Numero irrazionale
Salve,
non capisco bene la spiegazione che mi da il libro di Spivak sul perchè il numero radice (2) sia irrazionale.
quella dove comincia affermando que se esistesse un numero razionale tale che
(p/q)^2 = 2 , e fa una serie di passi che non riesco a capire dove sta la contraddizione,
grazie per l'attenzione , ciao
non capisco bene la spiegazione che mi da il libro di Spivak sul perchè il numero radice (2) sia irrazionale.
quella dove comincia affermando que se esistesse un numero razionale tale che
(p/q)^2 = 2 , e fa una serie di passi che non riesco a capire dove sta la contraddizione,
grazie per l'attenzione , ciao
Risposte
Guarda qui, mi sembra che questa spiegazione sia molto chiara. Se comunque hai ancora dubbi chiedi pure.
Prova a postare questi passaggi. Io per esempio conosco almeno due modi a partire da quello che hai scritto.
Le istruzioni su come inserire le formule correttamente le trovi qui.
https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html
In ogni caso, prima di inviare il messaggio clicca su "Anteprima", per vedere se il tutto si visualizza correttamente.
Mettendo tra il simbolo del dollaro questa scrittura
p/q=sqrt2
ottieni
$p/q=sqrt2$
invece per scrivere
$p^2/q^2=2$
metti in mezzo ai dollari
p^2/q^2=2
Il resto è tutto facile
Ciao.
Le istruzioni su come inserire le formule correttamente le trovi qui.
https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html
In ogni caso, prima di inviare il messaggio clicca su "Anteprima", per vedere se il tutto si visualizza correttamente.
Mettendo tra il simbolo del dollaro questa scrittura
p/q=sqrt2
ottieni
$p/q=sqrt2$
invece per scrivere
$p^2/q^2=2$
metti in mezzo ai dollari
p^2/q^2=2
Il resto è tutto facile
Ciao.
Se non ricordo male la dimostrazione è la seguente:
Supponiamo che $sqrt2$ sia razionale. Allora esisteranno $p,q in NN " t.c. " p/q = sqrt2$, con $p$ e $q$ coprimi, altrimenti si riduce la frazione.
Allora $(p^2)/(q^2)=2 => p^2 = 2*q^2$.
Essendo ora il secondo membro un multiplo di 2, allora lo sarà anche il primo membro, ovvero $p^2$ è un numero pari. Ma allora anche $p$ è un numero pari (un numero pari al quadrato è pari, un numero dispiari al quadrato è dispari). Essendo $p$ pari, si scriverà allora come $p=2*m " , " m in NN$, da cui $(2*m)^2= 2*q^2 => 4*m^2 = 2*q^2 => 2*m^2 = q^2$.
Ora il primo membro è un multiplo di 2, quindi lo sarà anche il secondo membro, ovvero $q^2$ è un numero pari. Ma allora anche $q$ è pari.
Quindi sia $q$ che $p$ sono pari, contraddicendo l'ipotesi che essi sono coprimi, quindi si arriva ad un assurdo.
Spero di essere stato chiaro!
Ciao
Supponiamo che $sqrt2$ sia razionale. Allora esisteranno $p,q in NN " t.c. " p/q = sqrt2$, con $p$ e $q$ coprimi, altrimenti si riduce la frazione.
Allora $(p^2)/(q^2)=2 => p^2 = 2*q^2$.
Essendo ora il secondo membro un multiplo di 2, allora lo sarà anche il primo membro, ovvero $p^2$ è un numero pari. Ma allora anche $p$ è un numero pari (un numero pari al quadrato è pari, un numero dispiari al quadrato è dispari). Essendo $p$ pari, si scriverà allora come $p=2*m " , " m in NN$, da cui $(2*m)^2= 2*q^2 => 4*m^2 = 2*q^2 => 2*m^2 = q^2$.
Ora il primo membro è un multiplo di 2, quindi lo sarà anche il secondo membro, ovvero $q^2$ è un numero pari. Ma allora anche $q$ è pari.
Quindi sia $q$ che $p$ sono pari, contraddicendo l'ipotesi che essi sono coprimi, quindi si arriva ad un assurdo.
Spero di essere stato chiaro!
Ciao
Forse non hai notato l'ipotesi iniziale che $p/q$ sia una frazione ridotta ai minimi termini. L'assurdo sta a dimostrare che se tale frazione esistesse cosìcché $p^2/q^2=2$ $p/q$ non sarebbe ai minimi termini, contrariamente all'ipotesi.
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