Numero di ideali

[mmattiak]

Dato $ RR [x] mod (x^2+1) $ un anello quoziente e $ x^2+1 $ polinomio che genera l ideale. Come calcolereste il numero di ideali dell'anello quoziente? In che direzione vi muovereste?

[vict85]

[xdom="vict85"]Il [regolamento]1_4[/regolamento] prevede un tentativo da parte tua.[/xdom]

Come è fatto quell'anello?

[mmattiak]

È un anello quoziente, in cui l'ideale è generato dal polinomio. Quindi dovrei trovare gli ideali delle altre classi laterali. La mia idea era sommare all ideale dei polinomi in modo da rendere la somma un polinomio irriducibile. Sbaglio?

[vlander]

Nota che \(\mathbb{R}\) è un campo quindi \(\mathbb{R}[x]\) è un PID, inoltre \(x^2 + 1\) è irriducibile in \(\mathbb{R}[x]\) quindi hai che \(\mathbb{R}[x]/(x^2+1)\) è un campo. Quali/quanti ideali ha un campo?

[mmattiak]

Proprio a questa domanda non saprei rispondere

[vict85]

Cosa succede quando un ideale contiene 1?

[mmattiak]

L ideale è uguale all anello

[mmattiak]

Quindi esiste un unico ideale

[vict85]

C'è anche l'ideale banale.

[Martino]

Prova a contare gli ideali di [tex]\mathbb{R}[X]/(X^4-1)[/tex]. Usa il teorema di corrispondenza. In pratica devi contare gli ideali di [tex]\mathbb{R}[X][/tex] che contengono [tex]X^4-1[/tex]. Ricorda che sono tutti principali perché [tex]\mathbb{R}[X][/tex] è un PID. E cosa significa che un ideale principale ne contiene un altro, in termini dei generatori? E secondo te quanti sono quelli massimali?

Se riesci a farlo ti puoi chiedere: quanti sono gli ideali (e quanti quelli massimali) di un generico quoziente [tex]\mathbb{R}[X]/(P(X))[/tex]? In termini di [tex]P(X)[/tex].