Numeri Primi Della Forma 4x-1
Ragazzi Ho Un Problema Circa La Dimostrazione Per Cui esistono Infiniti Primi della Forma 4x-1
Gli Appunti Del Prof Sono molto confusi e quindi mi sono bloccato
Mi Aiutereste con la dimostrazione?
Ringrazio Anticipatamente
Gli Appunti Del Prof Sono molto confusi e quindi mi sono bloccato
Mi Aiutereste con la dimostrazione?
Ringrazio Anticipatamente
Risposte
La dimostrazione che si fa di solito ricalca quella di Euclide dell'infinità dei primi.
Prova a riportare qui quello che capisci della dimostrazione che ha fatto il tuo prof.
Prova a riportare qui quello che capisci della dimostrazione che ha fatto il tuo prof.
Ecco Gli Appunti Del Prof :
DIMOSTRAZIONE
Supponiamo per assurdo che [tex](q_1,....., q_t)[/tex] siano tutti i numeri primi della forma 4x-1
e sia n = [tex]4(q_1 * q_2 * ..... * q_t) - 1[/tex]
Siano 4x+1 e 4y+1 due numeri primi [Ho Gia dimostrato l'esistenza di infiniti primi della forma 4x+1]
[tex](4x+1)(4y+1) = 4(4xy + x+y) +1[/tex]
A Questo punto dice che
Esiste [tex]q_i[/tex] con [tex]i \in {1.....t}[/tex] tale che [tex]q_i | n[/tex]
e conclude dicendo che tale [tex]q_1[/tex] e' uguale a 1
Ecco io non capisco perche' considera il prodotto dei due numeri primi del tipo 4x+1
e subito dopo dice che esiste [tex]q_i[/tex] che divide n[/tex]
DIMOSTRAZIONE
Supponiamo per assurdo che [tex](q_1,....., q_t)[/tex] siano tutti i numeri primi della forma 4x-1
e sia n = [tex]4(q_1 * q_2 * ..... * q_t) - 1[/tex]
Siano 4x+1 e 4y+1 due numeri primi [Ho Gia dimostrato l'esistenza di infiniti primi della forma 4x+1]
[tex](4x+1)(4y+1) = 4(4xy + x+y) +1[/tex]
A Questo punto dice che
Esiste [tex]q_i[/tex] con [tex]i \in {1.....t}[/tex] tale che [tex]q_i | n[/tex]
e conclude dicendo che tale [tex]q_1[/tex] e' uguale a 1
Ecco io non capisco perche' considera il prodotto dei due numeri primi del tipo 4x+1
e subito dopo dice che esiste [tex]q_i[/tex] che divide n[/tex]
Osserva che [tex]n=4q_1...q_t-1[/tex] è della forma 4k-1. Quello che usa (dimostrandolo nella riga che hai riportato) il tuo prof non è che i primi della forma 4x+1 sono infiniti (tra l'altro questo stonerebbe, dato che la dimostrazione che sono infiniti è molto più difficile di questa), è solo che il prodotto di due numeri della forma 4x+1 è ancora della forma 4x+1. Ne segue che i fattori primi di n=4k-1 non possono essere tutti della forma 4x+1, quindi esiste un primo della forma 4x-1 che divide n, cioè un [tex]q_i[/tex] che divide n.
Tutto Chiarissimo =)
Ti ringrazio Infinitamente
Ti ringrazio Infinitamente
Prego, ciao alla prossima.
Chiedo scusa se riesumo questo vecchio post ma fa proprio al caso mio. Non mi è chiara questa affermazione:
In particolare non capisco perché, dato che i fattori primi di \(N\) non possono essere tutti della forma \(4x+1\) (fino a qui tutto ok), allora deve esistere un fattore primo della forma \(4x-1\).
"Martino":
Ne segue che i fattori primi di n=4k-1 non possono essere tutti della forma 4x+1, quindi esiste un primo della forma 4x-1 che divide n, cioè un [tex]q_i[/tex] che divide n.
In particolare non capisco perché, dato che i fattori primi di \(N\) non possono essere tutti della forma \(4x+1\) (fino a qui tutto ok), allora deve esistere un fattore primo della forma \(4x-1\).
@Martino esiste una dimostrazione simile e facile del fatto
che i primi $1$ mod $4$ sono infiniti:
se $S$ e' un insieme finito di primi congrui a $1$ mod $4$, allora $n^2+1$ con
$n=2\prod_{p\in S}p$
e' divisibile per un primo $q$ che non sta in $S$. Il primo $q$ e' congruo
a $1$ mod $4$ perche' ogni divisore primo di $n^2+1$ e'
congruo a $1$ mod $4$.
che i primi $1$ mod $4$ sono infiniti:
se $S$ e' un insieme finito di primi congrui a $1$ mod $4$, allora $n^2+1$ con
$n=2\prod_{p\in S}p$
e' divisibile per un primo $q$ che non sta in $S$. Il primo $q$ e' congruo
a $1$ mod $4$ perche' ogni divisore primo di $n^2+1$ e'
congruo a $1$ mod $4$.
"maxsiviero":In particolare non capisco perché, dato che i fattori primi di \(N\) non possono essere tutti della forma \(4x+1\) (fino a qui tutto ok), allora deve esistere un fattore primo della forma \(4x-1\).[/quote]Ogni primo dispari è o della forma [tex]4x+1[/tex] oppure della forma [tex]4x-1[/tex]. Questo spero sia ovvio
[quote="Martino"]Ne segue che i fattori primi di n=4k-1 non possono essere tutti della forma 4x+1, quindi esiste un primo della forma 4x-1 che divide n, cioè un [tex]q_i[/tex] che divide n.
Puoi obiettare che non tutti i primi sono dispari, ma osserva che nessun primo pari divide [tex]n=4k-1[/tex].
"Stickelberger":Questa è la dimostrazione classica che avevo in mente quando ho scritto l'intervento precedente. Ok, forse non è "molto più difficile" (come ho scritto sopra in modo impreciso) ma senz'altro ha almeno un grado di difficoltà maggiore (qui la parola "grado" casca a fagiolo dato che la prima dimostrazione considera un polinomio di primo grado, la seconda uno di secondo). Inoltre questa dimostrazione "quadratica" usa il fatto non banale che
@Martino esiste una dimostrazione simile e facile del fatto
che i primi $1$ mod $4$ sono infiniti:
se $S$ e' un insieme finito di primi congrui a $1$ mod $4$, allora $n^2+1$ con
$n=2\prod_{p\in S}p$
e' divisibile per un primo $q$ che non sta in $S$. Il primo $q$ e' congruo
a $1$ mod $4$ perche' ogni divisore primo di $n^2+1$ e'
congruo a $1$ mod $4$.
"Stickelberger":Insomma, la dimostrazione di primo grado è elementare, quella di secondo richiede un minimo di idee "nuove".
ogni divisore primo di $n^2+1$ e'
congruo a $1$ mod $4$.
In effetti alla fine c'ero arrivato da solo. Come immaginavo era semplice. Grazie mille.
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