Omomorfismi di gruppi additivi
f : Z[size=70]13 [/size]× Z[size=70]13[/size] × Z[size=70]13 [/size]→ Z[size=70]13 [/size] × Z[size=70]13 [/size] × Z[size=70]13 [/size] × Z[size=70]13 [/size]
(x, y, z) → (x + 2z, 2x + 2y + z, x + 4z, 3y + z)
Si verifichi che la funzione è un omomorfismo di gruppi (additivi).
Si specifichi (motivando la risposta) se essa è iniettiva, suriettiva o nè
l’una nè l’altra.
Vi ringrazio in anticipo
(x, y, z) → (x + 2z, 2x + 2y + z, x + 4z, 3y + z)
Si verifichi che la funzione è un omomorfismo di gruppi (additivi).
Si specifichi (motivando la risposta) se essa è iniettiva, suriettiva o nè
l’una nè l’altra.
Vi ringrazio in anticipo

Risposte
$f$ è una applicazione lineare (è una funzione polinomiale di grado 1 nelle variabili $(x,y,z)$), quindi in particolare è certamente $ZZ$-lineare. Noto questo, scrivine la matrice e risolvi il solito esercizio di algebra lineare sul rango e nucleo di una matrice.
Se invece sei pigro come le persone sagge, osserva che non può essere suriettiva perché non può avere rango maggiore di 3 (la dimensione del dominio), quindi non può essere biiettiva; l'iniettività puoi farla da te
Se invece sei pigro come le persone sagge, osserva che non può essere suriettiva perché non può avere rango maggiore di 3 (la dimensione del dominio), quindi non può essere biiettiva; l'iniettività puoi farla da te

ho risolto la matrice come suggerito da te e una volta arrivato alla matrice di identità ho trovato il rango che è 3, come faccio a dimostrare l'omomorfismo e l'iniettività(ovvero f(x) = f(y) ) ?
ti ringrazio per il tuo aiuto, ma ho un po di lacune in questo argomento
ti ringrazio per il tuo aiuto, ma ho un po di lacune in questo argomento
Te l'ho detto, per mostrare che $f$ è $ZZ$-lineare non devi fare niente, lo è perché è una mappa $k$-lineare tra due $k$-spazi vettoriali.
L'inettività segue dal teorema più pazzo del mondo.
L'inettività segue dal teorema più pazzo del mondo.
quindi risolvendo la matrice e trovando il rango=3 dimostro che la funzione è iniettiva giusto?
c'è qualche dichiarazione formale che posso usare per dire che la f è iniettiva?
c'è qualche dichiarazione formale che posso usare per dire che la f è iniettiva?
Il fatto che io ti risponda, e tu poco dopo riscriva la stessa domanda che hai fatto prima che rispondessi, significa che non capisci la risposta; però, finché non dici cosa non capisci della risposta, invece di rispondere con la stessa domanda, è difficile darti una risposta che non ti costringa a rispondere rifacendo la stessa domanda.
Una funzione tra $k$-spazi vettoriali che è $k$-lineare è a maggior ragione $ZZ$-ineare, perché essere $ZZ$-lineare è una richiesta per essere $k$-lineare; una funzione lineare tra spazi vettoriali di dimensione finita è iniettiva se e solo se il suo nucleo ha dimensione zero; ma siccome la dimensione $n$ del nucleo e quella $m$ dell'immagine di $F$ non variano a piacere, ma sono regolate dall'equazione $n+m=$dimensione del dominio di $F$, per asserire che $F$ è iniettiva ti è sufficiente dimostrare che ha rango 3; e questo, in ultimo, è vero perché se $n+3=3$, $n$ deve essere zero.
Una funzione tra $k$-spazi vettoriali che è $k$-lineare è a maggior ragione $ZZ$-ineare, perché essere $ZZ$-lineare è una richiesta per essere $k$-lineare; una funzione lineare tra spazi vettoriali di dimensione finita è iniettiva se e solo se il suo nucleo ha dimensione zero; ma siccome la dimensione $n$ del nucleo e quella $m$ dell'immagine di $F$ non variano a piacere, ma sono regolate dall'equazione $n+m=$dimensione del dominio di $F$, per asserire che $F$ è iniettiva ti è sufficiente dimostrare che ha rango 3; e questo, in ultimo, è vero perché se $n+3=3$, $n$ deve essere zero.
ti ringrazio delle risposte mi stai aiutando molto, ho soltanto un dubbio...
quando è un applicazione è lineare è sempre un omomorfismo?
quando è un applicazione è lineare è sempre un omomorfismo?
"Sotoru26":
quando è un applicazione è lineare è sempre un omomorfismo?
Dipende, devi dire omomorfismo di cosa. E' sempre un omomorfismo di gruppi abeliani, fa parte della definizione di mappa lineare.
Se i $k$-spazi vettoriali sono algebre su $k$, non è banale che una mappa lineare $F : V\to W$ sia un omomorfismo di algebre; se $W$ è una $k$-algebra però, esiste un'unica estensione di $F$ a un morfismo di algebre \(\bar F : \mathfrak T(V) \to W\), dove \(\mathfrak TV\) è l'algebra tensoriale di $V$.
Se sugli spazi vettoriali ci sono delle topologie, una mappa lineare tra loro è spesso continua (ma non sempre: prendi $X=C^\infty(RR)$ con la sua struttura di spazio vettoriale, mandare $f\in X$ in $f'(0)$ è una mappa lineare ma non è continua -per successioni-). In dimensione finita, però, ogni funzione lineare è continua (sia se il campo di base è un'estensione di $QQ$, sia se è finito, ma le topologie su spazi vettoriali su campi finiti non sono esattamente il massimo da prendere a stomaco vuoto).