Nuova congettura (da articolo inedito)
Problema difficile che nemmeno io sono stato in grado di risolvere completamente... ve lo posto qui in anteprima assoluta, giacché l'ho inserito a fine appendice di un manoscritto appena inviato in revisione e devo ancora finire di sistemare la versione preprint che proporrò poi ad arXiv.
Chiunque può provare a cimentarsi nella sfida, provando a dimostrare la mia congettura o anche solo cercando un controesempio per via computazionale, ma mi aspetto che avere un dottorato in matematica sia quasi un prerequisito per tentare la prima opzione.
Domanda: È vero che tutti i termini della sequenza A376842 della OEIS (cfr. https://oeis.org/A376842) sono elementi dell'insieme $$S :=\{-1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 19, 28, 46, 64, 82, 1397, 1793, 2486, 2684, 3971, 4268, 4862, 6248, 6842, 7931, \\ 8426, 8624\}$$?
Risultato parziale mio: Posso provare direttamente che per ogni dato elemento di $S$ esisterà sempre un qualche $n \in \mathbb{N}-\{0,1\}$ tale per cui A376842($n$) sia proprio pari all'elemento prescelto di $S$ (è stato già tutto scritto nel manoscritto di cui sopra - Sezione 3).
Congettura (motivata in modo profondo e lungo da scrivere qui): Gli elementi dell'insieme suddetto coprono tutti i valori di A376842($n$) al variare di $n$ negli interi maggiori di $1$.
P.S.
Se qualcuno riuscisse a dimostrare la congettura, potrebbe anche poi considerare l'opzione di attendere che il preprint/paper venga pubblicato e poi pubblicare a propria volta la soluzione. Questo genererebbe automaticamente anche una nuova sequenza per la OEIS che sarei lieto di co-pubblicare in caso di interesse in tal senso.
Chiunque può provare a cimentarsi nella sfida, provando a dimostrare la mia congettura o anche solo cercando un controesempio per via computazionale, ma mi aspetto che avere un dottorato in matematica sia quasi un prerequisito per tentare la prima opzione.
Domanda: È vero che tutti i termini della sequenza A376842 della OEIS (cfr. https://oeis.org/A376842) sono elementi dell'insieme $$S :=\{-1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 19, 28, 46, 64, 82, 1397, 1793, 2486, 2684, 3971, 4268, 4862, 6248, 6842, 7931, \\ 8426, 8624\}$$?
Risultato parziale mio: Posso provare direttamente che per ogni dato elemento di $S$ esisterà sempre un qualche $n \in \mathbb{N}-\{0,1\}$ tale per cui A376842($n$) sia proprio pari all'elemento prescelto di $S$ (è stato già tutto scritto nel manoscritto di cui sopra - Sezione 3).
Congettura (motivata in modo profondo e lungo da scrivere qui): Gli elementi dell'insieme suddetto coprono tutti i valori di A376842($n$) al variare di $n$ negli interi maggiori di $1$.
P.S.
Se qualcuno riuscisse a dimostrare la congettura, potrebbe anche poi considerare l'opzione di attendere che il preprint/paper venga pubblicato e poi pubblicare a propria volta la soluzione. Questo genererebbe automaticamente anche una nuova sequenza per la OEIS che sarei lieto di co-pubblicare in caso di interesse in tal senso.
Risposte
P.S. Se escludiamo il termine negativo di $S$ (messo lì solo per non avere buchi nella sequenza suddetta) relativo ai valori di $n$ che terminano per zero, ho già dimostrato direttamente che possiamo generare tutti i termini di $S$ anche limitandoci a considerare soltanto i numeri coprimi a $10$. La cosa difficile è fare il contrario, mostrando che non esistano possibili controesempi, giacché per riuscirci non riesco a pensare a un modo che non preveda di includere la lunghezza del preperiodo della velocità di congruenza nella formula e la cosa si complica non poco per le basi che terminano per $3$ o $7$ (per quelle che terminano in $2,4,5,6,8$ è fattibilissimo, ma non basta per provare il risultato generale che pertanto ho fornito come mera congettura).
Qual è l'interesse che la comunità di teoria dei numeri e matematica discreta ha per questa classe di problemi legati al comportamento asintotico delle torri di esponenti? Quali congetture/problemi cerca di risolvere la ricerca in merito?
