Omomorfismi

[Noemi_9898]

Consideriamo f: GxG in G definita da f((x,y))=xy come si determina un isomorfismo tra Ker(f) e G?

[Studente Anonimo]

Così: $(x,y) to x$.

[Noemi_9898]

Perché?

[Studente Anonimo]

Prova a dimostrare che è un isomorfismo.

[Noemi_9898]

Ok ma in generale come si determina un isomorfismo tra un gruppo e un suo sottogruppo, in questo caso normale

[Studente Anonimo]

Non esiste una regola generale.

[Noemi_9898]

Se invece ho un gruppo G=Z7 x Z7* di cui il primo additivo e il secondo moltiplicativo. Che vuol dire determinare G a meno di isomorfismi?

[Stickelberger]

@mary.lisa Nel primo post l'applicazione data da
$f(x,y)=xy$ e' solo un omomorfismo quando $G$ e' un gruppo commutativo.
Ma non dici neanche che $G$ e' un gruppo

La domanda dell'ultimo post non ha molto senso. Se scrivi che "G=Z7 x Z7* e'
un gruppo", l'unica interpretazione ragionevole e' che si trattera' del prodotto
cartesiano. Ma a questo punto non c'e' piu' niente da determinare.

[algibro]

"Martino":Così: $(x,y) to x$.
Prova a dimostrare che è un isomorfismo.

Non credo di aver ben capito ma provo.
Ho $Ker f={(x,y) \in G\timesG:xy=1_G}$
Dunque, se non erro, ho il nucleo di $f$ che è composto da coppie di $G$ costituite da un elemento ed il suo inverso.
Come suggerisci stabilisco $\psi: Ker f to G$ tale che $\forall (x,y) \in Ker f, \psi(x,y)=x$.
Ora, però, non riesco a far vedere che questo è un omomorfismo, anzi mi viene il contrario:
per ogni coppia $(x,y),(z,w) \in Ker f$
$\psi ((x,y) \cdot (z,w))= \psi (1_G \cdot 1_G)=1_G \ne x \cdot z = \psi (x,y) \cdot \psi (z,w)$

[Studente Anonimo]

"algibro":$\psi ((x,y) \cdot (z,w))= \psi (1_G \cdot 1_G)$

Questa uguaglianza è falsa (inoltre non ha senso perché a sinistra l'argomento di $psi$ è una coppia di elementi di $G$, a destra un singolo elemento di $G$).

[algibro]

"Martino":[quote="algibro"]$\psi ((x,y) \cdot (z,w))= \psi (1_G \cdot 1_G)$

Questa uguaglianza è falsa.[/quote]

Ho scritto una scemenza, vero.

"Martino":inoltre non ha senso perché a sinistra l'argomento di $psi$ è una coppia di elementi di $G$, a destra un singolo elemento di $G$

Però mi chiedo, $\psi$ non associa ad ogni coppia $(x,y) \in Ker f$ l'elemento $x$ di $G$ ?
Come giustifico che
$\psi (x,y) \cdot \psi (z,w) = x \cdot z = ... = \psi ((x,y) \cdot (z,w))$ ?

[Studente Anonimo]

Usando la definizione di prodotto tra coppie ordinate nel prodotto diretto

[algibro]

"Martino":Usando la definizione di prodotto tra coppie ordinate nel prodotto diretto

$\psi ((x,y) \cdot (z,w))= \psi (xz,yw)= xz=\psi (x,y) \cdot \psi (z,w)$
Devo essermi rimbambito, proprio non mi veniva in mente questa cosa
Grazie mille Martino !

[Alin2]

Ciao Algibro, si riesce a far vedere un esempio con insiemi numerici di quanto detto.

$Kerf={(x,y)∈G×G:xy=1G}$
Dunque, se non erro, ho il nucleo di f che è composto da coppie di G costituite da un elemento ed il suo inverso.
Stabilisco $ψ:Kerf→G tale che ∀(x,y)∈Kerf,ψ(x,y)=x$
Per esempio $ψ(x,y)=x$ capiscoc che la coppia è formata da un $x*x^(-1) in Kerf$ , ma poi non capisco come viene
$ψ(x,y)=x$ Mi verrebbe da pensare che $x=e$

[algibro]

"Alin":non capisco come viene
$ψ(x,y)=x$ Mi verrebbe da pensare che $x=e$

Per come abbiamo definito $\psi$, ossia un'applicazione che associa ad ogni coppia $(x,y)$ il primo elemento della coppia, $x$.

[milos144]

Quindi, se parlassimo di insiemi numerici intesi come gruppi, per esempio alla coppia $(2,1/2) in GxG$ si associa il numero $2 in G$