Numeri primi e polinomi a coefficienti interi
Ciao!!
Ho dei dubbi su un teorema, la cui dimostrazione non riesco a trovare su nessun libro.. uff...
Dato un polinomio a coefficienti interi $f(x)=a_0+a_1 x^1+......+a_n x^n$
e' sempre possibile trovare un $y$ tale che $f(y)$ e' composto.
Ora.. per dimostrarlo.. ho supposto per assurdo che esista un polinomio tale che $f(x) = p$ sempre, ossia che assuma sempre valore primo.
Considero ora che, visto che $x+kp -= x (mod p ) $ allora $ f( x + kp ) -= f(x) (mod p) = p (mod p) = 0 mod (p ) $ $AA k in Z$.
Dire che $ f( x + kp ) -= 0 (mod p) $ $AA k in Z$ vuol dire che f assume infinite volte il valore p, che e' assurdo in quanto un tale polinomio non puo' assumere infinite volte lo stesso valore.
Ho seguito questo ragionamento.. ma.. dopo averlo fatto.. mi sembra che qualcosa non vada..
Qualcuno sa dove posso trovare la dimostrazione di questo teorema.. o mi sa dire dove il mio ragionamento nn va.. se non va... vi pregoo!!
Ho dei dubbi su un teorema, la cui dimostrazione non riesco a trovare su nessun libro.. uff...
Dato un polinomio a coefficienti interi $f(x)=a_0+a_1 x^1+......+a_n x^n$
e' sempre possibile trovare un $y$ tale che $f(y)$ e' composto.
Ora.. per dimostrarlo.. ho supposto per assurdo che esista un polinomio tale che $f(x) = p$ sempre, ossia che assuma sempre valore primo.
Considero ora che, visto che $x+kp -= x (mod p ) $ allora $ f( x + kp ) -= f(x) (mod p) = p (mod p) = 0 mod (p ) $ $AA k in Z$.
Dire che $ f( x + kp ) -= 0 (mod p) $ $AA k in Z$ vuol dire che f assume infinite volte il valore p, che e' assurdo in quanto un tale polinomio non puo' assumere infinite volte lo stesso valore.
Ho seguito questo ragionamento.. ma.. dopo averlo fatto.. mi sembra che qualcosa non vada..
Qualcuno sa dove posso trovare la dimostrazione di questo teorema.. o mi sa dire dove il mio ragionamento nn va.. se non va... vi pregoo!!
Risposte
il problema nella tua dimostrazione è l'assunzione dell'assurdo: il contrario di "assume un numero composto" è "assume sempre un numero primo, ma non è dett che sia lo stesso".
Comunque la soluzione è talmente banale che sfugge: Se $a_0=0$ è ovvio, altrimenti $f(a_0)$ è divisibile per $a_0$.
Comunque la soluzione è talmente banale che sfugge: Se $a_0=0$ è ovvio, altrimenti $f(a_0)$ è divisibile per $a_0$.
"ubermensch":Già, ma che succede se $a_0=pm 1$ oppure $f(a_0)=pm a_0$?
Comunque la soluzione è talmente banale che sfugge: Se $a_0=0$ è ovvio, altrimenti $f(a_0)$ è divisibile per $a_0$.
"dustofstar":In realta' questo ragionamento anche se sbagliato contiene l'idea giusta!
ho supposto per assurdo che esista un polinomio tale che $f(x) = p$ sempre, ossia che assuma sempre valore primo.
Considero ora che, visto che $x+kp -= x (mod p ) $ allora $ f( x + kp ) -= f(x) (mod p) = p (mod p) = 0 mod (p ) $ $AA k in Z$.
Dire che $ f( x + kp ) -= 0 (mod p) $ $AA k in Z$ vuol dire che f assume infinite volte il valore p, che e' assurdo in quanto un tale polinomio non puo' assumere infinite volte lo stesso valore.
Naturalmente si suppone $f(x)$ non costante, altrimenti il tutto e' falso.
Supponiamo che esista un intero $z$ tale che $f(z)=p$ e' un numero primo in $ZZ$ (anche negativo). Allora $f(z+kp)$ e' divisibile per $p$ per ogni intero $k$, e gli interi sono infiniti...
Analogamente se $f(z)=pm 1$ per ogni intero $z$ allora uno tra $1$ e $-1$ e' assunto infinite volte...
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