Se ho capito bene il nucleo di (quasi) tutti i tuoi scritti, si tratta di studiare proprietà aritmetiche del sistema dinamico definito come segue: fissa un numero \(a\in\mathbb N\) e definisci la funzione \(t : \mathbb N \to \mathbb N\) per induzione su \(n\ge 1\) come \(t(1,a):=a, t(1+n,a):=a^{t(n,a)}\). In particolare, capisco bene che ti interessa il comportamento asintotico della funzione \(t_a^{10} : \mathbb N \to \{0,\dots,9\} : n\mapsto t(n,a)\pmod{10}\) e la sua assenza o presenza di periodicità?
A quale grande progetto sta cooperando, questa ricerca? (Per esempio: Mi sorprenderebbe sapere che può esistere un seed $a$ tale che la successione sia aperiodica: esiste?)
Se ho capito bene il nucleo di (quasi) tutti i tuoi scritti, si tratta di studiare proprietà aritmetiche del sistema dinamico definito come segue: fissa un numero \(a\in\mathbb N\) e definisci la funzione \(t : \mathbb N \to \mathbb N\) per induzione su \(n\ge 1\) come \(t(1,a):=a, t(1+n,a):=a^{t(n,a)}\). In particolare, capisco bene che ti interessa il comportamento asintotico della funzione \(t_a^{10} : \mathbb N \to \{0,\dots,9\} : n\mapsto t(n,a)\pmod{10}\) e la sua assenza o presenza di periodicità?
A quale grande progetto sta cooperando, questa ricerca? (Per esempio: Mi sorprenderebbe sapere che può esistere un seed $a$ tale che la successione sia aperiodica: esiste?)
Megas ha elegeantemente riassunto 12 anni di "papers" dell'OP (su peculiari giornali) in una chiara e semplice formulazione matematica.
Nessuna risposta dell'OP.
OP mi ricorda quel vecchio personaggio tv della "fotosintesi clorofilliana", che sapeva e sparava tutte le risposte, fintantoché nessuno gli faceva domande; poi alla
prima domanda andava in cortocircuito: https://youtu.be/ornSy8P6qr4?si=xe_GLgQnLHIaqJ1E
Nessuna risposta dell'OP.
OP mi ricorda quel vecchio personaggio tv della "fotosintesi clorofilliana", che sapeva e sparava tutte le risposte, fintantoché nessuno gli faceva domande; poi alla
prima domanda andava in cortocircuito: https://youtu.be/ornSy8P6qr4?si=xe_GLgQnLHIaqJ1E
Io vorrei lanciare un salomonico appello, specie a FLovini che mi sembra bello agguerrito sull'argomento, a lasciar perdere. Ognuno ha il diritto di avere gli hobby che preferisce, dal modellismo al bdsm a questa roba della tetrazione. Ovviamente la domanda di megas_archon è più che legittima, ma io so che lui sa di conoscere già la risposta. Ve ne prego, lasciate perdere.
Stavo per scrivere lo stesso.
L'utente FLovini è stato già pregato altre volte di non provocare risse sul forum. Conoscendo un po' (
) le regole dell'amministrazione, gli consiglio vivamente -se vuole rimanere con noi- di moderare i toni.
L'utente FLovini è stato già pregato altre volte di non provocare risse sul forum. Conoscendo un po' (
) le regole dell'amministrazione, gli consiglio vivamente -se vuole rimanere con noi- di moderare i toni.
"gugo82":Gi sconsigli di moderare i toni?
gli sconsiglio vivamente -se vuole rimanere con noi- di moderare i toni.
Concordo con hydro e gugo. È meglio non alimentare possibili litigi.
"Martino":Gi sconsigli di moderare i toni?
[quote="gugo82"]gli sconsiglio vivamente -se vuole rimanere con noi- di moderare i toni.
Concordo con hydro e gugo. È meglio non alimentare possibili litigi.[/quote]
Eh, Marti'... Il maledetto correttore ortografico del telefono.
In realtà mi ero sforzato di formalizzare il problema perché mi piacerebbe avere una risposta, non l'avevo chiesto per provocare. Hydro, tu o qualcun altro sa qualcosa di una qualsiasi applicazione di questo feticismo numerologico? O preferisci il bdsm come me?
