Omomorfismi tra gruppi
Come fare per trovare gli omomorfismi $ ZZ 3 X ZZ 3rarr ZZ 9 $ .
Essendo $ ZZ 9 $ un gruppo abeliano possono dividere $ ZZ 3 X ZZ 3 $ per il sottogruppo dei commutatori oppure per un sottogruppo normale , ma nel caso di $ ZZ X ZZ $ non so come fare a trovare questi sottogruppi.
Mi potreste dare qualche suggerimento
Grazie mille
Essendo $ ZZ 9 $ un gruppo abeliano possono dividere $ ZZ 3 X ZZ 3 $ per il sottogruppo dei commutatori oppure per un sottogruppo normale , ma nel caso di $ ZZ X ZZ $ non so come fare a trovare questi sottogruppi.
Mi potreste dare qualche suggerimento
Grazie mille
Risposte
Questa proposizione può risultarti utile, credo:
Ogni omomorfismo $phi: H \times K \to G$ sono del tipo $phi(h,k)=phi_1(h)phi_2(k)$ dove $phi_1:H \to G$, $phi_2:K \to G$ tali che $phi_1(h)phi_2(k)=phi_2(k)phi_1(h)$
Inoltre considera che i possibili nuclei di $ZZ_3$, che sono sottogruppi normali, non sono poi molti...
Ogni omomorfismo $phi: H \times K \to G$ sono del tipo $phi(h,k)=phi_1(h)phi_2(k)$ dove $phi_1:H \to G$, $phi_2:K \to G$ tali che $phi_1(h)phi_2(k)=phi_2(k)phi_1(h)$
Inoltre considera che i possibili nuclei di $ZZ_3$, che sono sottogruppi normali, non sono poi molti...
Quindi dovrei trovare prima quanti sono gli omomorfismi $ ZZ 3rarr ZZ 9 $ ??
A me risulatno essere 9 ma credo di aver sbagliato
A me risulatno essere 9 ma credo di aver sbagliato
Scrivi come li hai determinati magari e li rivediamo insieme.
Considera che ogni omomorfismo, al di là di quello banale, ha nucleo ridotto a $1$, quindi sono tutti monomorfismi e conservano i periodi. In $ZZ_9$ un elemento non identico ha o periodo 3 o 9. Considerando che $phi(9)=6$ direi che gli elementi di periodo $3$ sono $2$, salvo errori di calcolo!
Considera che ogni omomorfismo, al di là di quello banale, ha nucleo ridotto a $1$, quindi sono tutti monomorfismi e conservano i periodi. In $ZZ_9$ un elemento non identico ha o periodo 3 o 9. Considerando che $phi(9)=6$ direi che gli elementi di periodo $3$ sono $2$, salvo errori di calcolo!
In pratica questo è il mio ragionamento :
Gli elementi di $ ZZ 3 $ sono $ {0,1,2} $ e hanno rispettivamente ordine 1,3,3.
Visto che ord f(x) deve dividere ord(x), gli elementi 1 e 2 appertenenti a $ ZZ 3 $ possono andare solo negli elementi 0,3,6 di $ ZZ 9 $ poichè il loro ordine divide 3.
E dato che f(0) è sempre uguale a 0 , rimangono 9 possibilità.
Credo cmq che ci sia qualche errore, magari non posso considerare tutte e 9 le possibilità...
Mi può dire dove sbaglio ?
Gli elementi di $ ZZ 3 $ sono $ {0,1,2} $ e hanno rispettivamente ordine 1,3,3.
Visto che ord f(x) deve dividere ord(x), gli elementi 1 e 2 appertenenti a $ ZZ 3 $ possono andare solo negli elementi 0,3,6 di $ ZZ 9 $ poichè il loro ordine divide 3.
E dato che f(0) è sempre uguale a 0 , rimangono 9 possibilità.
Credo cmq che ci sia qualche errore, magari non posso considerare tutte e 9 le possibilità...
Mi può dire dove sbaglio ?
$ZZ_3$ è un gruppo ciclico, quindi ti basta assegnarlo sul generatore $1$. Escludendo il caso banale hai che $f(1)=3$ oppure $f(1)=6$. In questo modo consideri due omomorfismi distinti.
Non puoi considerare tutte le possibilità, infatti se $f(0)=0,f(1)=0,f(2)=6$ non è un omomorfismo, in quanti $f(1+1)=f(2)=6$ mentre $f(1)+f(1)=0$.
Non puoi considerare tutte le possibilità, infatti se $f(0)=0,f(1)=0,f(2)=6$ non è un omomorfismo, in quanti $f(1+1)=f(2)=6$ mentre $f(1)+f(1)=0$.
Ah ok ora mi è chiaro
Ora però che so che gli omomorfismi $ ZZ 3rarr ZZ 9 $ sono 3 ( omomorfismo banale compreso) come faccio a determinare quelli $ ZZ 3X ZZ 3rarr ZZ 9 $ ?
Ogni omomorfismo φ:H×K→G è del tipo φ(h,k)=φ1(h)φ2(k) dove φ1:H→G, φ2:K→G , ma non so come sfruttare questo fatto per determinare il numero di omomorfismi.
Ora però che so che gli omomorfismi $ ZZ 3rarr ZZ 9 $ sono 3 ( omomorfismo banale compreso) come faccio a determinare quelli $ ZZ 3X ZZ 3rarr ZZ 9 $ ?
Ogni omomorfismo φ:H×K→G è del tipo φ(h,k)=φ1(h)φ2(k) dove φ1:H→G, φ2:K→G , ma non so come sfruttare questo fatto per determinare il numero di omomorfismi.
Considera che hai $3$ possibili omomorfismo per ogni fattore, quindi fissato $phi_1$ hai possibilità di far variare $phi_2$ tra i $3$ omomorfismi determinati no?
Ah ok quindi ho 9 omomorfismi
Quindi in generale posso dire che se il numero di omomorfismi $ ZZ nrarr ZZ m $ è $ d $ , il numero di omomorfismi $ ZZ nX ZZ nrarr ZZ m $ è $ d^(2) $
Quindi in generale posso dire che se il numero di omomorfismi $ ZZ nrarr ZZ m $ è $ d $ , il numero di omomorfismi $ ZZ nX ZZ nrarr ZZ m $ è $ d^(2) $
Sfruttando la proposizione cui sopra, potresti provare a dimostrarlo. Io non ci avevo mai pensato, ma potrebbe essere vera.
Ok grazie mille per la disponibilità
Di nulla, buono studio
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