Omomorfismi tra anelli
Buonasera a tutti, intendevo porre una domanda su un esercizio che mi lascia un po' perplesso…
Ora dato che in un omomorfismo si conservano le operazioni definite nei due insiemi ho che $ \forall u,v\in ZZ $ devo avere $ f(u+v)=f(u)+f(v) $ e allo stesso tempo $ f(u*v)=f(u)*f(v) $.
Arrivato qui non riesco a proseguire con il ragionamento.
L'unica cosa che mi viene in mente è che se \( f(u)=u \) allora il sistema è risolto ed $f$ è omomorfismo.
Immagino che il quesito sia banalissimo ma l'argomento in questione mi è poco chiaro, dunque vi anticipo le mie scuse
Determinare tutti gli omomorfismi $f$ dell’anello unitario $(ZZ,+,*)$ in $(QQ,+,*)$.
Ora dato che in un omomorfismo si conservano le operazioni definite nei due insiemi ho che $ \forall u,v\in ZZ $ devo avere $ f(u+v)=f(u)+f(v) $ e allo stesso tempo $ f(u*v)=f(u)*f(v) $.
Arrivato qui non riesco a proseguire con il ragionamento.
L'unica cosa che mi viene in mente è che se \( f(u)=u \) allora il sistema è risolto ed $f$ è omomorfismo.
Immagino che il quesito sia banalissimo ma l'argomento in questione mi è poco chiaro, dunque vi anticipo le mie scuse
Risposte
Se $f$ è un omomorfismo di anelli, allora $f(0) = 0$ (questa è una proprietà fondamentale, si dimostra nella teoria).
Ora, chi è $f(1)$?
Un educated guess lo puoi formulare facilmente, ma va dimostrato.
Vedi cosa puoi tirar fuori da $f(1) = f(1*1)$, dalle proprietà degli omomorfismi e da quelle di $QQ$.
E chi sarà mai $f(-1)$?
Anche qui il guess è ovvio.
Vedi se puoi dimostrarlo sfruttando $f(0)=f((-1) + 1)$, le proprietà degli omomorfismi e le proprietà dell’anello $QQ$.
E quanto vale $f(n)$ con $n >= 2$?
Il tentativo ovvio segue generalizzando i risultati precedenti, ma va dimostrato.
Sfrutta \( f(n) = f(\underbrace{1+1+\cdots +1}_{n \text{ volte}})\), le proprietà dei morfismi ed il valore di $f(1)$ (tornerà utile l’Induzione).
Ed infine quant’è $f(-n)$ per $n>=2$?
Questo è facile.
Ora non ti resta che concludere.
Ora, chi è $f(1)$?
Un educated guess lo puoi formulare facilmente, ma va dimostrato.
Vedi cosa puoi tirar fuori da $f(1) = f(1*1)$, dalle proprietà degli omomorfismi e da quelle di $QQ$.
E chi sarà mai $f(-1)$?
Anche qui il guess è ovvio.
Vedi se puoi dimostrarlo sfruttando $f(0)=f((-1) + 1)$, le proprietà degli omomorfismi e le proprietà dell’anello $QQ$.
E quanto vale $f(n)$ con $n >= 2$?
Il tentativo ovvio segue generalizzando i risultati precedenti, ma va dimostrato.
Sfrutta \( f(n) = f(\underbrace{1+1+\cdots +1}_{n \text{ volte}})\), le proprietà dei morfismi ed il valore di $f(1)$ (tornerà utile l’Induzione).
Ed infine quant’è $f(-n)$ per $n>=2$?
Questo è facile.
Ora non ti resta che concludere.
"gugo82":
Ora, chi è $f(1)$?
Beh, dipende! Assumere che \(f\) sia un omomorfismo rispetto a somma e prodotto non è sufficiente affinché \(f(1)=1\). Mi vengono in mente almeno tre esempi distinti:
- la mappa \(f :R \to S\) che vale costantemente zero;
- la mappa \(f : \mathbb{Z}/14\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/14\mathbb{Z}\) che moltiplica per 7;
- la mappa \(f: \mathbb Z \to M_2(\mathbb Z)\) che manda \(z\) in \(\left(\begin{smallmatrix} z & 0 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}\right)\)...
