Numeri complessi
L'unita' immaginaria e' definita come $i=sqrt(-1)$ che deriva dalla risoluzione dell'equazione quadratica $x^2-1=0$,
da cui si ottengono due soluzioni: $x^2=1$ , $sqrt(x^2) = sqrt(+-1)$ e quindi $x_1=sqrt(1)$ , che possiamo indicare come $(1,0)$, e $x_2=sqrt(-1)$, che possiamo
indicare con $(0,1)$ che e' poi la nostra unita' immaginaria $i$.
Quindi posso scrivere che $sqrt(-2)=(0,2)$ ?
E che il prodotto di $sqrt(-2)*sqrt(-2)=(0,2)*(0,2)=(0*0 - 2*2, 0*2 + 2*0) = (-4,0) = -4 in RR$ ??
da cui si ottengono due soluzioni: $x^2=1$ , $sqrt(x^2) = sqrt(+-1)$ e quindi $x_1=sqrt(1)$ , che possiamo indicare come $(1,0)$, e $x_2=sqrt(-1)$, che possiamo
indicare con $(0,1)$ che e' poi la nostra unita' immaginaria $i$.
Quindi posso scrivere che $sqrt(-2)=(0,2)$ ?
E che il prodotto di $sqrt(-2)*sqrt(-2)=(0,2)*(0,2)=(0*0 - 2*2, 0*2 + 2*0) = (-4,0) = -4 in RR$ ??
Risposte
Calma, calma. Hai fatto un po' di confusione 
Per cominciare, la definizione: $i=sqrt(-1)$, e viene chiamata unità immaginaria. E' così, punto e basta.
L'equazione $x^2-1=0$ ha due soluzioni reali, che sono $-1$ e $+1$.
Infatti $x^2-1=0 => x^2=1 => x=+-sqrt(1)=> x=+-1$. Qui $i$ non c'entra niente.
Piuttosto bisogna considerare l'equazione $x^2+1=0$, che non ha soluzioni nel campo reale mentre ne ha due nel campo complesso.
Infatti $x^2+1=0 => x^2=-1 => x=+-sqrt(-1)=> x=+-i$. Una soluzione è $i$, l'altra è $-i$.
Poi chiedi se è vero che $sqrt(-2)= (0,2)$ . Io direi piuttosto $sqrt(-2)=(0,sqrt(2))$ perchè $sqrt(-2)=sqrt((-1)*2)=sqrt(-1)*sqrt(2)=sqrt(2)*i$, ok?
Infine, $sqrt(-2)*sqrt(-2)$ non può fare $-4$, piuttosto fa $-2$. Lascio a te capire perchè
Per cominciare, la definizione: $i=sqrt(-1)$, e viene chiamata unità immaginaria. E' così, punto e basta.
L'equazione $x^2-1=0$ ha due soluzioni reali, che sono $-1$ e $+1$.
Infatti $x^2-1=0 => x^2=1 => x=+-sqrt(1)=> x=+-1$. Qui $i$ non c'entra niente.
Piuttosto bisogna considerare l'equazione $x^2+1=0$, che non ha soluzioni nel campo reale mentre ne ha due nel campo complesso.
Infatti $x^2+1=0 => x^2=-1 => x=+-sqrt(-1)=> x=+-i$. Una soluzione è $i$, l'altra è $-i$.
Poi chiedi se è vero che $sqrt(-2)= (0,2)$ . Io direi piuttosto $sqrt(-2)=(0,sqrt(2))$ perchè $sqrt(-2)=sqrt((-1)*2)=sqrt(-1)*sqrt(2)=sqrt(2)*i$, ok?
Infine, $sqrt(-2)*sqrt(-2)$ non può fare $-4$, piuttosto fa $-2$. Lascio a te capire perchè
In effetti non avevo capito, perche' leggendo che $i$ corrisponde al numero complesso $(0,1)$ ho mischiato un po' le cose....
E riguardo la tua domanda $sqrt(-2)*sqrt(-2)=(0,sqrt(2))*(0,sqrt(2))=(0*0-sqrt(2)*sqrt(2),0*sqrt(2)+sqrt(2)*0)=(-2,0)=-2$
Grazie
E riguardo la tua domanda $sqrt(-2)*sqrt(-2)=(0,sqrt(2))*(0,sqrt(2))=(0*0-sqrt(2)*sqrt(2),0*sqrt(2)+sqrt(2)*0)=(-2,0)=-2$
Grazie
"GundamRX91":
L'unita' immaginaria e' definita come $i=sqrt(-1)$
Ma infatti non è vero.
Non troverai nessun libro di Algebra o Analisi Complessa che definisce [tex]$\imath :=\sqrt{-1}$[/tex].
