Omomorfismo da Q/Z a Q/Z
Ho un dubbio:
Show that the formula $φ_n(x + Z) = nx + Z $ defines a surjective homomorphism
$φ_n : Q/Z → Q/Z$.
$φ_n$ is a homomorphism since
$φ_n(a + Z) + φ_n(b + Z)) = (na + Z) + (na + Z) = (na + nb) + Z = φ_n((a + b) + Z)$. Fin qui tutto chiaro!
Since every element $a + Z ∈ Q/Z $ can be written $ n* a/n = phi_n(a/n)$, $ phi_n $
é perció un omomorfismo suriettivo.
Questo perché se prendo, per esempio, $phi_n(a/n)=phi_n(b/n)$ hanno la stessa immagine in $Q/Z$
É esatto? Grazie.
Show that the formula $φ_n(x + Z) = nx + Z $ defines a surjective homomorphism
$φ_n : Q/Z → Q/Z$.
$φ_n$ is a homomorphism since
$φ_n(a + Z) + φ_n(b + Z)) = (na + Z) + (na + Z) = (na + nb) + Z = φ_n((a + b) + Z)$. Fin qui tutto chiaro!
Since every element $a + Z ∈ Q/Z $ can be written $ n* a/n = phi_n(a/n)$, $ phi_n $
é perció un omomorfismo suriettivo.
Questo perché se prendo, per esempio, $phi_n(a/n)=phi_n(b/n)$ hanno la stessa immagine in $Q/Z$
É esatto? Grazie.
Risposte
Credo voglia semplicemente mostrare che dato un qualsiasi valore \(a + \mathbb Z \in \mathbb Q/ \mathbb Z\) esiste un valore \(b + \mathbb Z \in \mathbb Q/ \mathbb Z \) per cui
\[\phi_n(b + \mathbb Z) = a + \mathbb Z\]
Siccome \(a = n\,(a/n)\) allora possiamo prendere \(b = a/n\).
\[\phi_n(b + \mathbb Z) = a + \mathbb Z\]
Siccome \(a = n\,(a/n)\) allora possiamo prendere \(b = a/n\).
Grazie per la risposta...mi volevo rendere conto più praticamente....non so se quello che dico é giusto:
In $Q/Z$ l'ordine di$ 2/3 + Z= 3$ perché $3*(2/3)=2$ e quindi $3*(2/3) + Z=0 + Z = Z$
Stessa cosa se io considero per esempio $1/3$
Quindi otteniamo la stessa immagine.
Grazie di nuovo
In $Q/Z$ l'ordine di$ 2/3 + Z= 3$ perché $3*(2/3)=2$ e quindi $3*(2/3) + Z=0 + Z = Z$
Stessa cosa se io considero per esempio $1/3$
Quindi otteniamo la stessa immagine.
Grazie di nuovo
Sempre gentilmente, qualcuno mi puó dare una mano? Sará una cosa semplice, ma ho qualche dubbio su come far vedere
l' omomorfismo suriettivo da $Q / Z$ a $Q / Z$ Mi basta un esempio. Grazie
l' omomorfismo suriettivo da $Q / Z$ a $Q / Z$ Mi basta un esempio. Grazie
Ti stai complicando la vita. Un omomorfismo suriettivo \(f\;\colon\;\mathbb Q/\mathbb Z \to \mathbb Q/\mathbb Z\) è semplicemente un omomorfismo per cui, preso un qualsiasi elemento \(q \in \mathbb Q/\mathbb Z\) esiste almeno un elemento \(p\) per cui \(f(p) = q\). La soluzione proposta e la mia precedente descrizione sono semplici applicazioni della definizione. Non so cosa stai cercando di dimostrare con la tua osservazione invece.
Grazie per l'aiuto, penso di aver capito cos'é un omomorfismo suriettivo applicando la
definizione, ma io vorrei vedere, proprio perché non si tratta di un omomorfismo biettivo,
un esempio: ci saranno pure degli elementi $ in:Q/Z $ che avranno la stessa immagine in $ :Q/Z $?
Proprio perché é suriettivo.
definizione, ma io vorrei vedere, proprio perché non si tratta di un omomorfismo biettivo,
un esempio: ci saranno pure degli elementi $ in:Q/Z $ che avranno la stessa immagine in $ :Q/Z $?
