Numeri primi nella forma 4x+1
devo dimostrare che i numeri primi nella forma $4x+1$ sono infiniti. per assurdo sia questo insieme finito e i numeri primi nella forma $4x+1$ sono $r_1,r_2,......,r_t$, allora considero $n=(r_1*r_2*....*r_t)^2+1$, ora devo utilizzare il fatto che il prodotto di numeri nella forma $4x+1$ è ancora un numero della stessa forma e il teorema che l'equazione $x^2-=-1(modp)$ ha soluzione se e solo se $p-=1(mod4)$, come faccio?
Risposte
Il tuo suggerimento va quasi bene. Infatti, il risultato che citi e' errato, poiche' se $x^2 = -1 \mod p$ ammette soluzione anche se $p=2$. Quindi $x^2 \equiv -1 \mod p$ ha una soluzione se e solo se $p=2$ oppure $p$ e' nella forma $4n+1$.
A questo punto, poni $n=(2r_1...r_t)^2+1$.
Sia $p$ un primo che divide $n$. Allora $p$ divide $(2r_1 ... r_t)^2+1$, ovvero $(2r_1 ... r_t)^2 \equiv -1 \mod p$. Ma allora l'equazione $y^2 \equiv -1 \mod p$ ammette una soluzione, quindi $p$ e' della forma $4k+1$. Quindi $p$ divide simultaneamente $n$ e $(2r_1 ... r_t)^2$. Da qui ricavi subito un assurdo, ti torna?
Ciao!
A questo punto, poni $n=(2r_1...r_t)^2+1$.
Sia $p$ un primo che divide $n$. Allora $p$ divide $(2r_1 ... r_t)^2+1$, ovvero $(2r_1 ... r_t)^2 \equiv -1 \mod p$. Ma allora l'equazione $y^2 \equiv -1 \mod p$ ammette una soluzione, quindi $p$ e' della forma $4k+1$. Quindi $p$ divide simultaneamente $n$ e $(2r_1 ... r_t)^2$. Da qui ricavi subito un assurdo, ti torna?
Ciao!
in effetti mi correggo il risultato che devo usare è che "sia $p$ un numero primo dispari. l'equazione $x^2≡−1(modp)$ ha soluzione se e solo se $p≡1(mod4)$", quindi come posso fare?
Esatto, quello e' il risultato corretto, riguardo al procedimento prova a leggere quello che ho scritto sotto, praticamente e' quasi tutto quello che ti serve.
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