Numeri primi, Poligoni, Tangente e ...pigreco
[mod="WiZaRd"]
Le considerazioni matematiche dell'utente primogramma in questo topic sono errate.
Gli amministratori e i moderatori del forum hanno deliberato di porre questo avviso per evitare che tali affermazioni possano indurre in errore gli utenti del forum e minare la credibilità del forum stesso.
In caso di recidività verranno presi provvedimenti di sospensione dal forum.
Il presente messaggio non deve esser rimosso, pena la sospensione o il ban dal forum
Gli amministratori e i moderatori del forum.
[/mod]
Vorrei sapere se ho scoperto l'acqua calda o qualcosa di interessante:
Se provate a plottare la serie di punti:
Pi = [ Numero primo i ; tan (pigreco/ (Numero primo i)) ]
Capirete il perchè del mio stupore (o della mia ignoranza...)
... a prima vista sembrerebbe una retta. Non lo è ma ci manca davvero poco...
Purtroppo, l'approssimazione ad una retta non è sufficientemente esatta da poter trovare con certezza il numero pirmo alla posizione ad esempio i+1 o i+m...
Le considerazioni matematiche dell'utente primogramma in questo topic sono errate.
Gli amministratori e i moderatori del forum hanno deliberato di porre questo avviso per evitare che tali affermazioni possano indurre in errore gli utenti del forum e minare la credibilità del forum stesso.
In caso di recidività verranno presi provvedimenti di sospensione dal forum.
Il presente messaggio non deve esser rimosso, pena la sospensione o il ban dal forum
Gli amministratori e i moderatori del forum.
[/mod]
Vorrei sapere se ho scoperto l'acqua calda o qualcosa di interessante:
Se provate a plottare la serie di punti:
Pi = [ Numero primo i ; tan (pigreco/ (Numero primo i)) ]
Capirete il perchè del mio stupore (o della mia ignoranza...)
... a prima vista sembrerebbe una retta. Non lo è ma ci manca davvero poco...
Purtroppo, l'approssimazione ad una retta non è sufficientemente esatta da poter trovare con certezza il numero pirmo alla posizione ad esempio i+1 o i+m...
Risposte
potresti essere più chiaro?...e magari riportare uno schema, oppure incominciare ad utilizzare i codici per scrivere le formule?!...grazie
Come benvenuto non c'è che dire, mi hanno già cazziato al primo post...
La cosa è talmente semplice che chiunque con un PC ed Excel può vederla spuntare ...e non credere ai propri occhi...
Non voglio rovinare la "sorpresa" a nessuno in quanto postare la copia di un piano cartesiano con in mezzo una quasi retta (prendendo ad esempio un gruppo di 2000 primi consecutitivi da 0 a 17mila e rotti) non credo susciti alcun interesse...
Mentre se scrivi , calcoli e capisci di cosa si parla credo ti sorgano ben più interessanti domande... Del tipo come fa una serie di numeri primi "numeri che sembrano sparsi in modo imprevedibile" ad incontrare una funzione periodica, che schizza spesso all'infinito, in una serie di punti che quasi si allineano...
Scusate non sono (ancora) pratico di inserimento formule... ci ho provato, ma non riesco neppure a trovare il pigreco nelle tabelle dell'help... e poi alla fine è solo una tabella con in prima colonna i numeri primi e nella seconda la tangente in radianti di 1 fratto il numero primo preso nella stessa riga dalla prima colonna...
Magari è una cosa talmente banale che al prossimo post, un prof. mi dirà che la cosa si conosceva da prima di Eratostene...
Se così non fosse sarò lieto di entrare nei dettagli e nella lunga storia con cui ho partorito la cosa...
La cosa è talmente semplice che chiunque con un PC ed Excel può vederla spuntare ...e non credere ai propri occhi...
Non voglio rovinare la "sorpresa" a nessuno in quanto postare la copia di un piano cartesiano con in mezzo una quasi retta (prendendo ad esempio un gruppo di 2000 primi consecutitivi da 0 a 17mila e rotti) non credo susciti alcun interesse...
Mentre se scrivi , calcoli e capisci di cosa si parla credo ti sorgano ben più interessanti domande... Del tipo come fa una serie di numeri primi "numeri che sembrano sparsi in modo imprevedibile" ad incontrare una funzione periodica, che schizza spesso all'infinito, in una serie di punti che quasi si allineano...