"megas_archon":
In realtà mi ero sforzato di formalizzare il problema perché mi piacerebbe avere una risposta, non l'avevo chiesto per provocare.
Sì sì immaginavo. Quella sequenza è necessariamente preperiodica, semplicemente per pigeonhole.
"megas_archon":
Hydro, tu o qualcun altro sa qualcosa di una qualsiasi applicazione di questo feticismo numerologico? O preferisci il bdsm come me?
Come diceva qualcuno.
"megas_archon":
Qual è l'interesse che la comunità di teoria dei numeri e matematica discreta ha per questa classe di problemi legati al comportamento asintotico delle torri di esponenti? Quali congetture/problemi cerca di risolvere la ricerca in merito?
Se ho capito bene il nucleo di (quasi) tutti i tuoi scritti, si tratta di studiare proprietà aritmetiche del sistema dinamico definito come segue: fissa un numero \(a\in\mathbb N\) e definisci la funzione \(t : \mathbb N \to \mathbb N\) per induzione su \(n\ge 1\) come \(t(1,a):=a, t(1+n,a):=a^{t(n,a)}\). In particolare, capisco bene che ti interessa il comportamento asintotico della funzione \(t_a^{10} : \mathbb N \to \{0,\dots,9\} : n\mapsto t(n,a)\pmod{10}\) e la sua assenza o presenza di periodicità?
A quale grande progetto sta cooperando, questa ricerca? (Per esempio: Mi sorprenderebbe sapere che può esistere un seed $a$ tale che la successione sia aperiodica: esiste?)
Ciao, hai fatto bene ad aggiornare i commenti, perché non mi ero proprio accorto che questo thread aveva ricevuto delle risposta (e per fortuna, giacché l'hater anonimo di turno aveva colpito non riuscendo a contenere il proprio rosik acuto causatogli dalla mia chiacchierata con Evangelos su YT).
Tornando a noi, nell'articolo che mi hanno appena approvato, su richiesta dei revisori, ho inserito anche una mezza paginetta introduttiva sulla possibile utilità della velocità di congruenza della tetrazione e derivati (sia presente che prospettica). Diciamo che la crittografia può sempre essere tirata in ballo, ma non solo... in questo mio recentissimo preprint faccio ad esempio vedere come, considerando appena la base $3$, ti dico qual è il valore esatto delle cifre del numero di Graham che possono essere determinate iterando il lemma di Hensel per calcolare le cifre meno significative di $3^{3^{3^{\cdots}}}$ (cfr. Theorem 2.3): https://arxiv.org/pdf/2411.00015
Cercando di riassumere il più possibile perché al momento ho davvero poco tempo per dilungarmi (anche se mi piacerebbe discutere poi con più calma e attenzione): il problema e la relativa curiosità sorse in me a fine 2010 quando, giocando con WolframAlpha, mi accorsi che il comportamento delle cifre finali delle tetrazioni con iperesponenti consecutivi non solo freezava delle cifre man mano che le iterazioni crescevano, ma che il numero stesso di quelle cifre non era imprevedibile.
Con le regole che ho trovato (e dimostrato), intanto puoi risolvere particolari tipi di congruenze tra torri di potenze di altezze siderali che coinvolgano basi contraddistinte dalle stesse cifre finali (lungo da spiegare nel dettaglio) e poi sì, mi piace l'idea di aver definito una funzione discreta dai naturali che non terminano per zero all'intero insieme $\mathbb{N}$ che imbrigli la coda di numeri spropositatamente grandi (ho fatto giusto l'esempio del numero di Graham perché è parecchio noto, ma ne potrei prendere tantissimi altri simili da Googology o simili).
In realtà ho pure fornito la formula che descrive la velocità di congruenza per le basi che terminano per zero, ma il fatto che non si stabilizzi mai e cresca così rapidamente la rende di per sé poco interessante (comunque l'articolo di riferimento è questo: https://arxiv.org/pdf/2402.07929).
Lo "sfasamento asintotico" è qualcosa che si colloca ancora oltre la velocità di congruenza, perché tramite essa è definito e in concreto esso va a mappare il comportamento delle cifre appena oltre il confine di quelle stabili... è una sorta di cane da guardia delle cifre stabili delle torri di potenze di una data base.
