Omomorfismo di anelli

[Elena9612]

Salve a tutti,
vorrei qualche chiarimento riguardo gli omomorfismi di gruppi e in particolare vorrei sapere il seguente ragionamento sia corretto.
L'esercizio completo è questo:
Determinare per quali valori del parametro λ, con 0 ≤ λ ≤ 5 il seguente
sistema di congruenze `e risolubile:

3X ≡ λ (mod 6)
4X ≡ 3 (mod 13)
4X ≡ 2 (mod 11) .

Risolto. E' risolubile per gamma=3 e 0

Sia f : Z → (Z/6Z) × (Z/13Z) × (Z/11Z) l’applicazione definita ponendo
f(x) := ([x]6, [x]13, [x]11), al variare di x ∈ Z .
Stabilire se f : Z → (Z/6Z) × (Z/13Z) × (Z/11Z) `e un omomorfismo
dall’anello (Z, +, ·) all’anello ((Z/6Z) × (Z/13Z) × (Z/11Z), +, ·) (quest’ultimo
con le operazioni di somma e prodotto definite “componente
per componente”).



Per verificare che sia un omomorfismo di anelli mi basta verificare che a= (z,+)-->b= ((z/6z)x(z/13z)x(z/11z),+) sia un omomorfismo di gruppi, ma come?

è possibile che debba verificare che...?
1.f(x)=x' dove x è l'elemento neutro di a e x' è l'elemento neutro di b
2.f(y')=f(y)' dove y' è l'inverso di a e f(y)' è l'inverso di f(y) in a

se così fosse come trovo il neutro e l'inverso in b?

Grazie a tutti

[dan952]

Verifica che sia un omomorfismo prima tra il gruppo $(ZZ,+)$ e $(ZZ_{6}×ZZ_{13}×ZZ_{11},+)$ poi un omomorfismo tra $(ZZ,•)$ e $(ZZ_{6}×ZZ_{13}×ZZ_{11},•)$, verificando che $\forall x,y \in ZZ$ si ha $f(x+y)=f(x)+f(y)$ e $f(x•y)=f(x)•f(y)$, che seguono dal fatto che $[x]_k+[y]_k=[x+y]_k$ e $[x]_k•[y]_k=[x•y]_k$

[Elena9612]

k sarebbe il mod dato da 6x13x11 mentre x ed y sono elementi qualsiasi in z?

[dan952]

No $k=6, 13, 11$, come sono definiti la somma e il prodotto in $ZZ_{6}×ZZ_{13}×ZZ_{11}$?!

[Elena9612]

non lo so ... come si definiscono la somma ed il prodotto in quell'ambiente?

[dan952]

$(a,b,c)+(d,e,f)=(a+d,b+e,c+f)$ e $(a,b,c)•(d,e,f)=(a•d,b•e,c•f)$