Scusate non sono (ancora) pratico di inserimento formule... ci ho provato, ma non riesco neppure a trovare il pigreco nelle tabelle dell'help... e poi alla fine è solo una tabella con in prima colonna i numeri primi e nella seconda la tangente in radianti di 1 fratto il numero primo preso nella stessa riga dalla prima colonna...
Magari è una cosa talmente banale che al prossimo post, un prof. mi dirà che la cosa si conosceva da prima di Eratostene...
Se così non fosse sarò lieto di entrare nei dettagli e nella lunga storia con cui ho partorito la cosa...
In realtà non capisco la questione, ossia quale retta scorgi.
Infatti basta studiare la funzione [tex]$f(x)=\tan \frac{\pi}{x}$[/tex] per [tex]$x\in ]2,+\infty[$[/tex] per accorgersi che essa ha un asintoto per [tex]$x\to +\infty$[/tex] d'equazione [tex]$y=0$[/tex] (praticamente l'asse delle ascisse) e che essa decresce ed è convessa in [tex]$]2,+\infty[$[/tex]; si ottiene il grafico che segue (i pallini sono messi in corrispondenza dei numeri primi, ossia nei punti del grafico di coordinate [tex]$(i,\tan \tfrac{\pi}{i})$[/tex] con [tex]$i$[/tex] primo e [tex]$>2$[/tex]):
[asvg]xmin=0;xmax=20;ymin=0;ymax=20;
axes("","");
plot("tan(3.14/x)",2.01,22);
dot([3,1.732]);
dot([5,0.73]);
dot([7,0.48]);
dot([11,0.29]);
dot([13,0.25]);
dot([17,0.19]);
dot([19,0.17]);[/asvg]
Qui non ci vedo nessun andamento rettilineo... Casomai il grafico della funzione si avvicina a quello dell'iperbole d'equazione [tex]$y=\frac{\pi}{x}$[/tex], come mostra il grafico successivo (l'iperbole è in rosso):
[asvg]xmin=0;xmax=10;ymin=0;ymax=10;
axes("","");
plot("tan(3.14/x)",2.1,12);
stroke="red"; plot("3.14/x",0.1,12);[/asvg]
Ma, come detto in apertura, probabilmente non ho capito bene quali sono le coordinate dei punti "interessanti".
@ primogramma: Benvenuto.
Lorin non ti intendeva rimproverarti; ti ha solo chiesto di spiegarti meglio, probabilmente perchè la questione gli sembrava interessante.
Il modo più veloce per inserire oggetti matematici (se non sei esperto di TeX) è usare il MathML; per imparare, clicca su formule e leggi le istruzioni.
Infatti basta studiare la funzione [tex]$f(x)=\tan \frac{\pi}{x}$[/tex] per [tex]$x\in ]2,+\infty[$[/tex] per accorgersi che essa ha un asintoto per [tex]$x\to +\infty$[/tex] d'equazione [tex]$y=0$[/tex] (praticamente l'asse delle ascisse) e che essa decresce ed è convessa in [tex]$]2,+\infty[$[/tex]; si ottiene il grafico che segue (i pallini sono messi in corrispondenza dei numeri primi, ossia nei punti del grafico di coordinate [tex]$(i,\tan \tfrac{\pi}{i})$[/tex] con [tex]$i$[/tex] primo e [tex]$>2$[/tex]):
[asvg]xmin=0;xmax=20;ymin=0;ymax=20;
axes("","");
plot("tan(3.14/x)",2.01,22);
dot([3,1.732]);
dot([5,0.73]);
dot([7,0.48]);
dot([11,0.29]);
dot([13,0.25]);
dot([17,0.19]);
dot([19,0.17]);[/asvg]
Qui non ci vedo nessun andamento rettilineo... Casomai il grafico della funzione si avvicina a quello dell'iperbole d'equazione [tex]$y=\frac{\pi}{x}$[/tex], come mostra il grafico successivo (l'iperbole è in rosso):
[asvg]xmin=0;xmax=10;ymin=0;ymax=10;
axes("","");
plot("tan(3.14/x)",2.1,12);
stroke="red"; plot("3.14/x",0.1,12);[/asvg]
Ma, come detto in apertura, probabilmente non ho capito bene quali sono le coordinate dei punti "interessanti".
