Omomorfismi di gruppi additivi

[Sotoru26]

f : Z[size=70]13 [/size]× Z[size=70]13[/size] × Z[size=70]13 [/size]→ Z[size=70]13 [/size] × Z[size=70]13 [/size] × Z[size=70]13 [/size] × Z[size=70]13 [/size]
(x, y, z) → (x + 2z, 2x + 2y + z, x + 4z, 3y + z)

Si verifichi che la funzione è un omomorfismo di gruppi (additivi).
Si specifichi (motivando la risposta) se essa è iniettiva, suriettiva o nè
l’una nè l’altra.

Vi ringrazio in anticipo

[killing_buddha]

$f$ è una applicazione lineare (è una funzione polinomiale di grado 1 nelle variabili $(x,y,z)$), quindi in particolare è certamente $ZZ$-lineare. Noto questo, scrivine la matrice e risolvi il solito esercizio di algebra lineare sul rango e nucleo di una matrice.
Se invece sei pigro come le persone sagge, osserva che non può essere suriettiva perché non può avere rango maggiore di 3 (la dimensione del dominio), quindi non può essere biiettiva; l'iniettività puoi farla da te

[Sotoru26]

ho risolto la matrice come suggerito da te e una volta arrivato alla matrice di identità ho trovato il rango che è 3, come faccio a dimostrare l'omomorfismo e l'iniettività(ovvero f(x) = f(y) ) ?

ti ringrazio per il tuo aiuto, ma ho un po di lacune in questo argomento

[killing_buddha]

Te l'ho detto, per mostrare che $f$ è $ZZ$-lineare non devi fare niente, lo è perché è una mappa $k$-lineare tra due $k$-spazi vettoriali.

L'inettività segue dal teorema più pazzo del mondo.

[Sotoru26]

quindi risolvendo la matrice e trovando il rango=3 dimostro che la funzione è iniettiva giusto?
c'è qualche dichiarazione formale che posso usare per dire che la f è iniettiva?

[killing_buddha]

Il fatto che io ti risponda, e tu poco dopo riscriva la stessa domanda che hai fatto prima che rispondessi, significa che non capisci la risposta; però, finché non dici cosa non capisci della risposta, invece di rispondere con la stessa domanda, è difficile darti una risposta che non ti costringa a rispondere rifacendo la stessa domanda.

Una funzione tra $k$-spazi vettoriali che è $k$-lineare è a maggior ragione $ZZ$-ineare, perché essere $ZZ$-lineare è una richiesta per essere $k$-lineare; una funzione lineare tra spazi vettoriali di dimensione finita è iniettiva se e solo se il suo nucleo ha dimensione zero; ma siccome la dimensione $n$ del nucleo e quella $m$ dell'immagine di $F$ non variano a piacere, ma sono regolate dall'equazione $n+m=$dimensione del dominio di $F$, per asserire che $F$ è iniettiva ti è sufficiente dimostrare che ha rango 3; e questo, in ultimo, è vero perché se $n+3=3$, $n$ deve essere zero.

[Sotoru26]

ti ringrazio delle risposte mi stai aiutando molto, ho soltanto un dubbio...
quando è un applicazione è lineare è sempre un omomorfismo?

[killing_buddha]

"Sotoru26":quando è un applicazione è lineare è sempre un omomorfismo?

Dipende, devi dire omomorfismo di cosa. E' sempre un omomorfismo di gruppi abeliani, fa parte della definizione di mappa lineare.

Se i $k$-spazi vettoriali sono algebre su $k$, non è banale che una mappa lineare $F : V\to W$ sia un omomorfismo di algebre; se $W$ è una $k$-algebra però, esiste un'unica estensione di $F$ a un morfismo di algebre \(\bar F : \mathfrak T(V) \to W\), dove \(\mathfrak TV\) è l'algebra tensoriale di $V$.

Se sugli spazi vettoriali ci sono delle topologie, una mappa lineare tra loro è spesso continua (ma non sempre: prendi $X=C^\infty(RR)$ con la sua struttura di spazio vettoriale, mandare $f\in X$ in $f'(0)$ è una mappa lineare ma non è continua -per successioni-). In dimensione finita, però, ogni funzione lineare è continua (sia se il campo di base è un'estensione di $QQ$, sia se è finito, ma le topologie su spazi vettoriali su campi finiti non sono esattamente il massimo da prendere a stomaco vuoto).