A dirla tutta, non vorrei scrivere proprio tutto-tutto quello che ho in testa in merito a possibili utilizzi futuri di queste nuove funzioni discrete che derivano dall'osservazione del comportamento delle cifre finali delle tetrazioni intere, ma all'ultima domanda darò giusto la seguente risposta parziale e stringata; si dimostra che se facciamo il seguente gioco, vincero sempre io.
Gioco: "Tu scegli un numero reale $x$ e io ti trovo sempre una base intera $\tilde{a}$ (maggiore di $1$ e non multipla di $10$) che in radix-$10$ sia associata a una velocità di congruenza che si stabilizzi non prima di $x$ iterazioni (cioè, per un iperesponente minimo, $\bar{b}$, non più piccolo di $x$)".
Io: Scegli un numero reale, grande a piacere.
Tu: Scelgo $x \in \mathbb{R}^+$.
Io: Perfetto, allora, ad esempio, mi basta prendere la base $\tilde{a}(x)$ che ad altezza $\tilde{a}$^^$\floor(x)$ non è caratterizzata da una velocità di congruenza costante e anzi, sono pure certo che a quell'altezza NON esibirà mai una velocità di congruenza pari al valore su cui poi si stabilizzerà (in compenso, per farla semplice, sappiamo già che a partire da qualsiasi iperesponente maggiore di $\tilde{a}(x)$ stessa avremo velocità di congruenza costante per la data $\tilde{a}(x)$).
Mi fermo qui, ribadendo che faccio tutto questo per pura passione e non con finalità di guadagno di sorta
[Editato correggendo qualche refuso di troppo che rendeva la comprensione difficile]*
P.S. Nell'esempio del "gioco" di cui sopra, mi sono dimenticato di specificare che, ovviamente, la base $\tilde{a}$ la prenderei all'interno degli interi positivi maggiori di $1$ e non multipli di $10$, sennò sarebbe banale... e non solo, potrò poi sempre fornire anche un valore sufficiente dell'iperesponente per cui quella data base esibisca velocità di congruenza costante da lì in su.
Potrei poi proporre tanti altri giochini simili... ne lascio giusto uno come esercizio per il lettore.
Scrivere una base che sia una potenza (1googleplex)-esima e che sia al contempo caratterizata da una velocità di congruenza costante pari a 1googleplex.
Potrei poi proporre tanti altri giochini simili... ne lascio giusto uno come esercizio per il lettore.
Scrivere una base che sia una potenza (1googleplex)-esima e che sia al contempo caratterizata da una velocità di congruenza costante pari a 1googleplex.
"hydro":
Sì sì immaginavo. Quella sequenza è necessariamente preperiodica, semplicemente per pigeonhole.
Non è che potresti esplicitare meglio ciò che intendi? Ok, è ovvio che per il principio dei cassetti, prima o poi, una sequenza infinita di numeri naturali (e in più $-1$) di massimo $4$ cifre (o meglio, di quaterne di cifre tra $1$ e $9$) creerà dei doppioni, ma non capisco come si potrebbe sfruttare la cosa per provare/confutare la congettura che ho postato e che è ribadita sia nei commenti di OEIS che nell'Appendice dell'ultimo preprint.
Faccio un esempio più specifico, premettendo che con $bar{b}$ indichiamo il più piccolo iperesponente che per una data base di tetrazione origini velocità di congruenza costante: "Esiste o meno un qualche numero naturale, maggiore di $1$ e non multiplo di $10$, il cui sfasamento ad altezza $\bar{b}$ (i.e., la classe di congruenza modulo $10$ della differenza tra la cifra meno significativa non stabile della data base tetratta $\bar{b}$ e la cifra omologa della tetrazione ($\bar{b}+1$)-esima della stessa base) sia pari a $9$ e ad altezza $bar{b}+1$ sia pari a $1$?".
Io vi posso fornire infinite basi caratterizzate da sfasamento $1$ ad altezza $bar{b}$ e sfasamento $9$ ad altezza $bar{b}+1$. In pratica, per iperesponenti $bar{b}$, $bar{b}+1$, $bar{b}+2$, $bar{b}+3$, $\ldots$ abbiamo sfasamenti $1, 9, 1, 9, 1, 9, \ldots$ anziché $9, 1, 9, 1, 9, 1 \ldots$.
Ecco qui alcune basi caratterizzate dal suddetto sfasamento asintotico $[1, 9]$: $901$, $9001$, $90001$, $\ldots$, $9 \cdot 10^k +1$ con $k \in mathbb{N}-\{0,1\}$... ma anche, che so, $(17 \cdot 647)^{10}$ avrà sfasamento asintotico [$1, 9]$. Infinite basi, appunto.
Ora dunque, come concludiamo qualcosa sulla possibilità o meno che si verifichi $[9, 1]$ usando il principio della piccionaia?
P.S. Mi rendo conto che definire lo sfasamento a parole suoni come una mezza super****la, quindi rimando l'attento lettore alla Definizione 3.2 del menzionato preprint (a fine pag. 4): https://arxiv.org/pdf/2411.00015
"marcokrt":
[quote="hydro"]
Sì sì immaginavo. Quella sequenza è necessariamente preperiodica, semplicemente per pigeonhole.
Non è che potresti esplicitare meglio ciò che intendi? Ok, è ovvio che per il principio dei cassetti, prima o poi, una sequenza infinita di numeri naturali (e in più $-1$) di massimo $4$ cifre (o meglio, di quaterne di cifre tra $1$ e $9$) creerà dei doppioni, ma non capisco come si potrebbe sfruttare la cosa per provare/confutare la congettura che ho postato [/quote]
Non mi stavo riferendo alla tua sequenza, ma a quella definita da megas_archon.
"megas_archon":
Qual è l'interesse che la comunità di teoria dei numeri e matematica discreta ha per questa classe di problemi legati al comportamento asintotico delle torri di esponenti? Quali congetture/problemi cerca di risolvere la ricerca in merito?
Considerando che hyper-4 è un (iper)operatore che genera numeri molto più grandi di quelli che comunemente riusciamo a gestire, ci sono (IMHO) solo applicazioni limitate nel presente e prospetticamente boh... aspettiamo prima l'avvento dei quantum computer a uso domestico per riparlarne (si scherza).
In realtà, è l'analisi stessa della struttura dei numeri generati tramite tetrazioni intere di altezza almeno $\bar{b}$ che ci suggerisce le possibili applicazioni immediate: hai una coda regolare lunga il numero di cifre stabili alla data altezza che è relativamente prevedibile, poi una zona sfumata di semi-prevedibilità (sfasamento e cifre all'immediata sinistra di quelle di confine non stabili... e queste sono di numero esattamente pari al valore della velocità di congruenza costante) e andando ancora più a sinistra hai l'anticamera della teoria del caos vera e propria. Paradossalmente ci sono sistemi di numerazione che ti permettono di determinare la cifra più significativa in modo banale (che so, per il suddetto numero di Graham è $1$ in base $3$ perché stiamo considerando un multiplo di $3$ per definizione), ma non quella subito alla sua destra.
Se ho capito bene il nucleo di (quasi) tutti i tuoi scritti, si tratta di studiare proprietà aritmetiche del sistema dinamico definito come segue: fissa un numero \(a\in\mathbb N\) e definisci la funzione \(t : \mathbb N \to \mathbb N\) per induzione su \(n\ge 1\) come \(t(1,a):=a, t(1+n,a):=a^{t(n,a)}\). In particolare, capisco bene che ti interessa il comportamento asintotico della funzione \(t_a^{10} : \mathbb N \to \{0,\dots,9\} : n\mapsto t(n,a)\pmod{10}\) e la sua assenza o presenza di periodicità?
Permettimi di usare la notazione classica che ho introdotto. Consideriamo il comune sistema base $10$. Chiamiamo $a$ la base (intero, non multiplo di $10$), $b$ l'iperesponente e $V(a,b)$ la funzione che conta il numero di nuove cifre stabili per la data base di tetrazione ad altezza $b$ (questo in realtà non vale sempre, ma se prendiamo $b>1$ e $a \ne 5$ - o alternativamente $b>2$ - le due cose coincidono al millimetro, perché altrimenti esistono sporadici casi per cui dovremmo considerare degli zeri alla sinistra di $a$ per riempire).
Negli ormai 6 articoli basati sulla velocità di congruenza che ho scritto (di cui uno totalmente inedito), faccio varie cosucce e mi pongo vari problemi, ma il core è chiaramente che la velocità di congruenza della tetrazione diventa costante e indipendente da $b$ quando $b:=b(a)$ è sufficientemente grande. Il problema è stato già risolto e addirittura abbiamo fornito la formula completa che descrive $V(a)$ (cioè la velocità di congruenza costante di $a$) per ogni $a$ suddetta.
La periodicità è dimostrata e il relativo problema risolto, semmai manca giusto una formula esatta per alcune particolari basi che ci restituisca il valore preciso di $\bar{b}(a)$, ma avendo fornito dei buond belli stretti e una condizione sufficiente per $b \geq \bar{b}(a)$ che se non centra $b=bar{b}$ si discosta comunque di pochissimo dal valore ottimale, l'unica utilità di trovare questa formula esplicita per $\bar{b}(a)$ in tutti i casi residuali è di determinare esplicitamente il valore dello sfasamento asintotico di $a$ e non rischiare di ottenere sue permutazioni circolari (le cifre sempre quelle sono, al massimo se si ha una coppia di valori o una quartina, si potrà avere discordanza sul valore iniziale della stessa a seconda se si inizia con lo sfasamento ad altezza $bar{b}$ o ad altezza $b \geq \bar{b}(a)$).
In sintesi: il bello (e l'eleganza) della formula della velocità di congruenza costante di $a$ è che essa se ne infischia del valore delle singole cifre finali freezate, lavora solo con la loro numerosità sfruttando i cicli e le ricorrenze originate già a livello hyper-$3$ tramite potenze intere successive di una data base. Trasponendo poi il tutto al livello dell'iperoperatore successivo (i.e., la tetrazione) si ottiene il perfetto matching: l'unico iperoperatore caratterizzato da velocità di congruenza costante (per basi non multiple di $g$ in radix-$g$) è proprio la tetrazione, nessun altro (nemmeno di grado superiore come la pentazione) esibirà mai tale proprietà.
Questo ci permette di sfruttare la velocità di congruenza per risolvere anche problemi di congruenze che coinvolgano iperoperatori di grado elevatissimo, come esemplificativamente mostra ciò che ho fatto nell'ultimo lavoro sul numero di Graham.
Lo sfasamento asintotico però, ripeto, è qualcosa che si colloca a un livello di complessità ancora superiore, perché non prescinde (almeno nella formulazione attuale) dalla determinazione della velocità di congruenza costante e pure di $bar{b}(a)$... è un po' la ciliegina sulla torta che lascio in eredità a chi vorrà ripercorrere ciò che ho realizzato per le cifre alla destra di quella sfasata. Manco fossi Gol D. Roger: "La formula esplicita dello sfasamento asintotico di $a$. Chissà se qualcuno di voi la troverà...
.A quale grande progetto sta cooperando, questa ricerca? (Per esempio: Mi sorprenderebbe sapere che può esistere un seed $a$ tale che la successione sia aperiodica: esiste?)
Il seed lo possiamo generare come ho anticipato in un commento precedente, scegliendoci delle basi particolarissime (che obbligatoriamente termineranno con $3$ o $7$ [spoiler!!
]) per cui possiamo sempre ottenere un numero di step grande a piacere di velocità di congruenza diversa dal valore costante... però, per scrivere in modo esplicito tali numeri ci serve di fare dei calcoli con le potenze, io ne ho tabulati giusto un centinaio per sfizio e li ho pure citati nei paper, poi si tratta solo di alterare una cifra di confine in un certo modo e quelle alla sua sinistra le possiamo inventare. Se però vuoi, che so, $10^8$ iterazioni (cioè un iperesponente $b=10^8$) per cui la velocità di congruenza non sia costante, quelle $10^8$ cifre vanno calcolate e poi stipate da qualche parte... origineranno infinite basi valide da lì in poi, ma non è di per sé automaticamente qualcosa di spendibile per sostituire i punti su curve ellittiche o il prodotto tra semiprimi di dimensioni simili (vedi RSA) in algoritmi a chiave pubblica.
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