@ primogramma: Benvenuto.
Lorin non ti intendeva rimproverarti; ti ha solo chiesto di spiegarti meglio, probabilmente perchè la questione gli sembrava interessante.
Il modo più veloce per inserire oggetti matematici (se non sei esperto di TeX) è usare il MathML; per imparare, clicca su formule e leggi le istruzioni.
"primogramma":Ma la funzione $tan(pi/x)$ non è periodica...
come fa una serie di numeri primi "numeri che sembrano sparsi in modo imprevedibile" ad incontrare una funzione periodica, che schizza spesso all'infinito, in una serie di punti che quasi si allineano...
Ancora nessuna risposta interessante...
x Martino: a parte giuste considerazioni, hai provato a plottare la prima parte della serie usando come X solo i numeri primi ad esempio fino a circa 20.000 ?
x Martino: a parte giuste considerazioni, hai provato a plottare la prima parte della serie usando come X solo i numeri primi ad esempio fino a circa 20.000 ?
"primogramma":No non ci ho ancora provato, ma se ci provo verrà una cosa molto vicina a una retta, chiaro, perché la funzione $tan(pi/x)$ ha l'asse delle x come asintoto orizzontale (vedi i grafici proposti da Gugo).
x Martino: a parte giuste considerazioni, hai provato a plottare la prima parte della serie usando come X solo i numeri primi ad esempio fino a circa 20.000 ?
Mi spiego meglio: se plotti $(p_i,p_i)$ viene proprio una retta (cioè i punti risultano tutti allineati).
Cosa c'è di sorprendente?
Quindi la cosa non mi stupisce. Forse ho capito male quello che vuoi dire?
Si infatti ero solo interessato alla questione, ma non avevo capito bene di cosa si trattasse.
scusa ma proviamo a plottare,
e se ho ben capito il primo punto della nostra successione è $(2,tan(\pi/2))$ che mi crea qualche problema, visto che tale punto non esiste.
comunque se lasciamo perdere il $2$, partiamo dal $3$.
ma allora prova a tracciare il grafico di questa funzione: $f(x)=tan(\pi/2)$.
tu dici che se in questo grafico prendo dei punti particolari, quelli con $x=p_i$ dove $p_i$ sono i primi, allora questi sono allineati..
è evidentemente falso, basta prendere 3,5,7 e vedere dove sono i loro punti.
semmai tendono ad essere allineati, così come lo sono tutti i punti di questa curva, che infatti ha un asintoto orizzontale.
forse non abbiamo capito la tua idea.
e se ho ben capito il primo punto della nostra successione è $(2,tan(\pi/2))$ che mi crea qualche problema, visto che tale punto non esiste.
comunque se lasciamo perdere il $2$, partiamo dal $3$.
ma allora prova a tracciare il grafico di questa funzione: $f(x)=tan(\pi/2)$.
tu dici che se in questo grafico prendo dei punti particolari, quelli con $x=p_i$ dove $p_i$ sono i primi, allora questi sono allineati..
è evidentemente falso, basta prendere 3,5,7 e vedere dove sono i loro punti.
semmai tendono ad essere allineati, così come lo sono tutti i punti di questa curva, che infatti ha un asintoto orizzontale.
forse non abbiamo capito la tua idea.
A quanto ho capito l'idea non è che "sono allineati" ma è che interpolando i punti $(p_i, tan(pi/p_i))$ con $p_i$ primo, ovvero
$x=2, y=tan(pi/2)
$x=3, y=tan(pi/3)
$x=5, y=tan(pi/5)
eccetera, si approssima una retta (con l'ovvio problema di x=2, magari partendo da x=3)
Semmai dopo verifico...
$x=2, y=tan(pi/2)
$x=3, y=tan(pi/3)
$x=5, y=tan(pi/5)
eccetera, si approssima una retta (con l'ovvio problema di x=2, magari partendo da x=3)
Semmai dopo verifico...
"Rggb":Ma certo che si approssima una retta, la funzione $tan(pi/x)$ ha un asintoto orizzontale a $+oo$
A quanto ho capito l'idea non è che "sono allineati" ma è che interpolando i punti $(p_i, tan(pi/p_i))$ con $p_i$ primo, ovvero
$x=2, y=tan(pi/2)$
$x=3, y=tan(pi/3)$
$x=5, y=tan(pi/5)$
eccetera, si approssima una retta (con l'ovvio problema di x=2, magari partendo da x=3)
Semmai dopo verifico...
Se invece dei numeri primi scegliamo una qualsiasi successione crescente $i to n_i$ risulta una "quasi retta" anche in questo caso. Non capisco cosa c'entrano i numeri primi.
Purtroppo mi sembra una osservazione poco fruttuosa. Già in molti hanno notato che i punti $(p_i, tan (pi/p_i))$ giacciono sul grafico di $tan(pi/x)$, che ridisegno qui nell'intervallo $[3, 50]$:
[asvg]xmin=3; xmax=50; ymin=0; axes(); plot("tan(Math.PI/x)");[/asvg]Vogliamo approssimare questa funzione con una retta? Siamo liberi di farlo, ma temo che l'unica approssimazione sensata, se vogliamo qualcosa di valido per $x$ grande, sia scegliere la retta $y=0$. Ogni altra retta non andrebbe bene: è chiaro che essa dovrebbe avere coefficiente angolare negativo (una retta che "punta verso il basso") diventando negativa per $x$ grande e facendo perdere ogni significato all'approssimazione.
Quindi il risultato che si ottiene da queste osservazioni è: si può approssimare la successione di punti $[(p_1, tan \frac{pi}{p_1}), (p_2, tan \frac{pi}{p_2})...]$ con la retta $y=0$, che è come dire: quando $i$ è molto grande, l'$i$-esimo numero primo è tanto grande da rendere prossima a zero la quantità $tan(pi/p_i)$. Direi che lo sapevamo già.
[EDIT]Scrivevo contemporaneamente a Martino.
[asvg]xmin=3; xmax=50; ymin=0; axes(); plot("tan(Math.PI/x)");[/asvg]Vogliamo approssimare questa funzione con una retta? Siamo liberi di farlo, ma temo che l'unica approssimazione sensata, se vogliamo qualcosa di valido per $x$ grande, sia scegliere la retta $y=0$. Ogni altra retta non andrebbe bene: è chiaro che essa dovrebbe avere coefficiente angolare negativo (una retta che "punta verso il basso") diventando negativa per $x$ grande e facendo perdere ogni significato all'approssimazione.
Quindi il risultato che si ottiene da queste osservazioni è: si può approssimare la successione di punti $[(p_1, tan \frac{pi}{p_1}), (p_2, tan \frac{pi}{p_2})...]$ con la retta $y=0$, che è come dire: quando $i$ è molto grande, l'$i$-esimo numero primo è tanto grande da rendere prossima a zero la quantità $tan(pi/p_i)$. Direi che lo sapevamo già.
[EDIT]Scrivevo contemporaneamente a Martino.
Lieto che la cosa cominci ad interessare qualcuno... (mi piacerebbe solo sapere il generico "lo si sapeva già" da dove arriva...)
Dire che c'è una funzione che (quasi) alliena i "numeri primi" su una retta, che non sia y=x+1, non è esattamente una cosa banale in quanto consentirebbe di calcolare la posizione del prossimo numero primo e quindi il suo valore... ovvio che per i soliti problemi collegati ai primi che questo ancora non si riesca a fare.
Con l'approssimazione ad una retta se prendete i valori calcolati per due primi gemelli potete create tutti i numeri dispari (banale);
Se prendete la media fra più punti create dei numeri che non sono certo degli interi e che quindi non si può sapere se (anche troncati o approssimati) siano o meno dei primi.
Il fatto che 1 e 2 creino dei problemi conferma la correttezza di quello su cui sto lavorando e cioè che esistono 2 tipi di numeri primi:
3n+1 e 3n+2 e due "eccezioni": 1 e 2. Questo descive i primi molto meglio del vago 6n+/-1.
La "cosa" è collegata ad un sistema grafico di verifica dei numeri (convertiti in poligoni) che ho chiamato primogramma.
La soluzione grafica (tecnigrafo e matita) funziona, ma è utile solo per passare alle equazioni.
Il tutto fa perte di un lavoro più lungo per collegarsi agli zeri di Riemann.
Dire che c'è una funzione che (quasi) alliena i "numeri primi" su una retta, che non sia y=x+1, non è esattamente una cosa banale in quanto consentirebbe di calcolare la posizione del prossimo numero primo e quindi il suo valore... ovvio che per i soliti problemi collegati ai primi che questo ancora non si riesca a fare.
