Numero di funzioni suriettive e omomorfismi di anelli

[gioce90]

Salve a tutti. Vi espongo il mio problema:

Quante sono le funzioni suriettive $f:Z8→Z4$ ?
Quante e quali di esse sono omomorfismi di anelli?

Per la prima parte, ho ragionato così:

Parlando di suriettive, sappiamo che per ogni elemento del codominio ci deve essere uno del dominio.
(questo perché "per ogni elemento del codominio esiste elemento del dominio tale che f(x)=y")

Dunque vuol dire che gli elementi in Z4 sono tutti "presi" dal dominio. Ora la domanda è... in quanti modi?

Ho pensato che:
0 può essere preso in 8 modi
1 in 7
2 in 6
3 in 5
Per cui 8*7*6*5 = 1680 funzioni suriettive

Secondo voi è giusto il mio ragionamento?
Poi sapreste darmi una mano per la seconda parte? Non so da dove cominciare

[Smoke666]

Ne approfitto per fare una domanda pertinente: per il numero delle funzioni suriettive non vale questa formula?

\(\displaystyle \sum _{j=0}^m\binom{m}{j}(-1)^j(m-j)^n \)

con $n=8,m=4$

Il risultato però è nettamente diverso da quello calcolato da gioce...

[bestiedda2]

"gioce90":Salve a tutti. Vi espongo il mio problema:

Quante sono le funzioni suriettive $f:Z8→Z4$ ?
Quante e quali di esse sono omomorfismi di anelli?

Per la prima parte, ho ragionato così:

Parlando di suriettive, sappiamo che per ogni elemento del codominio ci deve essere uno del dominio.
(questo perché "per ogni elemento del codominio esiste elemento del dominio tale che f(x)=y")

Dunque vuol dire che gli elementi in Z4 sono tutti "presi" dal dominio. Ora la domanda è... in quanti modi?

Ho pensato che:
0 può essere preso in 8 modi
1 in 7
2 in 6
3 in 5
Per cui 8*7*6*5 = 1680 funzioni suriettive

Secondo voi è giusto il mio ragionamento?
Poi sapreste darmi una mano per la seconda parte? Non so da dove cominciare

Non è corretto. Ad esempio, non è vero che 0 può essere preso in 8 modi: ad esempio, 0 può essere l'immagine di un sottoinsieme di Z8 di ordine 2 (o di altri ordini \(\displaystyle \leq 5 \) )