Numeri naturali di 5 cifre senza 3 cifre uguali consecutive

[michele_7483]

Gentili utenti del forum,
è corretto lo svolgimento del seguente esercizio?
Grazie

Quanti sono i numeri naturali di 5 cifre (decimali) in cui non ci sono tre
posizioni consecutive occupate dalla stessa cifra?

Svolgimento:

I numeri naturali di 5 cifre, con o senza 3 cifre uguali consecutive, sono
$$9\cdot10\cdot10\cdot10\cdot10=9\cdot10^4$$
Infatti al primo posto possiamo assegnare ogni cifra decimale diversa da zero (altrimenti il numero sarebbe di 4 cifre), dunque abbiamo 9 scelte possibili, e ai posti successivi ogni cifra decimale incluso lo zero.

Tra questi, quelli che hanno (almeno) tre cifre consecutive uguali sono dati da:

1) Se la cifra ripetuta è 0 e con $p$ e $q$ indichiamo le altre due cifre, non potendosi avere tre zeri consecutivi in posizione iniziale, il numero può essere
$$p000q \quad \text{oppure} \quad pq000$$
in ciascuno di tali 2 casi abbiamo 9 scelte possibili per p (escludendo 0 in quanto p è iniziale) e 10 per q, dunque un totale di
$$2\times9\times10=180$$

2) Se la cifra ripetuta è $n\ne0$ allora sono possibili tre casi
$$nnnpq \quad \quad pnnnq\quad \quad pqnnn$$
Nel primo abbiamo 9 scelte per n, 10 per p e 10 per q
$$9\times10\times10=900$$
Nel secondo 9 scelte per p (dovendo essere $p\ne0$), 9 scelte per n, 10 per q
$$9\times9\times10=810$$
Nel terzo 9 scelte per p, 10 per q, 9 per n
$$9\times\ 10 \times 9=810$$
Per un totale di $2520$.

In totale, considerando sia il caso $n=0$ sia $n\ne0$, esistono $180+2520=2700$ numeri naturali di 5 cifre con almeno tre cifre consecutive uguali.

Quindi i numeri di 5 cifre senza tre cifre consecutive uguali sono
$$9\cdot 10^4 - 2700=87300$$

[superpippone]

Ciao.

Secondo me non è così.

Puoi avere 5 cifre consecutive uguali casi $9$

4 cifre consecutive uguali. Casi $180$

3 cifre consecutive uguali:
- pppqx = $9*9*10=810$
- qpppq = $9*9*9=729$
- qxqqq = $9*10*9=810$

Totale: $9+180+810+729+810=2.538$

[michele_7483]

"superpippone":Ciao.

Secondo me non è così.

Puoi avere 5 cifre consecutive uguali casi $9$

4 cifre consecutive uguali. Casi $180$

3 cifre consecutive uguali:
- pppqx = $9*9*10=810$
- qpppq = $9*9*9=729$
- qxqqq = $9*10*9=810$

Totale: $9+180+810+729+810=2.538$

Ciao, ho provato ad applicare il tuo metodo però io conto $162$ numeri di 5 cifre con esattamente 4 cifre consecutive uguali. Infatti:

1) Se il numero è del tipo nnnnp le scelte possibili sono
$$9\cdot9=81$$
Infatti
$n$ può essere qualsiasi cifra diversa da 0 quindi ci sono 9 scelte possibili
$p$ può essere 0 oppure qualsiasi cifra diversa da $n$ quindi ancora 9 scelte

2) Se il numero è del tipo pnnnn le scelte possibili sono ancora
$$9\cdot9=81$$
Infatti
$p$ può essere qualsiasi cifra diversa da 0
$n$ può essere 0 oppure qualsiasi cifra diversa da $p$

Quindi alla fine ottengo lo stesso risultato.

[superpippone]

Hai ragione.

I numeri con 4 cifre consecutive uguali sono $162$

[michele_7483]

Comunque mi sono reso conto di aver sbagliato anch'io perché con il mio metodo alcuni numeri vengono contati due volte.
Ad esempio $p000q$ e $pq000$ sono entrambi uguali a 10000 se si sceglie $p=1$ e $q=0$.

[axpgn]

Se non ho sbagliato i conti a me ne vengono $2520$

[superpippone]

Si', direi che $2.520$ è corretto.
Corrisponde alla mia prima risposta, sottratti i $18$ contati in più.

[michele_7483]

Anch'io ho trovato lo stesso risultato con il metodo di superpippone.
Quindi la soluzione dovrebbe essere $9\cdot10^4-2520=87480$ numeri naturali di 5 cifre senza 3 cifre uguali consecutive.