Con l'approssimazione ad una retta se prendete i valori calcolati per due primi gemelli potete create tutti i numeri dispari (banale);
Se prendete la media fra più punti create dei numeri che non sono certo degli interi e che quindi non si può sapere se (anche troncati o approssimati) siano o meno dei primi.
Il fatto che 1 e 2 creino dei problemi conferma la correttezza di quello su cui sto lavorando e cioè che esistono 2 tipi di numeri primi:
3n+1 e 3n+2 e due "eccezioni": 1 e 2. Questo descive i primi molto meglio del vago 6n+/-1.
La "cosa" è collegata ad un sistema grafico di verifica dei numeri (convertiti in poligoni) che ho chiamato primogramma.
La soluzione grafica (tecnigrafo e matita) funziona, ma è utile solo per passare alle equazioni.
Il tutto fa perte di un lavoro più lungo per collegarsi agli zeri di Riemann.
primogamma, quello che hai fatto sono delle semplici osservazioni di tipo analitico sulla funzione $f:x to tan(pi/x)$. I numeri primi non c'entrano niente. Il fatto che tale funzione $f$ avesse un asintoto orizzontale a $+oo$ si sa, è un semplice calcolo di un limite. Se prendevi come funzione $1/x$ succedeva più o meno la stessa cosa.
Prova a plottare i punti $(p_i,1/p_i)$.
Prova a plottare i punti $(p_i,1/p_i)$.
Dire che c'è una funzione che (quasi) alliena i "numeri primi" su una retta, che non sia y=x+1, non è esattamente una cosa banale in quanto consentirebbe di calcolare la posizione del prossimo numero primo e quindi il suo valore... ovvio che per i soliti problemi collegati ai primi che questo ancora non si riesca a fare.Non capisco davvero cosa stai dicendo. Perché se come funzione prendevi $x to x+1$ la questione era diversa? I punti $(p_i,p_i+1)$ sono addirittura allineati.
"primogramma":
esistono 2 tipi di numeri primi:
3n+1 e 3n+2 e due "eccezioni": 1 e 2.
quindi tu credi che $1$ sia un numero primo??
c'è molto che non va nel tuo ragionamento, ormai te lo abbiamo fatto notare in diversi modi.
Siamo proprio italiani.... tutti professori, tutti stupidamente esterofili (per altro, spesso, senza nemmeno sapere cosa vogliono dire le parole straniere dietro cui ci si nasconde), tutti pronti a correggere gli errori degli altri, senza nemmeno pensare che, magari, dietro a errori e parole "sbagliate, o presunte tali" ci sono ragionamenti e magari chissà, qualcosa di interessante che il nostro mononeurone, laureato e dottorato non comprende...
Che 1 sia primo oppure no, resta questione del sesso degli angeli, visto che, a parte grandi seghe mentali fatte di grandi paroloni o scalate sugli specchi, ha tutte le caratteristiche per esserlo.
Per altre caratteristiche 1, come 2 (per i bigotti: questo, in italiano, non vuol dire che 2 e 1 hanno le stesse caratteristiche, ma solo che che anche 2 è un pirmo anche lui con caratteristiche, altre, paritcolari), restano numeri primi "speciali" rispetto agli altri.
Il rigore è giusto quando serve per comprendersi senza equivoci... in mezzo agli equivoci si abbandona il rigore e si usa la statistica.
Con i numeri primi il rigore, fino ad ora, non ha funzionato.
Grazie per l'ospitalità, non credo che questo sia il forum giusto per un "non professore".
Adios !
Che 1 sia primo oppure no, resta questione del sesso degli angeli, visto che, a parte grandi seghe mentali fatte di grandi paroloni o scalate sugli specchi, ha tutte le caratteristiche per esserlo.
Per altre caratteristiche 1, come 2 (per i bigotti: questo, in italiano, non vuol dire che 2 e 1 hanno le stesse caratteristiche, ma solo che che anche 2 è un pirmo anche lui con caratteristiche, altre, paritcolari), restano numeri primi "speciali" rispetto agli altri.
Il rigore è giusto quando serve per comprendersi senza equivoci... in mezzo agli equivoci si abbandona il rigore e si usa la statistica.
