Omomorfismi S3 -->S3

[bartel]

Salve vorrei un consiglio su questo esercizio :
Determina il numero di omomorfismi $ S3rarr S3 $ .
Considero tutti i sottogruppi normali di $ S3 $ che sono $ id $ , $ S3 $ , $ A3 $ e distinguo tre casi :
Se ker = $ S3 $ ho l'omomorfismo banale.
Se ker = $ A3 $ ho che $ (S3)/(A3) $ è isomorfo a $ Z2 $ e quindi gli omomorfismi $ Z2rarr S3 $ sono 4
Se ker = $ id $ cosa posso dire ? cambia il numero degli omomorfismi ?

[vict85]

"Luca91":Salve vorrei un consiglio su questo esercizio :
Determina il numero di omomorfismi $ S3rarr S3 $ .
Considero tutti i sottogruppi normali di $ S3 $ che sono $ id $ , $ S3 $ , $ A3 $ e distinguo tre casi :
Se ker = $ S3 $ ho l'omomorfismo banale.
Se ker = $ A3 $ ho che $ (S3)/(A3) $ è isomorfo a $ Z2 $ e quindi gli omomorfismi $ Z2rarr S3 $ sono 4
Se ker = $ id $ cosa posso dire ? cambia il numero degli omomorfismi ?

Perché sono 4? I 2-cicli sono $(12)$, $(13)$ e $(23)$.

Per \(\displaystyle \ker f = \mathrm{id} \) ricavo che \(\displaystyle f \) è un automorfismo di \(\displaystyle S_3 \). Quanti e quali sono gli automorfismi di \(\displaystyle S_3 \)?

[bartel]

Ho scritto che gli omomorfismi $ Z2rarr S3 $ sono 4 perchè ho incluso anche l'omomorfismo banale, ma giustamente non va considerato perchè calcolato nel caso precedente
Per quanto riguarda l'insieme degli automorfismi $ Int (S3) $ so che è isomorfo a $ (S3)/(Z(S3)) $ , e visto che il centro è banale è isomorfo a $ S3 $ , quindi ci dovrebbero essere 6 automorfismi...

[Maryse1]

Io ho fatto questo esercizio giorni fa...e in tutto mi vengono 5 omomorfismi..
non so se sbaglio qualcosa..mi vengono i due banali e ok. e 3 omom. per il sottogruppo alternante ...

[melli13]

Anche secondo me dovrebbero esserci 6 automorfismi...quindi 6+3+1=10 omorfismi in tutto...giusto?

[Martino]

"melli13":6+3+1=10 omorfismi in tutto...giusto?

Sì giusto.

[melli13]

Grazieeeeeee...! Sono stra-felice...!

[Maryse1]

Perchè sono 10 gli omomorfismi...?..a me vengono molti di meno, qualcuno può scrivere in breve il procedimento per favore!! Grazie

[Martino]

"Maryse":Perchè sono 10 gli omomorfismi...?..a me vengono molti di meno, qualcuno può scrivere in breve il procedimento per favore!! Grazie

Non te ne possono venire meno di sei, dato che [tex]S_3[/tex] possiede sei automorfismi interni (dato che ha centro banale, si immerge in [tex]\text{Aut}(S_3)[/tex]). In realtà un argomento ausiliario permette di dimostrare che tutti gli automorfismi di [tex]S_3[/tex] sono interni. Quindi ci sono sei automorfismi, poi c'è l'omomorfismo banale (e siamo a sette omomorfismi), e poi ci sono i tre omomorfismi con nucleo [tex]A_3[/tex]. Vedi anche qui.

[Maryse1]

sisi l'ho appena rifatto, e me ne vengono 10, avevo fatto un pasticcio! Grazie mille!