Numeri primi 3

[Simone Masini]

Comunque la relazione P(1)=p e' esatta il problema e' trovare il modo di sfruttarla e fare tutti i conti sicuramente trasformando l'esponenziale complesso nella somma di seni e coseni nel campo complesso con la formula di Eulero

[Studente Anonimo]

Beh non è necessario aprire così tanti thread, basta rispondere sotto ad uno già aperto.
Comunque è un fatto noto che se \( \Phi_n \) è l' \(n\)-esimo polinomio ciclotomico allora \( \Phi_n(1) = p \) se \(n=p^k \) per ogni \( k \geq 1 \) e \(p\) primo mentre \( \Phi_n(1) =1 \) se \(n\) è divisibile per almeno due primi distinti, puoi trovare una dimostrazione qui ad esempio
https://math.stackexchange.com/questions/49956/value-of-cyclotomic-polynomial-evaluated-at-1

Edit: comunque c'è un test di primalità di Hurwitz "usando" i polinomi ciclotomici che è il seguente:

Sia \( \Phi_n \) un fattore irriducibile di grado \( \varphi(n) \) del polinomio \(x^n-1 \), allora se esiste un intero \(m \) tale che \( \Phi_{p-1}(m) \) è divisibile per \(p\) allora \(p\) è primo.

Ora nota che i fattori irriducibili di \(x^n-1\) sono esattamente i polinomi ciclotomici infatti
\[ \prod_{d\mid n} \Phi_d(x) = x^n -1 \]

https://math.stackexchange.com/questions/3769737/primality-testing-using-cyclotomic-polynomials?noredirect=1&lq=1

[Studente Anonimo]

[xdom="Martino"]Ho eliminato gli altri due argomenti. Per favore in futuro aprire un unico argomento e attendere risposte su quello. Grazie.[/xdom]