Omomorfismo

[miuemia]

sia G un gruppo finito. dimostrare allora che l'unico omomorfismo tra G e $(ZZ,+)$ è quello banale cioè quello che manda tutto in zero

[gugo82]

Per assurdo. Supponiamo esista $phi:G to ZZ$ non banale.
Sia $x in G$ un elemento per cui $phi(x)!=0$; detto $n$ il periodo di $x$ avremmo $phi(x)=phi(x^(n+1))=(n+1)phi(x) quad => quad nphi(x)=0$; poichè $ZZ$ è integro l'ultima uguaglianza implica $n=0$ oppure $phi(x)=0$; visto che $phi(x)!=0$ si ha $x!=1_G$ e perciò $n>0$, cosicchè l'unica tra le uguaglianze precedenti a poter essere possibile è $phi(x)=0$; ciò però è assurdo stante l'ipotesi fatta su $x$.

Ne viene che ogni omomorfismo $phi:G to ZZ$ è identicamente nullo.

Visto che di Algebra ricordo poco potrei aver fatto errori banali; comunque il succo della dimostrazione mi pare questo.

[alberto861]

è un fatto di ordine dell'elemento del gruppo... sia $g \in G$ e $G$ di cardinalità n e supponiamo che $f$ sia un omomorfismo non banale, allora dalle proprietà di gruppo si deve avere che $f(g)n=f(g^n)=f(1_G)=0$ e questo è possibile se e solo se $f(g)=0$