Mi sa che ho capito male questo passaggio allora: "numero complesso $i ::=(0,1)$, detto unita' immaginaria, che risulta essere la radice quadrata di $-1$",
che io ho trasformato come $i=sqrt(-1)$
che io ho trasformato come $i=sqrt(-1)$
"GundamRX91":
Mi sa che ho capito male questo passaggio allora: "numero complesso $i ::=(0,1)$, detto unita' immaginaria
Appunto...
"GundamRX91":
che risulta essere la radice quadrata di $-1$"
Abuso di linguaggio, perchè: 1) scommetto che la radice complessa ancora non l'ha definita e 2) l'articolo determinativo è usato impropriamente (giacchè anche [tex]$-\imath$[/tex] allora sarebbe una readice di [tex]$-1$[/tex]).
Sarebbe più corretto dire che [tex]$\imath =(0,1)$[/tex] è un numero complesso tale che [tex]$\imath^2=(-1,0)$[/tex] (la potenza si calcola tenendo presenti le regole di calcolo in [tex]$\mathbb{C}$[/tex], ossia [tex]$z=(x,y) \ \Rightarrow \ z^2=(x^2-y^2,2xy)$[/tex]); poi, se si conviene di identificare [tex]$(-1,0)$[/tex] con [tex]$-1$[/tex], allora [tex]$\imath^2=-1$[/tex].
"GundamRX91":
che io ho trasformato come $i=sqrt(-1)$
Che è un abuso di notazione senza un significato preciso.
$i^2=(0,1)(0,1)=(-1,0)=-1 in RR$
lo indica dopo; a me quello che ha tratto in inganno e' quando scrive che "risulta essere la radice quadrata di -1", tutto qua.
Grazie per la spiegazione, ora risulta essere piu' chiaro.
Se posso poi vorrei capire un esercizio svolto che stavo studiando:
$bar(bar(z)+3i) = bar(bar(z)) + bar(3i) = z + 3bar(i) = z - 3i$
non riesco a capire i passaggi...diciamo che il secondo va bene, ma gli altri....
lo indica dopo; a me quello che ha tratto in inganno e' quando scrive che "risulta essere la radice quadrata di -1", tutto qua.
Grazie per la spiegazione, ora risulta essere piu' chiaro.
Se posso poi vorrei capire un esercizio svolto che stavo studiando:
$bar(bar(z)+3i) = bar(bar(z)) + bar(3i) = z + 3bar(i) = z - 3i$
non riesco a capire i passaggi...diciamo che il secondo va bene, ma gli altri....
L'operatore di passaggio al coniugato [tex]$\bar{ } :\mathbb{C} \ni (x,y) \mapsto (x,-y)\in \mathbb{C}$[/tex] è lineare ed involutoria, quindi...
aspetta, io come concetto di coniugato, il complesso coniugato, ho questo: posto $z = a +ib$ un numero complesso, il suo coniugato e' $z^* = a - ib$, da cui
poi e' possibile ricavare l'inverso di $z$.
poi e' possibile ricavare l'inverso di $z$.
Certo, tu per [tex]$z=(x,y)$[/tex] definisci [tex]$\bar{z}=(x,-y)$[/tex].
Ovviamente, dato che:
[tex]$w=(a,b)=a(1,0)+b(0,1)$[/tex],
posto [tex]$1=(1,0)$[/tex] ed [tex]$\imath =(0,1)$[/tex], puoi scrivere [tex]$z=x+\imath y$[/tex] e dunque [tex]$\bar{z}=x-\imath y$[/tex]; ma, visto che stavi usando un'altra notazione (ossia quella cartesiana [tex]$z=(x,y)$[/tex] al posto di quella algebrica [tex]$z=x+\imath y$[/tex]), ho preferito continuare a scrivere in notazione cartesiana.
A questo punto puoi istituire la funzione [tex]$\bar{} : \mathbb{C}\ni z=(x,y)\mapsto \bar{z}=(x,-y)\in \mathbb{C}$[/tex] che si chiama operatore di passaggio al coniugato (oppure operatore di coniugio o altri nomi simili).
L'operatore [tex]$\bar{}$[/tex] ha alcune proprietà che discendono immediatamente dalla definizione e dalla definizione delle operazioni: ad esempio:
- [tex]$\overline{z+w}=\bar{z} +\bar{w}$[/tex] (ossia è additivo),
- [tex]$\overline{z\ w} =\bar{z}\ \bar{w}$[/tex],
- [tex]$\overline{\bar{z}} =z$[/tex] (è involutorio, ossia coincide con il suo operatore inverso),
- [tex]$\bar{z} =z \ \Leftrightarrow \ \text{$z$ è reale}$[/tex].
Questo è quello che serve per capire i passaggi che ti erano oscuri.