Con i numeri primi il rigore, fino ad ora, non ha funzionato.
Grazie per l'ospitalità, non credo che questo sia il forum giusto per un "non professore".
Adios !
"primogramma":
Grazie per l'ospitalità, non credo che questo sia il forum giusto per un "non professore".
Adios !
Da professore dico: "una buona notizia". E' anche un conforto rispetto all'affidabilità di questo forum.
senza nemmeno pensare che, magari, dietro a errori e parole "sbagliate, o presunte tali" ci sono ragionamenti e magari chissà, qualcosa di interessante che il nostro mononeurone, laureato e dottorato non comprende...Ragiona, secondo te in un forum di matematica ti si danno risposte pensate ed obiettive o solo discriminatorie? A me sembra che ci accusi di attaccarti a priori, senza cercare di capire le nostre obiezioni.
"primogramma":Lo sapevo che andava a finire così. Secondo me forse blackbishop doveva evitare di farti l'osservazione su 1, perché non è assolutamente quello il punto. E' chiaro che quello che conta è l'idea che proponi, non i dettagli.
Che 1 sia primo oppure no, resta questione del sesso degli angeli, visto che, a parte grandi seghe mentali fatte di grandi paroloni o scalate sugli specchi, ha tutte le caratteristiche per esserlo.
Il punto è che invece dei numeri primi potevi prendere una qualunque successione crescente di numeri naturali e ottenevi un risultato analogo: i punti che plottavi venivano "quasi allineati". Quindi i numeri primi non c'entrano niente con quello che racconti, c'entra solo il fatto che la funzione tan(pi/x) ha un asintoto orizzontale a più infinito. Prova a riflettere sinceramente su questo, non chiuderti pensando di avere ragione a priori, sarebbe un errore.
Forse era meglio non intervenire più, ma ho voluto almeno dire queste ultime cose.
Ciao ciao.
Grazie, solo per contraccambiare la tua cortesia: il punto di tutto sono, invece, proprio i numeri primi...
La considerazione postata era per vedere se qualcuno aveva già provato questa strada per cercare la chimera (funzione che collega tutti e soli i primi...).
Per la cronaca non credo che tale funzione esista, ma mi appassiona lavorarci sopra in quanto, di quando, in quando, mi vengono delle nuove idee che, anche se non portano a nulla, arricchiscono lo scenario dei possibili punti d'attacco (fallito).
Capisco che se uno non pensa ai primi giorno e notte, vedendo una serie di punti pensa subito ad una funzione, si focalizza su altre cose e quindi non coglie quello che potrebbe esserci di importante...
Ciao e grazie.
La considerazione postata era per vedere se qualcuno aveva già provato questa strada per cercare la chimera (funzione che collega tutti e soli i primi...).
Per la cronaca non credo che tale funzione esista, ma mi appassiona lavorarci sopra in quanto, di quando, in quando, mi vengono delle nuove idee che, anche se non portano a nulla, arricchiscono lo scenario dei possibili punti d'attacco (fallito).
Capisco che se uno non pensa ai primi giorno e notte, vedendo una serie di punti pensa subito ad una funzione, si focalizza su altre cose e quindi non coglie quello che potrebbe esserci di importante...
Ciao e grazie.
Manda la tua scoperta ad una rivista. Referee esperti la valuteranno. Quando hai l'accettazione della pubblicazione faccelo sapere.
Quando riterrò di aver scoperto qualcosa, lo invierò di certo.
Se qualcuno volesse vedere come ho rappresentato graficamente i primi può farsi un giro a leguente link:
http://www.maruelli.com/prime_study.htm
Per chi, invece, pensasse di essere un vero duro vi consiglio questo altro link:
[mod="Martino"]Pubblicità non autorizzata[/mod]
... se mollate la tastiera e venite a trovarmi sarò ben lieto di farvi provare qualche vera emozione forte...
Ciao
Se qualcuno volesse vedere come ho rappresentato graficamente i primi può farsi un giro a leguente link:
http://www.maruelli.com/prime_study.htm
Per chi, invece, pensasse di essere un vero duro vi consiglio questo altro link:
[mod="Martino"]Pubblicità non autorizzata[/mod]
... se mollate la tastiera e venite a trovarmi sarò ben lieto di farvi provare qualche vera emozione forte...
Ciao
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