Proprio perché é suriettivo.
Essere suriettivo non nega la possibilità che l'omomorfismo sia biettivo. In effetti ogni morfismo biettivo è anche suriettivo. La suriettività non dice nulla sul numero di valori che hanno la stessa immagine, solo che ce n'è almeno uno per ogni valore del codominio. Ti stai confondendo con l'iniettività?
se il gruppo è $G = (Z, +) $una funzione da $G→G t.c. x→2x$ è un omomorfismo iniettivo, ma non è suriettivo. Qui si capisce molto bene.
Nel nostro caso l'omomorfismo é definito da $phi(x + Z) = nx + Z$.
Adesso se io pongo, come rappresentante, di $ (x + Z) in G/Z = q=a/n + Z$ allora $ phi (a/n + Z)= ( n* (a/n) +Z) $
Quindi come hai detto tu, per qualsiasi elemento $q∈Q/Z$ esiste almeno un elemento $p$per cui $f(p)=q$.Da qui la
suriettivitá.
Arrivati qui, questo omomorfismo puó essere anche iniettivo?
Nel nostro caso l'omomorfismo é definito da $phi(x + Z) = nx + Z$.
Adesso se io pongo, come rappresentante, di $ (x + Z) in G/Z = q=a/n + Z$ allora $ phi (a/n + Z)= ( n* (a/n) +Z) $
Quindi come hai detto tu, per qualsiasi elemento $q∈Q/Z$ esiste almeno un elemento $p$per cui $f(p)=q$.Da qui la
suriettivitá.
Arrivati qui, questo omomorfismo puó essere anche iniettivo?
Sia \(\phi\) un qualsiasi omomorfismo \(\phi\;\colon\;A \to B.\) Se due elementi \(a_1, a_2 \in A\) hanno la stessa immagine \(b\) allora \(0 = \phi\,a_1 - \phi\,a_2 = \phi\,(a_1 - a_2)\) la loro differenza appartiene al nucleo dell'omomorfismo. Studiare l'iniettività di un omomorfismo è quindi equivalente a dimostrare che il nucleo dell'omomorfismo contiene solo lo zero. In questo caso è evidente che non è così. In particolare abbiamo che \(1/n\) è sempre un elemento non nullo del nucleo. L'omomorfismo non è quindi iniettivo ma solo suriettivo.
Premesso che é un omomorfismo suriettivo e poi tu mi hai fatto anche
vedere che non é iniettivo, volevo chiederti un'ultima cosa:
se io prendo un qualsiasi elemento $q∈Q/Z$ esiste almeno un elemento $p$per cui $f(p)=q$
Sulla base di questo ho notato, per esempio, che per $a/n = 1/5$ il
$phi(1/5 + Z)$ per $n =6$ é uguale $6/5 + Z$ (infatti $ 1/5$ si puó scrivere come $(6*((1/5))/6)$, ma questo accade anche altre volte:
$phi(2/5 + Z)$ per $n =3$ é uguale $6/5 + Z$
$phi(3/5 + Z)$ per $n =2$ é uguale $6/5 + Z$
É corretto questo?
So che questo non serve per trovare la formula che porta
a dimostrare la suriettivitá, ma é una mia curiositá.
Grazie
vedere che non é iniettivo, volevo chiederti un'ultima cosa:
se io prendo un qualsiasi elemento $q∈Q/Z$ esiste almeno un elemento $p$per cui $f(p)=q$
Sulla base di questo ho notato, per esempio, che per $a/n = 1/5$ il
$phi(1/5 + Z)$ per $n =6$ é uguale $6/5 + Z$ (infatti $ 1/5$ si puó scrivere come $(6*((1/5))/6)$, ma questo accade anche altre volte:
$phi(2/5 + Z)$ per $n =3$ é uguale $6/5 + Z$
$phi(3/5 + Z)$ per $n =2$ é uguale $6/5 + Z$
É corretto questo?
So che questo non serve per trovare la formula che porta
a dimostrare la suriettivitá, ma é una mia curiositá.
