazie a tutti.
Ps: si Mistake, hai ragione. Però il fatto è che è un controesempio un po calcoloso, 2^53 èun numerino abbastanza grande, senza calcolatrice è un po difficile da far vedere.
Fammi sapere se il ragionamento appena esposto va bene, in più fammi sapere per il punto 2 sono giuste le considerazioni.
Cacchio, stò quesito si risolveva con due semplici righe.
Il fatto è che, chi ti dice che $53a^(52)b$ non è congruo a $0$ per tutti gli $a,b in ZZ_(210)$? Mica hai dato una dimostrazione.
Poi potrebbe non essere nessuno dei termini congruo a $0$ mod $210$, ma esserlo la loro somma. (Forse ti ho tratto in inganno io, scrivendo una cosa inesatta prima, che ho modificato, pardon!)
Secondo me l'ideale in questi casi è produrre un contro esempio concreto.
Poi potrebbe non essere nessuno dei termini congruo a $0$ mod $210$, ma esserlo la loro somma. (Forse ti ho tratto in inganno io, scrivendo una cosa inesatta prima, che ho modificato, pardon!)
Secondo me l'ideale in questi casi è produrre un contro esempio concreto.
condivido. Forse è meglio. Grazie !
Altra domandina, che dirotta un po dall'esercizio, ma che comunque riguarda per l'aspetto teorico.
Allora, spostiamo la domanda su questo.
Allora, consideriamo le applicazioni in
$\sigma : ZZ_p -> ZZ_p , AA p in ZZ$ p primo.
definite $AA x in ZZ , \sigma ( [x]_p) = [x^p]_p$.
Allora $\sigma$ è un endomorfismo , giusto? in generale vale per qualsiasi campo con caratteristica (cioè da quello che ho capito il numero minimo di 1+1+1+1................+1 <-- n ,tale che 1+1+1+1+1.......................+1=0) p primo, giusto?
cio deriva dal fatto che se considero
il coefficente binomiale $(p, k) = (p!)/(k!(p-k)!)$ Per qualsiasi $k !=0,p$ ottengo che
$(p, k) = (p!)/(k!(p-k)!) = p*q$, cioè un multiplo di p, giusto e quindi modulo p si annulla, giusto? Ciò deriva dal fatto che p essendo primo, non è "semplificato" da nessun numero risultante da $k!(p-k)!$ per $k!=0,p$
E che quindi
quando sviluppo $(a+b)^n$ con il binomio di Newton, mi troverò sempre un multiplo di p affianco ai coefficienti che stanno tra $a^p$ e $b^p$ , giusto? e quindi, prontamente si annullano tutti modulo p e si ottiene quindi che $(a+b)^p = a^p+b^p$.
Mentre se $n!= p$ cioè se p non è primo. Questa cosa non vale in generale.
Ad esempio in $ZZ_4$
non posso dire che
$(a+b)^4 =a^4+b^4$ , giusto?
Allora, spostiamo la domanda su questo.
Allora, consideriamo le applicazioni in
$\sigma : ZZ_p -> ZZ_p , AA p in ZZ$ p primo.
definite $AA x in ZZ , \sigma ( [x]_p) = [x^p]_p$.
Allora $\sigma$ è un endomorfismo , giusto? in generale vale per qualsiasi campo con caratteristica (cioè da quello che ho capito il numero minimo di 1+1+1+1................+1 <-- n ,tale che 1+1+1+1+1.......................+1=0) p primo, giusto?
cio deriva dal fatto che se considero
il coefficente binomiale $(p, k) = (p!)/(k!(p-k)!)$ Per qualsiasi $k !=0,p$ ottengo che
$(p, k) = (p!)/(k!(p-k)!) = p*q$, cioè un multiplo di p, giusto e quindi modulo p si annulla, giusto? Ciò deriva dal fatto che p essendo primo, non è "semplificato" da nessun numero risultante da $k!(p-k)!$ per $k!=0,p$
E che quindi
quando sviluppo $(a+b)^n$ con il binomio di Newton, mi troverò sempre un multiplo di p affianco ai coefficienti che stanno tra $a^p$ e $b^p$ , giusto? e quindi, prontamente si annullano tutti modulo p e si ottiene quindi che $(a+b)^p = a^p+b^p$.
Mentre se $n!= p$ cioè se p non è primo. Questa cosa non vale in generale.
Ad esempio in $ZZ_4$
non posso dire che
$(a+b)^4 =a^4+b^4$ , giusto?
Esatto. Quello è esattamente il th. di Frobenius che ti ho linkato all'inizio.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo