Numeri e spazi complessi
Ciao a tutti, ho il seguente esercizio
Come dovrei svolgerlo?
Posso disegnare (pensando ad a e b come fossero x e y: $ |a+i(b+1)|<1$, $a \geq b^2$ e $a \leq -a^2/2$ disegnandole come se fossero funzioni $a=f(b)$ e prendendo l'intersezione?
Il problema è che magari potrei metterli su un piano a e b, ma nella prima con il modulo e l'unità immaginaria come mi comporto?
Grazie
Come dovrei svolgerlo?
Posso disegnare (pensando ad a e b come fossero x e y: $ |a+i(b+1)|<1$, $a \geq b^2$ e $a \leq -a^2/2$ disegnandole come se fossero funzioni $a=f(b)$ e prendendo l'intersezione?
Il problema è che magari potrei metterli su un piano a e b, ma nella prima con il modulo e l'unità immaginaria come mi comporto?
Grazie
Risposte
\[
|z+i|\leq 1
\]
lo puoi leggere come $|(-i)-z|\leq 1$, cioè tutti i numeri complessi che hanno distanza al più $1$ da $-i$.
\[
\Re(z)\geq \Im(z)^2
\]
Lo deduci sapendo che $x=y^2$ è una parabola facilmente rappresentabile e se al posto dell'uguale ci metti maggiore o uguale, devi considerare la parte "a destra" della parabola.
\[
\Re(z)\leq -\frac{1}{2}\Re(z)^2
\]
diventa
\[
\Re(z)\big(\Re(z)+2\big)\leq 0,
\]
ovvero $x(x+2)\leq 0$ (dunque $-2\leq x \leq 0$).
Gli altri dovresti aver capito come trattarli...
|z+i|\leq 1
\]
lo puoi leggere come $|(-i)-z|\leq 1$, cioè tutti i numeri complessi che hanno distanza al più $1$ da $-i$.
\[
\Re(z)\geq \Im(z)^2
\]
Lo deduci sapendo che $x=y^2$ è una parabola facilmente rappresentabile e se al posto dell'uguale ci metti maggiore o uguale, devi considerare la parte "a destra" della parabola.
\[
\Re(z)\leq -\frac{1}{2}\Re(z)^2
\]
diventa
\[
\Re(z)\big(\Re(z)+2\big)\leq 0,
\]
ovvero $x(x+2)\leq 0$ (dunque $-2\leq x \leq 0$).
Gli altri dovresti aver capito come trattarli...
Grazie mille, quindi A è qualcosa tipo
Tra l'altro non sono molto pratico. Il trick che $|-x|=|x|$ torna spesso utile (qualche giorno fa mi è servito anche per una dimostrazione di convergenza in probabilità). Comunque il consiglio generale è quello di immaginarli su un piano cartesiano $xy$ e usare lo studio di funzioni (in caso di cose più complesse)?
?
Tra l'altro non sono molto pratico. Il trick che $|-x|=|x|$ torna spesso utile (qualche giorno fa mi è servito anche per una dimostrazione di convergenza in probabilità). Comunque il consiglio generale è quello di immaginarli su un piano cartesiano $xy$ e usare lo studio di funzioni (in caso di cose più complesse)?
Il disegno non è corretto 
La circonferenza centrata in $-i$ di raggio $1$ non può sforare nel semipiano $y>0$. Inoltre deve essere $-2\leq x\leq 0$ e non $0\leq x\leq 2$. In pratica L'unico punto dell'insieme $A$ è l'origine (che è dunque anche l'unico punto di $\overline{A}$).
La circonferenza centrata in $-i$ di raggio $1$ non può sforare nel semipiano $y>0$. Inoltre deve essere $-2\leq x\leq 0$ e non $0\leq x\leq 2$. In pratica L'unico punto dell'insieme $A$ è l'origine (che è dunque anche l'unico punto di $\overline{A}$).
Poffarbacco è vero. Mi ero distratto. Ma se invece avessi avuto una circonferenza di raggio $i$? Sarebbe stato simile?
Il raggio deve essere un numero reale positivo. Non puoi avere una circonferenza di raggio $i$ 
Bene.
Ne approfitto per altre domandine:
*) nel caso $|z|<2$ posso vederlo come $|z-0|<2$ ovvero tutti i numeri complessi che distano dall'origine meno di due? (un cerchio centrato in 0 di raggio 2).
$|z-i|>1$ tutti quei numeri complessi fuori da una circonferenza di raggio 1 centrata in -i?
*) se volessi esprimere in forma trigonometrica $z=2sqrt(3)-2i$ troverei che l'angolo associato è $-pi/6$ e la lunghezza è $4$ quindi dovrei avere $4[i*sin (-pi/6)+cos(-pi/6)]$ non capisco perché il mio testo mette l'unità immaginaria al coseno.
Grazie!
Ne approfitto per altre domandine:
*) nel caso $|z|<2$ posso vederlo come $|z-0|<2$ ovvero tutti i numeri complessi che distano dall'origine meno di due? (un cerchio centrato in 0 di raggio 2).
$|z-i|>1$ tutti quei numeri complessi fuori da una circonferenza di raggio 1 centrata in -i?
*) se volessi esprimere in forma trigonometrica $z=2sqrt(3)-2i$ troverei che l'angolo associato è $-pi/6$ e la lunghezza è $4$ quindi dovrei avere $4[i*sin (-pi/6)+cos(-pi/6)]$ non capisco perché il mio testo mette l'unità immaginaria al coseno.
Grazie!
"Fregior":
*) nel caso $∣z∣<2$ posso vederlo come $∣z−0∣<2$ ovvero tutti i numeri complessi che distano dall'origine meno di due? (un cerchio centrato in 0 di raggio 2).
$∣z−i∣>1$ tutti quei numeri complessi fuori da una circonferenza di raggio 1 centrata in $-i$?
Fin qui tutto ok.
"Fregior":
*) se volessi esprimere in forma trigonometrica $z=2\sqrt{3}-2i$ troverei che l'angolo associato è $−π/6$ e la lunghezza è 4 quindi dovrei avere $4[i⋅\sin(−π/6)+\cos(−π/6)]$ non capisco perché il mio testo mette l'unità immaginaria al coseno.
Non so perché il tuo testo metta l'unità immaginaria al coseno. Quello che so è che come hai fatto tu è giusto. Non è che per caso il tuo testo metta $-4i[\sin(π/6)+i\cos(π/6)]$?
Stranamente no, vabbé a tutti capita di sbagliare! Grazie mille!
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