Numero degli ideali
ciao volevo sapere se esiste una formula per sapere il numero esatto di ideali in alcuni casi particolari.
ad esempio se abbiamo $\mathbb{Z}_{30}~~\mathbb{Z}/{(30)}$ ci troviamo i sottoideali di di 30=2x3x5 e per il th di corrispondenza sono gli stessi quozientati (30) in $\mathbb{Z}/{(30)}$, e in questo caso come in tutti quelli dove abbiamo che i fattori nella scomposizione non si ripetono abbiamo $2^n$ che è la somma dei coefficienti binomiali, in questo caso n=3, abbiamo 8 ideali. E ovviamente la stessa cosa vale anche per i polinomi ad esempio giusto?
ma se i fattori si ripetessero cosa succede? c è una formula generale?
ad esempio se abbiamo $\mathbb{Z}_{30}~~\mathbb{Z}/{(30)}$ ci troviamo i sottoideali di di 30=2x3x5 e per il th di corrispondenza sono gli stessi quozientati (30) in $\mathbb{Z}/{(30)}$, e in questo caso come in tutti quelli dove abbiamo che i fattori nella scomposizione non si ripetono abbiamo $2^n$ che è la somma dei coefficienti binomiali, in questo caso n=3, abbiamo 8 ideali. E ovviamente la stessa cosa vale anche per i polinomi ad esempio giusto?
ma se i fattori si ripetessero cosa succede? c è una formula generale?
Risposte
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In generale, sia $A$ un dominio ad ideali principali e sia $a\in A$.
Sia $a=\pi_1^{e_1}\cdots\pi_t^{e_t}$ la fattorizzazione
di $a$ in un prodotto di elementi irriducibili distinti $\pi_i$ di $A$.
Allora il numero di ideali dell'anello quoziente $A/(a)$ \`e uguale a
$\prod_{i=1}^t (e_i+1)$.
Per esempio, $A=\ZZ$ e $a=30$. Altro esempio, $A=k[X]$ con $k$ un campo
e $a\in k[X]$ un polinomio non nullo.
Questo segue dal fatto che gli ideali di $A/(a)$ sono in corrispondenza 1-1
con gli ideali $J$ di $A$ che contengono $a$. Ogni ideale e' generato da
un divisore $b$ di $a$. A meno di un elemento invertibile, $b$ e' uguale a
$\pi_1^{f_1}\cdots\pi_t^{f_t}$ con $0\le f_i\le e_i$ per i=1,...,t$.
A meno di elementi invertibili ci sono quindi $\prod_{i=1}^t (e_i+1)$
possibilita' per $b$.
Sia $a=\pi_1^{e_1}\cdots\pi_t^{e_t}$ la fattorizzazione
di $a$ in un prodotto di elementi irriducibili distinti $\pi_i$ di $A$.
Allora il numero di ideali dell'anello quoziente $A/(a)$ \`e uguale a
$\prod_{i=1}^t (e_i+1)$.
Per esempio, $A=\ZZ$ e $a=30$. Altro esempio, $A=k[X]$ con $k$ un campo
e $a\in k[X]$ un polinomio non nullo.
Questo segue dal fatto che gli ideali di $A/(a)$ sono in corrispondenza 1-1
con gli ideali $J$ di $A$ che contengono $a$. Ogni ideale e' generato da
un divisore $b$ di $a$. A meno di un elemento invertibile, $b$ e' uguale a
$\pi_1^{f_1}\cdots\pi_t^{f_t}$ con $0\le f_i\le e_i$ per i=1,...,t$.
A meno di elementi invertibili ci sono quindi $\prod_{i=1}^t (e_i+1)$
possibilita' per $b$.
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