@solaàl
$QQ$ è un dominio di integrità quindi ogni morfismo non nullo deve mandare $1_(ZZ)|->1_(QQ)$
$QQ$ è un dominio di integrità quindi ogni morfismo non nullo deve mandare $1_(ZZ)|->1_(QQ)$
"anto_zoolander":
@solaàl
$QQ$ è un dominio di integrità quindi ogni morfismo non nullo deve mandare $1_(ZZ)|->1_(QQ)$
Appunto, non nullo. In un dominio di integrità \(f(1)\) è un idempotente, quindi è 0 oppure 1. Infatti, senza chiedere che un omomorfismo di anelli rispetti l'unità, ci sono esattamente due omomorfismi di anelli \(\mathbb Z \to \mathbb Q\): la costante zero, e l'inclusione di un insieme nell'altro come sottoanello.
Alcuni autori/testi richiedono che i morfismi tra anelli unitari mandino 1 in 1. Per esempio su wikipedia è richiesto che lo faccia https://en.wikipedia.org/wiki/Ring_homomorphism
Certo, lo chiedono proprio perché non segue dall'essere un omomorfismo...
"solaàl":
[quote="gugo82"]Ora, chi è $f(1)$?
Beh, dipende! Assumere che \(f\) sia un omomorfismo rispetto a somma e prodotto non è sufficiente affinché \(f(1)=1\). Mi vengono in mente almeno tre esempi distinti:
- la mappa \(f :R \to S\) che vale costantemente zero;
- la mappa \(f : \mathbb{Z}/14\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/14\mathbb{Z}\) che moltiplica per 7;
- la mappa \(f: \mathbb Z \to M_2(\mathbb Z)\) che manda \(z\) in \(\left(\begin{smallmatrix} z & 0 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}\right)\)...[/quote]
"solaàl":
[quote="anto_zoolander"]@solaàl
$QQ$ è un dominio di integrità quindi ogni morfismo non nullo deve mandare $1_(ZZ)|->1_(QQ)$
Appunto, non nullo. In un dominio di integrità \(f(1)\) è un idempotente, quindi è 0 oppure 1.[/quote]
Appunto. $0$ ed $1$ sono le prime idee (guess) che vengono, no?
Quindi non vedo cosa ci sia di male nel suggerimento.
Piuttosto, quando proponi un esempio, assicurati che lo sia: se il testo prescrive di giocare con morfismi di $ZZ$ in $QQ$, proponi morfismi tra $ZZ$ e $QQ$ e non tra altre strutture scelte da te (tanto per far dare inutili dimostrazioni di penilunghismo puerile).
"gugo82":
Piuttosto, quando proponi un esempio, assicurati che lo sia: se il testo prescrive di giocare con morfismi di $ZZ$ in $QQ$, proponi morfismi tra $ZZ$ e $QQ$ e non tra altre strutture scelte da te (tanto per far dare inutili dimostrazioni di penilunghismo puerile).
Non ho capito cosa hai detto: puoi parlare italiano e non una lingua inventata da te, per favore? Non ho capito se mi stai prendendo in giro!
La mappa zero da \(\mathbb Z\) a \(\mathbb Q\) va bene come esempio, e negli altri casi gli anelli sono scelti per mostrare che quando non si prendono integral domains ci sono altre possibilità diverse da 0 e 1 per $f(1)$... o non ho capito qualcosa?
Si è fatto capire abbastanza bene
L’esercizio chiede di determinare una proprietà sui morfismi $ZZ->QQ$ e tu hai tirato fuori esempi che c’entrano ben poco: quando Gugo scrive “chi è $f(1)$?” è perfettamente contestualizzato e privo di ambiguità considerando l’esercizio in esame, pertanto non ha senso dire “dipende” e citare esempi nei quali l’anello di arrivo non ha le stesse proprietà di $QQ$
Questo perché i morfismi $ZZ->QQ$ possono essere soltanto tali che $f(1) in {0,1}$ mentre nei tuoi esempi potrebbe spuntare anche altro
L’esercizio chiede di determinare una proprietà sui morfismi $ZZ->QQ$ e tu hai tirato fuori esempi che c’entrano ben poco: quando Gugo scrive “chi è $f(1)$?” è perfettamente contestualizzato e privo di ambiguità considerando l’esercizio in esame, pertanto non ha senso dire “dipende” e citare esempi nei quali l’anello di arrivo non ha le stesse proprietà di $QQ$
Questo perché i morfismi $ZZ->QQ$ possono essere soltanto tali che $f(1) in {0,1}$ mentre nei tuoi esempi potrebbe spuntare anche altro
Come ho detto, in un dominio di integrità ci sono solo due scelte possibili per \(f(1)\); in altri casi no, ce ne sono di più, non vedo cosa questo ha di insensato; sono le parole in italic che non capisco, comunque: è italiano?
