Nuovo test di primalità
Stavo ragionando sulla creazione di un nuovo test di primalità e sono arrivato a questa serie.
[tex]S= \displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} \displaystyle\sum_{p\ primo}^{n} \frac{1}{2^p}[/tex]
Il test funziona così:
Numero da controllare: [tex]8[/tex]
Approssimazione di S conosciuta: [tex]S_n = \frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^5}+\frac{1}{2^7}[/tex]
Controllo: [tex]S_n + \frac{1}{2^8} < S[/tex] ?
Risposta: NO.
Conclusione: [tex]8[/tex] non è primo.
(Questo perché banalmente qualsiasi [tex]\frac{1}{2^n} > \displaystyle\sum_{k= n+1}^{\infty} \frac{1}{2^k}[/tex] dunque [tex]\frac{1}{2^n} > \displaystyle\sum_{p\ primo > n}^{\infty} \frac{1}{2^p}[/tex])
Il test si basa sul conoscere in anticipo il vero valore di [tex]S[/tex], che immagino essere irrazionale e probabilmente trascendente (ma questa potrebbe essere la congettura di un folle, quindi non date troppo peso alle mie parole)
L'utilità di questo test si vede nei numeri primi immensamente grandi, che possono così essere scoperti uno alla volta. Ogni primo nuovo richiede la conoscenza della più vicina approssimazione di S, quindi non è efficace per controllare un solo numero (tipo per verificare 353625441821003 non sarebbe di alcuna utilità, sarebbe anzi più lento se non si conosce [tex]S_n[/tex])
Purtroppo le mie nozioni di analisi sono tendenti a zero
dunque non so riconoscere il vero valore di [tex]S[/tex].
La mia segreta speranza è che si riveli un irrazionale legato a [tex]e[/tex] o [tex]\pi[/tex], qualcosa come [tex]\frac{\pi^2}{6}[/tex] o [tex]\frac{4}{\pi}[/tex], quindi facilmente conoscibile qualsiasi sia la precisione che cerchiamo. Nonostante la relativa "facilità" di questa opzione, comunque non saprei riconoscerlo da solo
Alcuni miei compagni di classe mi hanno proposto di sfuggita di assumere come vera l'ipotesi di Riemann, ma temo anche in questo caso di essere povero di nozioni.
Potete darmi una mano? Ve ne sarei immensamente grato.
P.S.: Spero di aver postato correttamente e nella sezione giusta, chiedo scusa per eventuali errori
[tex]S= \displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} \displaystyle\sum_{p\ primo}^{n} \frac{1}{2^p}[/tex]
Il test funziona così:
Numero da controllare: [tex]8[/tex]
Approssimazione di S conosciuta: [tex]S_n = \frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^5}+\frac{1}{2^7}[/tex]
Controllo: [tex]S_n + \frac{1}{2^8} < S[/tex] ?
Risposta: NO.
Conclusione: [tex]8[/tex] non è primo.
(Questo perché banalmente qualsiasi [tex]\frac{1}{2^n} > \displaystyle\sum_{k= n+1}^{\infty} \frac{1}{2^k}[/tex] dunque [tex]\frac{1}{2^n} > \displaystyle\sum_{p\ primo > n}^{\infty} \frac{1}{2^p}[/tex])
Il test si basa sul conoscere in anticipo il vero valore di [tex]S[/tex], che immagino essere irrazionale e probabilmente trascendente (ma questa potrebbe essere la congettura di un folle, quindi non date troppo peso alle mie parole)
L'utilità di questo test si vede nei numeri primi immensamente grandi, che possono così essere scoperti uno alla volta. Ogni primo nuovo richiede la conoscenza della più vicina approssimazione di S, quindi non è efficace per controllare un solo numero (tipo per verificare 353625441821003 non sarebbe di alcuna utilità, sarebbe anzi più lento se non si conosce [tex]S_n[/tex])
Purtroppo le mie nozioni di analisi sono tendenti a zero

La mia segreta speranza è che si riveli un irrazionale legato a [tex]e[/tex] o [tex]\pi[/tex], qualcosa come [tex]\frac{\pi^2}{6}[/tex] o [tex]\frac{4}{\pi}[/tex], quindi facilmente conoscibile qualsiasi sia la precisione che cerchiamo. Nonostante la relativa "facilità" di questa opzione, comunque non saprei riconoscerlo da solo