Grazie
Suppongo che n sia fissato quindi non provi l'iniettività usando degli n diversi
Ogni \(n\) definisce un omomorfismo diverso. \(n\) va considerata una costante o la funzione non è ben definita a meno di considerare \( (\mathbb Q + \mathbb Z) \times \mathbb Z \) come dominio. Perché abbia le proprietà descritte dobbiamo ovviamente considerare \(|n| > 2.\) Se è infatti zero l'immagine è \(0 + \mathbb Z\) e se è \(\pm 1\) l'omomorfismo è un isomorfismo.
Scusate se insisto!
Quindi se io prendo un qualsiasi elemento $q∈Q/Z$ esiste almeno un elemento $p$ per cui $f(p)=q$. Si arriva a mostrare che si tratta di un omomorfismo suriettivo, ma dato un qualsiasi elemento $p in Q/Z$ non si riescono a vedere più di una controimmagine.
Questa cosa non la capisco, ma saró io.
Quindi se io prendo un qualsiasi elemento $q∈Q/Z$ esiste almeno un elemento $p$ per cui $f(p)=q$. Si arriva a mostrare che si tratta di un omomorfismo suriettivo, ma dato un qualsiasi elemento $p in Q/Z$ non si riescono a vedere più di una controimmagine.
Questa cosa non la capisco, ma saró io.
"milos144":
Scusate se insisto!
Quindi se io prendo un qualsiasi elemento $q∈Q/Z$ esiste almeno un elemento $p$ per cui $f(p)=q$. Si arriva a mostrare che si tratta di un omomorfismo suriettivo, ma dato un qualsiasi elemento $p in Q/Z$ non si riescono a vedere più di una controimmagine.
Questa cosa non la capisco, ma saró io.
Gli omomorfismi \(\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\to \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\) corrispondono (primo teorema di isomorfismo) agli omomorfismi \(\mathbb Q \to \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\) il cui nucleo contiene \(\mathbb Z\); per trovarne uno di non iniettivo ti basta allora trovarne uno, diciamo $f$, il cui nucleo contiene \(\mathbb{Z}\) propriamente: è uno dei \(\varphi_n\)? E se no, un tale $f$ esiste?
Per chi vuole pensare: a cosa è isomorfo il gruppo \(\hom(\mathbb{Q}/\mathbb{Z}, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})\)? E a cosa corrispondono i $\varphi_n$?
@killing_buddga credo che @milos144 non abbia ancora compreso veramente cosa sia un quoziente e cosa sia in pratica \(\mathbb Q/\mathbb Z\).
@milos144 Un elemento \(q + \mathbb Z \in \mathbb Q/\mathbb Z\) è un insieme di numeri razionali che differiscono da un numero intero. Quindi ad esempio \( 1/2, 3/2, -5/2, \dotsc \in 1/2 + \mathbb Z\). Quando devi considerare la controimmagine di un elemento devi considerare tutti questi valori e non solo uno di essi. Supponi quindi di avere \(n = 5\). In questo caso hai ad esempio che
\[ \begin{align*}
\varphi\Bigl(\frac{1}{10} + \mathbb Z\Bigr) &= 5\,\frac{1}{10} + \mathbb Z = \frac{1}{2} + \mathbb Z, \\
\varphi\Bigl(\frac{3}{10} + \mathbb Z\Bigr) &= 5\,\frac{3}{10} + \mathbb Z = \frac{3}{2} + \mathbb Z = \frac{1}{2} + \mathbb Z.
\end{align*}
\]
@milos144 Un elemento \(q + \mathbb Z \in \mathbb Q/\mathbb Z\) è un insieme di numeri razionali che differiscono da un numero intero. Quindi ad esempio \( 1/2, 3/2, -5/2, \dotsc \in 1/2 + \mathbb Z\). Quando devi considerare la controimmagine di un elemento devi considerare tutti questi valori e non solo uno di essi. Supponi quindi di avere \(n = 5\). In questo caso hai ad esempio che
\[ \begin{align*}
\varphi\Bigl(\frac{1}{10} + \mathbb Z\Bigr) &= 5\,\frac{1}{10} + \mathbb Z = \frac{1}{2} + \mathbb Z, \\
\varphi\Bigl(\frac{3}{10} + \mathbb Z\Bigr) &= 5\,\frac{3}{10} + \mathbb Z = \frac{3}{2} + \mathbb Z = \frac{1}{2} + \mathbb Z.