@ solaàl:
[ot]
"Insensato"?
Nulla.
C'entra poco con la domanda posta dall'utente?
Sì.
Può darsi che la mia abitudine di rispondere alla domanda posta, anziché svicolare (in prima battuta) in casi generalissimi e fuori dall'ambito d'interesse, non sia più così comune; quindi chi legge si sente giustamente spiazzato dal mio andare dritto al punto.
Scusa, non ci avevo mai riflettuto.
Vediamo... Forse non comprendi guess o educated guess?
Semplicemente, è inglese.
Una ricognizione su WordReference fornisce come significato immediato di to guess (verbo) il seguente:
e come possibili traduzioni in italiano:
mentre del sostantivo guess il dizionario Collins fornisce la traduzione:
Analogamente, di educated guess (che i più ricorderanno come battuta di John Malkovich in un vecchio spot di una nota marca di caffé espresso) il solito WordReference fornisce:
cioè "congettura non formulata ad mentula canis[nota]Questo è latino, non inglese... Ma suppongo che la tua cultura, più propensa alla classicità italiana che all'apprezzamento degli anglismi, ti consenta di afferarne il senso senza traduzione esplicita.[/nota]".
Se non era questo il problema, allora cosa?[/ot]
[ot]
"solaàl":
Come ho detto, in un dominio di integrità ci sono solo due scelte possibili per \(f(1)\); in altri casi no, ce ne sono di più, non vedo cosa questo ha di insensato;
"Insensato"?
Nulla.
C'entra poco con la domanda posta dall'utente?
Sì.
Può darsi che la mia abitudine di rispondere alla domanda posta, anziché svicolare (in prima battuta) in casi generalissimi e fuori dall'ambito d'interesse, non sia più così comune; quindi chi legge si sente giustamente spiazzato dal mio andare dritto al punto.
Scusa, non ci avevo mai riflettuto.
"solaàl":
sono le parole in italic che non capisco, comunque: è italiano?
Vediamo... Forse non comprendi guess o educated guess?
Semplicemente, è inglese.
Una ricognizione su WordReference fornisce come significato immediato di to guess (verbo) il seguente:
to estimate without knowledge
e come possibili traduzioni in italiano:
"provare ad indovinare, ipotizzare, immaginare"
mentre del sostantivo guess il dizionario Collins fornisce la traduzione:
"supposizione, congettura"
Analogamente, di educated guess (che i più ricorderanno come battuta di John Malkovich in un vecchio spot di una nota marca di caffé espresso) il solito WordReference fornisce:
"stima ragionata"
cioè "congettura non formulata ad mentula canis[nota]Questo è latino, non inglese... Ma suppongo che la tua cultura, più propensa alla classicità italiana che all'apprezzamento degli anglismi, ti consenta di afferarne il senso senza traduzione esplicita.[/nota]".
Se non era questo il problema, allora cosa?[/ot]
"gugo82":
Se non era questo il problema, allora cosa?
Non capisco la parola "penilunghismo", ma il fatto è che sembri arrabbiato per qualcosa.
suppongo che la tua cultura, più propensa alla classicità italiana che all'apprezzamento degli anglismi, ti consenta di afferarne il senso senza traduzione esplicita.
E' il contrario, se mai... ho capito educated guess non ho problemi con la tua risposta; ma mi sembrava volessi far pensare l'autore del post iniziale che c'è solo un omomorfismo perché f(1) non può fare che 1. Quindi ho detto di no: non ce n'è solo uno, ce ne sono due, e in generale possono esserci molti omomorfismi. Ho capito male?
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