Numero di funzioni suriettive e omomorfismi di anelli
Salve a tutti. Vi espongo il mio problema:
Quante sono le funzioni suriettive $f:Z8→Z4$ ?
Quante e quali di esse sono omomorfismi di anelli?
Per la prima parte, ho ragionato così:
Parlando di suriettive, sappiamo che per ogni elemento del codominio ci deve essere uno del dominio.
(questo perché "per ogni elemento del codominio esiste elemento del dominio tale che f(x)=y")
Dunque vuol dire che gli elementi in Z4 sono tutti "presi" dal dominio. Ora la domanda è... in quanti modi?
Ho pensato che:
0 può essere preso in 8 modi
1 in 7
2 in 6
3 in 5
Per cui 8*7*6*5 = 1680 funzioni suriettive
Secondo voi è giusto il mio ragionamento?
Poi sapreste darmi una mano per la seconda parte? Non so da dove cominciare
Quante sono le funzioni suriettive $f:Z8→Z4$ ?
Quante e quali di esse sono omomorfismi di anelli?
Per la prima parte, ho ragionato così:
Parlando di suriettive, sappiamo che per ogni elemento del codominio ci deve essere uno del dominio.
(questo perché "per ogni elemento del codominio esiste elemento del dominio tale che f(x)=y")
Dunque vuol dire che gli elementi in Z4 sono tutti "presi" dal dominio. Ora la domanda è... in quanti modi?
Ho pensato che:
0 può essere preso in 8 modi
1 in 7
2 in 6
3 in 5
Per cui 8*7*6*5 = 1680 funzioni suriettive

Secondo voi è giusto il mio ragionamento?
Poi sapreste darmi una mano per la seconda parte? Non so da dove cominciare
Risposte
Ne approfitto per fare una domanda pertinente: per il numero delle funzioni suriettive non vale questa formula?
\(\displaystyle \sum _{j=0}^m\binom{m}{j}(-1)^j(m-j)^n \)
con $n=8,m=4$
Il risultato però è nettamente diverso da quello calcolato da gioce...
\(\displaystyle \sum _{j=0}^m\binom{m}{j}(-1)^j(m-j)^n \)
con $n=8,m=4$
Il risultato però è nettamente diverso da quello calcolato da gioce...
"gioce90":
Salve a tutti. Vi espongo il mio problema:
Quante sono le funzioni suriettive $f:Z8→Z4$ ?
Quante e quali di esse sono omomorfismi di anelli?
Per la prima parte, ho ragionato così:
Parlando di suriettive, sappiamo che per ogni elemento del codominio ci deve essere uno del dominio.
(questo perché "per ogni elemento del codominio esiste elemento del dominio tale che f(x)=y")
Dunque vuol dire che gli elementi in Z4 sono tutti "presi" dal dominio. Ora la domanda è... in quanti modi?
Ho pensato che:
0 può essere preso in 8 modi
1 in 7
2 in 6
3 in 5
Per cui 8*7*6*5 = 1680 funzioni suriettive
Secondo voi è giusto il mio ragionamento?
Poi sapreste darmi una mano per la seconda parte? Non so da dove cominciare
Non è corretto. Ad esempio, non è vero che 0 può essere preso in 8 modi: ad esempio, 0 può essere l'immagine di un sottoinsieme di Z8 di ordine 2 (o di altri ordini \(\displaystyle \leq 5 \) )