\end{align*}
\]
Provo a definire $Q/Z$:
l'insieme dei laterali sinistri rispetto a $Z$ della frazione $m/n$ dove $n $ e $m$ sono interi e $ n != 0$
Gli elementi hanno la forma $m/n + Z$ e i rappresentanti sono razionali nell'intervallo $[0,1)$
Quindi sono $1/n + Z$ e differiscono di un numero intero. Giusto?
L'errore mio penso stava in...differiscono di un intero!!
Esempio:
$φ(7/10+Z)=5*(7/10)+Z=35/10+Z,=7/2+Z=1/2+Z$
Quindi
$φ(7/10+Z)=φ(1/10+Z)=φ(3/10+Z)$ naturalmente per $n=5$
Osservazione:
$7/2=1/2$ perché $(1/2 +Z)$ ha ordine finito uguale a $2$
Grazie
l'insieme dei laterali sinistri rispetto a $Z$ della frazione $m/n$ dove $n $ e $m$ sono interi e $ n != 0$
Gli elementi hanno la forma $m/n + Z$ e i rappresentanti sono razionali nell'intervallo $[0,1)$
Quindi sono $1/n + Z$ e differiscono di un numero intero. Giusto?
L'errore mio penso stava in...differiscono di un intero!!
Esempio:
$φ(7/10+Z)=5*(7/10)+Z=35/10+Z,=7/2+Z=1/2+Z$
Quindi
$φ(7/10+Z)=φ(1/10+Z)=φ(3/10+Z)$ naturalmente per $n=5$
Osservazione:
$7/2=1/2$ perché $(1/2 +Z)$ ha ordine finito uguale a $2$
Grazie
Non tutti i numeri razionali sono nella forma \( 1/n + k = (1 + k\,n)/n \). Per esempio \( 2/15 \) non è certamente uno di questi numeri. In generale è in relazione biunivoca con tutte le coppie di numeri naturali \( (m, n) \) con \( m < n \) e primi tra di loro (più lo zero \((0, 1)\)). Per il resto direi che è corretto.
Intanto grazie. Mi puoi spiegare meglio a cosa ti riferisci quando dici:
in generale è in relazione biunivoca con tutte le coppie di numeri naturali $ (m,n)$ con $m
in generale è in relazione biunivoca con tutte le coppie di numeri naturali $ (m,n)$ con $m
Il quoziente è formato da tutte le frazioni minori di 1 ridotte ai minimi termini in pratica.
Quindi
$1/3+Z rarr 1/3 $
$3/5+Z rarr 3/5$
e cosí via.... $Q/Z $ con le frazioni ridotte ai minimi termini é in corrispondenza biunivoca. Tutto chiaro!
Mi é sorto un dubbio peró:
Per esempio: $1/3+Z = {...,-8/3,-5/3,-2/3,1/3,4/3,7/3,...}.$ ha infiniti elementi, ma il suo ordine é finito,
cioé ha ordine $3$. Parliamo di due cose diverse o
questo lo devo interpretare cosí perché gli elementi di $Q/Z$ sono finiti é ciclici.
Grazie sempre
$1/3+Z rarr 1/3 $
$3/5+Z rarr 3/5$
e cosí via.... $Q/Z $ con le frazioni ridotte ai minimi termini é in corrispondenza biunivoca. Tutto chiaro!
Mi é sorto un dubbio peró:
Per esempio: $1/3+Z = {...,-8/3,-5/3,-2/3,1/3,4/3,7/3,...}.$ ha infiniti elementi, ma il suo ordine é finito,
cioé ha ordine $3$. Parliamo di due cose diverse o
questo lo devo interpretare cosí perché gli elementi di $Q/Z$ sono finiti é ciclici.
Grazie sempre
Allora se ho capito il tuo dubbio no, sono cose diverse, l'ordine è 3 vedendolo come elemento del gruppo quoziente, ovviamente in sé quel laterale è un insieme di cardinalità (non ordine, visto che non è un gruppo/sottogruppo ma solo un elemento di un gruppo) infinita, ma le due cose sono distinte.
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