Ovviamente, dato che:
[tex]$w=(a,b)=a(1,0)+b(0,1)$[/tex],
posto [tex]$1=(1,0)$[/tex] ed [tex]$\imath =(0,1)$[/tex], puoi scrivere [tex]$z=x+\imath y$[/tex] e dunque [tex]$\bar{z}=x-\imath y$[/tex]; ma, visto che stavi usando un'altra notazione (ossia quella cartesiana [tex]$z=(x,y)$[/tex] al posto di quella algebrica [tex]$z=x+\imath y$[/tex]), ho preferito continuare a scrivere in notazione cartesiana.
A questo punto puoi istituire la funzione [tex]$\bar{} : \mathbb{C}\ni z=(x,y)\mapsto \bar{z}=(x,-y)\in \mathbb{C}$[/tex] che si chiama operatore di passaggio al coniugato (oppure operatore di coniugio o altri nomi simili).
L'operatore [tex]$\bar{}$[/tex] ha alcune proprietà che discendono immediatamente dalla definizione e dalla definizione delle operazioni: ad esempio:
- [tex]$\overline{z+w}=\bar{z} +\bar{w}$[/tex] (ossia è additivo),
- [tex]$\overline{z\ w} =\bar{z}\ \bar{w}$[/tex],
- [tex]$\overline{\bar{z}} =z$[/tex] (è involutorio, ossia coincide con il suo operatore inverso),
- [tex]$\bar{z} =z \ \Leftrightarrow \ \text{$z$ è reale}$[/tex].
Questo è quello che serve per capire i passaggi che ti erano oscuri.
Grazie gugo, spiegazione chiarissima. Ora l'esercizio ha un senso 
Prego.
Tra l'altro mi pare anche di aver scritto in un vecchissimo thread qualche nota teorica sulla costruzione di [tex]$\mathbb{C}$[/tex]... Però non riesco a trovare nulla.
Forse la memoria mi inganna... Mah!
Tra l'altro mi pare anche di aver scritto in un vecchissimo thread qualche nota teorica sulla costruzione di [tex]$\mathbb{C}$[/tex]... Però non riesco a trovare nulla.
Forse la memoria mi inganna... Mah!
Provo a fare una ricerca, nel caso lo trovassi riporto in auge il thread 
gugo non ho trovato la discussione a cui facevi riferimento, oppure l'ho trovata ma non l'ho riconosciuta (sicuramente e' piu' probabile quest'ultima opzione );
comunque ho un altro esercizio che non riesco a capire:
esprimere in forma esponenziale e trigonometrica il seguente numero complesso:
$z = -i$
Da $z = a + ib $ devo supporre che $a=0$ e $b=-1$ ?
Se e' cosi', da $z = a + ib = p(cos \theta + i*sen \theta)$ allora avrei che:
$cos \theta = 0$ e i valori che potrebbe assumere $\theta$ sono $\pi$ e $3/2\pi$
$sen \theta = -1$ mentre in questo caso $\theta=3/2\pi$
siccome sò anche che l'esponenziale e' $e^i\theta = cos \theta + i*sen \theta$ avrei $e^(3/2\pi i)=cos (3/2\pi) + i*sen 3/2\pi$
e' corretto il ragionamento? Il dubbio ce l'ho sulla determinazione dei valori di $\theta$ perche' nel caso del coseno ho due valori possibili, mentre per il seno uno solo...
);comunque ho un altro esercizio che non riesco a capire:
esprimere in forma esponenziale e trigonometrica il seguente numero complesso:
$z = -i$
Da $z = a + ib $ devo supporre che $a=0$ e $b=-1$ ?
Se e' cosi', da $z = a + ib = p(cos \theta + i*sen \theta)$ allora avrei che:
$cos \theta = 0$ e i valori che potrebbe assumere $\theta$ sono $\pi$ e $3/2\pi$
$sen \theta = -1$ mentre in questo caso $\theta=3/2\pi$
siccome sò anche che l'esponenziale e' $e^i\theta = cos \theta + i*sen \theta$ avrei $e^(3/2\pi i)=cos (3/2\pi) + i*sen 3/2\pi$
e' corretto il ragionamento? Il dubbio ce l'ho sulla determinazione dei valori di $\theta$ perche' nel caso del coseno ho due valori possibili, mentre per il seno uno solo...
semmai è vero che [tex]\cos{\theta} = 0[/tex] per [tex]\theta = \frac {\pi}{2}[/tex] o per [tex]\theta = \frac 32 \pi[/tex], attenzione.
ma tu vuoi determinare un unico [tex]\theta[/tex], che vada bene sia per il seno che per il coseno, perciò ti deve interessare solo una soluzione.
infatti se [tex]\theta = \frac {\pi}{2}[/tex] allora [tex]\sin{\theta} = 1[/tex] e quindi [tex]e^{i\theta} = i[/tex] che non è mica [tex]-i[/tex].