Alcuni miei compagni di classe mi hanno proposto di sfuggita di assumere come vera l'ipotesi di Riemann, ma temo anche in questo caso di essere povero di nozioni.
Potete darmi una mano? Ve ne sarei immensamente grato.
P.S.: Spero di aver postato correttamente e nella sezione giusta, chiedo scusa per eventuali errori
Risposte
Purtroppo siete, o sei, fuoristrada, la somma di una serie geometrica di ragione uguale ad $1/2$, escludendo i primi due indici, vale $0,5$, quindi ai voglia ad aggiungere potenze di $1/2$, più di quel $0,5$ non vai. Ciao
PS
Il fatto di aver dimostrato che la successione sia strettamente crescente, non significa che diverga, e infatti questo è proprio un caso in cui non diverge ma converge.
PS
Il fatto di aver dimostrato che la successione sia strettamente crescente, non significa che diverga, e infatti questo è proprio un caso in cui non diverge ma converge.
No, temo di non essermi spiegato a sufficienza.
La serie converge, ovviamente. Io volevo solo sapere il valore cui converge, e non deve essere un'approssimazione.
Esistono dei metodi per analizzare quella serie e vedere a cosa converge?
La serie converge, ovviamente. Io volevo solo sapere il valore cui converge, e non deve essere un'approssimazione.
Il test si basa sul conoscere in anticipo il vero valore di [tex]S[/tex]
Esistono dei metodi per analizzare quella serie e vedere a cosa converge?
Sorry non lo so esattamente, posso dirti che sicuramente è minore di $0,5$, io non si dirti di più.
Il Dio Wolfram Alpha afferma che
[tex]$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{p_n}}\tilde{=}0.414683[/tex] dove [tex]p_n[/tex] è l'ennesimo numero primo secondo l'ordinamento naturale. Non so in che modo si possa determinare la somma esatta... Ci penserò ma non credo che arriverò a qualche conclusione
[tex]$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{p_n}}\tilde{=}0.414683[/tex] dove [tex]p_n[/tex] è l'ennesimo numero primo secondo l'ordinamento naturale. Non so in che modo si possa determinare la somma esatta... Ci penserò ma non credo che arriverò a qualche conclusione

Ho provato a inserire il valore approssimato più vicino su wolfram alpha come hai fatto tu, e questo sembra essere la prime constant, http://mathworld.wolfram.com/PrimeConstant.html
Purtroppo sono veramente indietro in queste cose e questa costante non l'avevo mai sentita
Sarebbe bello se non fosse un'approssimazione ma ci fosse un modo per calcolare il vero valore.
Grazie del suggerimento comunque, Mathematico
SE è calcolabile, si può usare questo valore persino per sapere se tra due numeri naturali ci sono dei primi. Ha delle implicazioni pazzesche.
Purtroppo sono veramente indietro in queste cose e questa costante non l'avevo mai sentita

Sarebbe bello se non fosse un'approssimazione ma ci fosse un modo per calcolare il vero valore.
Grazie del suggerimento comunque, Mathematico

SE è calcolabile, si può usare questo valore persino per sapere se tra due numeri naturali ci sono dei primi. Ha delle implicazioni pazzesche.

"albertobosia":
Sarebbe bello se non fosse un'approssimazione ma ci fosse un modo per calcolare il vero valore.
Grazie del suggerimento comunque, Mathematico
Beh c'è anche 1 milione di dollari in palio, che di questi tempi non guasta, poi si andrebbe a far benedire la maggior parte dei sistemi di sicurezza informatici. Se ti può consolare, quello non è un problema alla uovo di colombo, altrimenti sono più di 150 anni che ci provano, qualcuno lo avrebbe risolto.
Se ci riesco me lo danno 1 milione di dollari? 
@Albertobosia, il problema non è affatto banale come già sospettavo all'inizio. Tra l'altro la teoria analitica dei numeri è davvero molto complessa. Se sei interessato ad attaccare il problema, devi iniziare dalle basi e via via continuare.
Comunque.... fino a questo momento non ho mai sentito nominare questa prime constant.... Sono ignorante io oppure è qualcosa che non rietra nei normali studi universitari? oppure tutt' e due le opzioni?
Vabbè l'importante è imparare qualcosa di nuovo ogni giorno

@Albertobosia, il problema non è affatto banale come già sospettavo all'inizio. Tra l'altro la teoria analitica dei numeri è davvero molto complessa. Se sei interessato ad attaccare il problema, devi iniziare dalle basi e via via continuare.
Comunque.... fino a questo momento non ho mai sentito nominare questa prime constant.... Sono ignorante io oppure è qualcosa che non rietra nei normali studi universitari? oppure tutt' e due le opzioni?
Vabbè l'importante è imparare qualcosa di nuovo ogni giorno

"Mathematico":
Se ci riesco me lo danno 1 milione di dollari?
Te li danno eccome!
