Omomorfismi da $Z/(6Z)$ a $S_3$

[gbspeedy]

Come faccio a trovare gli omomorfismi tra questi due gruppi con nucleo che abbia ordine 3?

[billyballo2123]

Tu devi trovare una mappa $f$ definita sull'insieme $G=\{[0]_6,[1]_6,[2]_6,[3]_6,[4]_6,[5]_6\}$ a valori nell'insieme $H=\{id,(12),(13),(23),(123),(132)\}$. Se vuoi che il nucleo abbia ordine $3$, allora il nucleo, che è un sottogruppo di $G$, deve essere $Ker(f)=\{[0]_6,[2]_6,[4]_6\}$ (dato che è l'unico sottogruppo di $G$ di ordine $3$). Inoltre per il teorema dell'omomorfismo (o primo teorema dell'isomorfismo), $G/{Ker(f)}~=Im(f)$, e dato che $G/{Ker(f)}=\{[0]_6,[1]_6\}$, allora $Im(f)$ deve essere composto dall'identità e da una permutazione che abbia se stessa come inverso. Dunque tutti gli omomorfismi del tipo che stai cercando sono:
$f_1$ definita come $f_1([0]_6)=f_1([2]_6)=f_1([4]_6)=id$ e $f_1([1]_6)=f_1([3]_6)=f_1([5]_6)=(12)$
$f_2$ definita come $f_2([0]_6)=f_2([2]_6)=f_2([4]_6)=id$ e $f_2([1]_6)=f_2([3]_6)=f_2([5]_6)=(13)$
$f_3$ definita come $f_3([0]_6)=f_3([2]_6)=f_3([4]_6)=id$ e $f_3([1]_6)=f_3([3]_6)=f_3([5]_6)=(23)$

[gbspeedy]

[ot][/ot]puoi spiegarmi perchè $G/(ker(f))=\{ [0]_6,[1]_6 \}$?

il prof ha detto che tutti gli omomorfismi sono 6.Perchè?

[billyballo2123]

Dato che
\[
\bigg|\frac{G}{Ker(f)}\bigg|=\frac{|G|}{|Ker(f)|}=\frac{6}{3}=2,
\]
allora
\[
\frac{G}{Ker(f)}
\]
è composto da due classi di equivalenza: quella del $Ker(f)$ (di cui possiamo considerare come rappresentante $[0]_6$) e quella di tutti gli altri (di cui possiamo considerare come rappresentante $[1]_6$).

[Shocker1]

il prof ha detto che tutti gli omomorfismi sono 6.Perchè?

Ciao, provo a risponderti io anche se non sono sicuro della risposta perché è la prima volta che mi approccio all'Algebra Astratta.
Dobbiamo contare gli omomorfismi da $f:Z_6 \to S_3$, per il primo teorema di omomorfismo sappiamo che $Z_6/{Kerf} ~= Immf$, quindi dobbiamo esaminare tutti i sottogruppi normali $H$ di $Z_6$ per vedere se è possibile definire un omomorfismo che abbia nucleo $H$:

1)$Z_6$ è abeliano, quindi ogni suo sottogruppo è normale ma quanti sono e quali sono? Dato che $Z_6$ è ciclico sappiamo che per ogni divisore $d$ di $|Z_6| = 6$ esiste un sottogruppo di ordine $d$, quindi in totale abbiamo $4$ sottogruppi normali:

[*:2pcad10d]$H = { [0]_6}$;
[/*:m:2pcad10d][*:2pcad10d]$H = { [0]_6, [2]_6, [4]_6}$;
[/*:m:2pcad10d][*:2pcad10d]$H = { [0]_6, [3]_6}$:
[/*:m:2pcad10d][*:2pcad10d]$H = Z_6$.[/*:m:2pcad10d][/list:u:2pcad10d]

Sai già che non è possibile definire un omomorfismo iniettivo e che ci sono tre omomorfismi con nucleo $H = { [0]_6, [2]_6, [4]_6}$(quelli trovati da billyballo).
Non ci resta che contare di omomorfismi che hanno nucleo $H = Z_6$ o $H = { [0]_6, [3]_6}$. Nel primo caso otteniamo l'omomorfismo nullo, nel secondo sappiamo che $|\frac{Z_6}{H}| = \frac{6}{2} = 3$, quindi $Immf$ deve avere ordine 3, per fortuna esiste un solo sottogruppo di $S_3$ di ordine tre ed è il gruppo alterno: $A_3 = {id, (123), (132)}$ inoltre $A_3$ è ciclico!! Quindi è isomorfo a $Z_3$ e questo ci semplifica la vita: basta contare gli omomorfismi da $Z_6$ in $Z_3$(escludendo il morfismo nullo, altrimenti lo contiamo due volte), che sono $(3, 6) - 1 = 2$[nota]$gcd(6,3)$ è il numero di omomorfismi da $Z_6$ in $Z_3$, sottraggo 1 perché altrimenti conto due volte il morfismo nullo[/nota]. In totale abbiamo quindi $3 + 1 + 2 = 6$ omomorfismi.

Spero di non aver scritto stupidate .

Aspettiamo altri pareri .

Infine vorrei porre una domanda: in generale c'è una strategia veloce per contare omomorfismi tra gruppi ciclici e non?(se rischio di andare OT apro un altro topic).


Grazie a tutti!

[billyballo2123]

"Shocker":
Non ci resta che contare di omomorfismi che hanno nucleo $H = \mathbb{Z}_6$ o $H = { [0]_6, [3]_6}$.

Ma non dovevamo cercare solo gli omomorfismi con nucleo di ordine tre?

"gbspeedy":
Come faccio a trovare gli omomorfismi tra questi due gruppi con nucleo che abbia ordine 3?

[Shocker1]

"billyballo2123":[quote="Shocker"]
Non ci resta che contare di omomorfismi che hanno nucleo $H = \mathbb{Z}_6$ o $H = { [0]_6, [3]_6}$.

Ma non dovevamo cercare solo gli omomorfismi con nucleo di ordine tre?

"gbspeedy":
Come faccio a trovare gli omomorfismi tra questi due gruppi con nucleo che abbia ordine 3?

[/quote]

L'user ha poi fatto questa domanda:

"gbspeedy":[ot][/ot]puoi spiegarmi perchè $ G/(ker(f))=\{ [0]_6,[1]_6 \} $?

il prof ha detto che tutti gli omomorfismi sono 6.Perchè?

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Dato che mi sto esercitando proprio su queste cose ho provato a dare una risposta alla seconda domanda.

Ciao

[billyballo2123]

ok non avevo visto