Hai capito?
piccola nota infine: in realtà devi sempre ricordarti che i valori per cui vale [tex]\sin{\theta} = -1[/tex] sono infiniti, ovvero tutti quelli del tipo [tex]\theta = -\frac {\pi}{2} + 2k\pi[/tex] al variare di [tex]k \in \mathbb{Z}[/tex], ovvero devi ricordarti che puoi sempre sommare multipli di un angolo giro, tanto (ad esempio) [tex]\sin{\frac 32 \pi} = \sin{\frac 92 \pi}[/tex] chiaro no?
ma tu vuoi determinare un unico [tex]\theta[/tex], che vada bene sia per il seno che per il coseno, perciò ti deve interessare solo una soluzione.
infatti se [tex]\theta = \frac {\pi}{2}[/tex] allora [tex]\sin{\theta} = 1[/tex] e quindi [tex]e^{i\theta} = i[/tex] che non è mica [tex]-i[/tex].
Hai capito?
piccola nota infine: in realtà devi sempre ricordarti che i valori per cui vale [tex]\sin{\theta} = -1[/tex] sono infiniti, ovvero tutti quelli del tipo [tex]\theta = -\frac {\pi}{2} + 2k\pi[/tex] al variare di [tex]k \in \mathbb{Z}[/tex], ovvero devi ricordarti che puoi sempre sommare multipli di un angolo giro, tanto (ad esempio) [tex]\sin{\frac 32 \pi} = \sin{\frac 92 \pi}[/tex] chiaro no?
Mannaggia!!!! Si, e' vero $cos \alpha = 0$ e' per $\alpha = \pi/2$ e non $\pi$!!!!!!!!!!
Quindi la considerazione di "cercare" una soluzione unica era corretta.
Ok per gli angoli multipli
Grazie anche a te Black
Quindi la considerazione di "cercare" una soluzione unica era corretta.
Ok per gli angoli multipli
Grazie anche a te Black
altro esercizio: calcolare sempre l'esponente e la funzione trigonometrica del numero complesso $z = -1 - i$
posto che $z = a + ib = pe^(i\theta)$
da cui $z=|-1-i| = sqrt(2)$ (e questo l'ho calcolato correttamente )
non capisco invece quando definisce $sen \theta = -1/sqrt(2)$ e $cos \theta = -1/sqrt(2)$
da cui alla fine $\theta = 5/4\pi$
$-1/sqrt(2)$ non riesco a capire da "dove arrivi"....
posto che $z = a + ib = pe^(i\theta)$
da cui $z=|-1-i| = sqrt(2)$ (e questo l'ho calcolato correttamente
)non capisco invece quando definisce $sen \theta = -1/sqrt(2)$ e $cos \theta = -1/sqrt(2)$
da cui alla fine $\theta = 5/4\pi$
$-1/sqrt(2)$ non riesco a capire da "dove arrivi"....
Tu come lo faresti? invece di cercare di capire cosa fa il libro, prova prima a cercarti una tua soluzione!
[OT]
@GundamRX91: Tanto per curiosità... Ingegnere?
[/OT]
@GundamRX91: Tanto per curiosità... Ingegnere?
[/OT]
"blackbishop13":
Tu come lo faresti? invece di cercare di capire cosa fa il libro, prova prima a cercarti una tua soluzione!
stavo per rispondere che non avevo capito 'na mazza, ma in parte mi sono salvato in corner
Allora ho capito (anzi, diciamo che CREDO di aver capito) come ha ricavato $-1/sqrt(2)$
sò che nel piano di Gauss la misura del semiasse delle ascisse di $z$ e' dato da $a=p*cos \theta$, mentre la misura
del semiasse delle ordinate e' $b=p*sen \theta$; avendo calcolato in precedenza $p=sqrt(2)$ ed avendo i valori di $a=-1$
e $b=-1$, mi sono ricavato $cos \theta = -1/sqrt(2)$ e $sen \theta = -1/sqrt(2)$
Ora mi rimane solo da capire come convertire i valori di seno e coseno in radianti e il gioco e' fatto.
x gugo: probabilmente sei fossi un ingegnere non farei queste domande stupide... no, sono solo uno studente in matematica con qualche anno in piu' di voi
e quindi qualche neurone in meno
tramite una proporzione ho ricavato la misura in radianti di $-1/sqrt(2)$ che e' in effetti $5/4\pi$.
A questo punto non ci sono dubbi: $z = -1 -i = p*e^(i\theta) = sqrt(2)*e^(i*5/4\pi) = sqrt(2)(cos (5/4\pi) + i*sen(5/4\pi))$
A questo punto non ci sono dubbi: $z = -1 -i = p*e^(i\theta) = sqrt(2)*e^(i*5/4\pi) = sqrt(2)(cos (5/4\pi) + i*sen(5/4\pi))$
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