Omomorfismo da Q/Z a Q/Z

[milos144]

Ho un dubbio:
Show that the formula $φ_n(x + Z) = nx + Z $ defines a surjective homomorphism
$φ_n : Q/Z → Q/Z$.
$φ_n$ is a homomorphism since
$φ_n(a + Z) + φ_n(b + Z)) = (na + Z) + (na + Z) = (na + nb) + Z = φ_n((a + b) + Z)$. Fin qui tutto chiaro!

Since every element $a + Z ∈ Q/Z $ can be written $ n* a/n = phi_n(a/n)$, $ phi_n $
é perció un omomorfismo suriettivo.
Questo perché se prendo, per esempio, $phi_n(a/n)=phi_n(b/n)$ hanno la stessa immagine in $Q/Z$
É esatto? Grazie.

[milos144]

Quindi visto che $Q/Z$ é un gruppo quoziente ed é formato da laterali, sinistri e destri in questo caso coincidono, che partizionano
$Q$ si devono vedere come insiemi di cardinalirá infinita che uniti danno $Q$. Giusto?
Grazie

[apatriarca]

Esatto

[milos144]

Mi é rimasto un dubbio, quando dici:
ogni $n$ definisce un omomorfismo diverso. $n$ va considerata una costante o la funzione non è ben definita(Fin qui tutto ok) a meno di considerare $(Q+Z)×Z$  come dominio. Ebbene come sono fatti gli elementi di $(Q+Z)×Z$ : cioé qual é la coppia
$((a/b +Z), Z)$ e come funzionerebbe l'omomorfismo?
Grazie