Omomorfismi da un gruppo finito a Z
Salve a tutti,
scrivo per chiedere aiuto con un esercizio di un esame passato il cui testo mi la lascia proprio interdetto.
Non so proprio da che parte iniziare, quale parte della teoria che so usare. Non sono nemmeno sicuro di aver colto il senso della domanda. Suppongo che con \(\displaystyle \mathbb{Z} \) venga inteso il gruppo additivo (ma non viene specificato).
Inoltre non richiede nemmeno che questi omomorfismi siano suriettivi, quindi per esempio una volta trovato un omomorfismo dovrei considerare anche tutti gli altri omomorfismi con immagine isomorfa?
So che gli omomorfismi sono univocamente determinati dall'immagine dei generatori ma di G non so nulla e comunque riguardo l'argomento "presentazioni di gruppi" (se si chiama così) abbiamo fatto davvero poco.
Oppure avevo pensato di usare il solito teorema dell'omomorfismo per determinare l'immagine in qualche modo in base ai sottogruppi normali di G ma anche qui non so niente su G quindi boh.
Devo decomporre il gruppo? Servono i teoremi di Sylow?
Il problema è che davvero non so nemmeno da che parte partire, vi ringrazio in anticipo per le risposte, spero di non avere fatto troppa confusione.
scrivo per chiedere aiuto con un esercizio di un esame passato il cui testo mi la lascia proprio interdetto.
Sia G un gruppo finito. Determinare tutti i possibili omomorfismi di G in \(\displaystyle \mathbb{Z} \)
Non so proprio da che parte iniziare, quale parte della teoria che so usare. Non sono nemmeno sicuro di aver colto il senso della domanda. Suppongo che con \(\displaystyle \mathbb{Z} \) venga inteso il gruppo additivo (ma non viene specificato).
Inoltre non richiede nemmeno che questi omomorfismi siano suriettivi, quindi per esempio una volta trovato un omomorfismo dovrei considerare anche tutti gli altri omomorfismi con immagine isomorfa?
So che gli omomorfismi sono univocamente determinati dall'immagine dei generatori ma di G non so nulla e comunque riguardo l'argomento "presentazioni di gruppi" (se si chiama così) abbiamo fatto davvero poco.
Oppure avevo pensato di usare il solito teorema dell'omomorfismo per determinare l'immagine in qualche modo in base ai sottogruppi normali di G ma anche qui non so niente su G quindi boh.
Devo decomporre il gruppo? Servono i teoremi di Sylow?
Il problema è che davvero non so nemmeno da che parte partire, vi ringrazio in anticipo per le risposte, spero di non avere fatto troppa confusione.
Risposte
L'immagine del tuo omomorfismo $G \to ZZ$ è un sottogruppo di $ZZ$. Quali sono i sottogruppi di $ZZ$?
A meno di isomorfismi dovrebbero essere, escludendo quelli impropri, solo le classi di resto modulo n, dico bene?
I sottogruppi di $ZZ$ sono tutti del tipo $n ZZ$ con $n in ZZ$. Qui con $nZZ$ intendo l'insieme dei multipli di $n$.
Secondo te $n ZZ$ è un insieme finito o infinito?
Secondo te $n ZZ$ è un insieme finito o infinito?
Ah giusto, ho scritto una cavolata.
\(\displaystyle n\mathbb{Z} \) è infinito secondo me, non dovrebbe anche essere isomorfo a Z per ogni n?
Questo mi dice che Z non ha sottogruppi propri finiti, giusto?
Però non mi torna del tutto, non avevo mai avuto a che fare con sottogruppi isomorfi a tutto il gruppo in cui sono inclusi senza essere tutto il gruppo in cui sono inclusi.
\(\displaystyle n\mathbb{Z} \) è infinito secondo me, non dovrebbe anche essere isomorfo a Z per ogni n?
Questo mi dice che Z non ha sottogruppi propri finiti, giusto?
Però non mi torna del tutto, non avevo mai avuto a che fare con sottogruppi isomorfi a tutto il gruppo in cui sono inclusi senza essere tutto il gruppo in cui sono inclusi.
$nZZ$ è infinito, esattamente come dici, a meno che $n$ non sia uguale a zero, nel qual caso $nZZ = 0ZZ = \{0\}$.
Ora tu hai una funzione $G to ZZ$ dove $G$ è finito e l'immagine è un insieme $n ZZ$ che quindi deve essere finito (perché $G$ è finito). Ma $n ZZ$ è finito se e solo se $n=0$, quindi l'immagine è ${0}$. Ma allora l'unico omomorfismo possibile $G to ZZ$ è quello che manda tutto in zero. Ciao
Ora tu hai una funzione $G to ZZ$ dove $G$ è finito e l'immagine è un insieme $n ZZ$ che quindi deve essere finito (perché $G$ è finito). Ma $n ZZ$ è finito se e solo se $n=0$, quindi l'immagine è ${0}$. Ma allora l'unico omomorfismo possibile $G to ZZ$ è quello che manda tutto in zero. Ciao
Grazie mille!
E' tutto chiaro adesso, è molto più semplice di quanto pensassi all'inizio.
E' tutto chiaro adesso, è molto più semplice di quanto pensassi all'inizio.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo