Numeri complessi
L'unita' immaginaria e' definita come $i=sqrt(-1)$ che deriva dalla risoluzione dell'equazione quadratica $x^2-1=0$,
da cui si ottengono due soluzioni: $x^2=1$ , $sqrt(x^2) = sqrt(+-1)$ e quindi $x_1=sqrt(1)$ , che possiamo indicare come $(1,0)$, e $x_2=sqrt(-1)$, che possiamo
indicare con $(0,1)$ che e' poi la nostra unita' immaginaria $i$.
Quindi posso scrivere che $sqrt(-2)=(0,2)$ ?
E che il prodotto di $sqrt(-2)*sqrt(-2)=(0,2)*(0,2)=(0*0 - 2*2, 0*2 + 2*0) = (-4,0) = -4 in RR$ ??
da cui si ottengono due soluzioni: $x^2=1$ , $sqrt(x^2) = sqrt(+-1)$ e quindi $x_1=sqrt(1)$ , che possiamo indicare come $(1,0)$, e $x_2=sqrt(-1)$, che possiamo
indicare con $(0,1)$ che e' poi la nostra unita' immaginaria $i$.
Quindi posso scrivere che $sqrt(-2)=(0,2)$ ?
E che il prodotto di $sqrt(-2)*sqrt(-2)=(0,2)*(0,2)=(0*0 - 2*2, 0*2 + 2*0) = (-4,0) = -4 in RR$ ??
Risposte
[OT]
Le faresti, fidati...
La domanda era motivata dal fatto che è tipico degli ingegneri (a quanto pare) cercare di imparare a fare gli esercizi dagli eserciziari, senza aver mai letto un briciolo di teoria.
E, viste le domande e le strane definizioni iniziali, mi sembrava ti stessi incamminando su questa pericolosa ed infruttuosa china... Quindi volevo metterti in guardia.
[/OT]
"GundamRX91":
x gugo: probabilmente sei fossi un ingegnere non farei queste domande stupide... no, sono solo uno studente in matematica con qualche anno in piu' di voi
e quindi qualche neurone in meno
Le faresti, fidati...
La domanda era motivata dal fatto che è tipico degli ingegneri (a quanto pare) cercare di imparare a fare gli esercizi dagli eserciziari, senza aver mai letto un briciolo di teoria.
E, viste le domande e le strane definizioni iniziali, mi sembrava ti stessi incamminando su questa pericolosa ed infruttuosa china... Quindi volevo metterti in guardia.
[/OT]
"gugo82":
[OT]
[quote="GundamRX91"]x gugo: probabilmente sei fossi un ingegnere non farei queste domande stupide... no, sono solo uno studente in matematica con qualche anno in piu' di voi
e quindi qualche neurone in meno
Le faresti, fidati...
La domanda era motivata dal fatto che è tipico degli ingegneri (a quanto pare) cercare di imparare a fare gli esercizi dagli eserciziari, senza aver mai letto un briciolo di teoria.
E, viste le domande e le strane definizioni iniziali, mi sembrava ti stessi incamminando su questa pericolosa ed infruttuosa china... Quindi volevo metterti in guardia.
[/OT][/quote]
No, no, gli esercizi li sto facendo dopo aver studiato la teoria, solo che spesso capisco aglio per cipolla e quindi ecco che arrivano le domande "ingegneristiche"
Battute a parte, come avevo spiegato a Blackbishop, ho ripreso gli studi dopo oltre 20 anni dal diploma di scuola superiore (mi sono diplomato come perito chimico industriale) e ho perso molta dell'elasticita' mentale di un tempo assieme a molte delle nozioni imparate a scuola, e la matematica che sto studiando ora e' molta diversa da quella fatta alle superiori (a livello di approfondimento ovviamente).
Quindi, per finire, vi chiedo solo di avere un po' di pazienza con me perche' molte cose che per voi sono banali, per me non lo sono
Grazie
Nuovo esercizio, nuovo dubbio
Dato il numero complesso $z = -2 - 2i$ determinare in forma trigonometrica i numeri complessi $z^(3/4)$, $z^(4/3)$ e disegnarli nel piano di Argand-Gauss.
Prima di tutto calcolo il raggio vettore di $z$: $p=|z|=sqrt(N(z))=sqrt(a^2+b^2)=sqrt(8)=2*sqrt(2)$
Da questo, sapendo che $a=-2$ e $b=-2$ calcolo seno e coseno:
$a=p*cos\theta$, $-2=2sqrt(2)=cos\theta$, $cos\theta=-1/sqrt(2)$
$b=p*sen\theta$, $-2=2sqrt(2)=sen\theta$, $sen\theta=-1/sqrt(2)$
che espressi in radianti diventano:
$cos (5/4)\pi$ , $sen (5/4)\pi$
A questo punto determino $z$ in forma esponenziale:
$z = p*e^i\theta=p(cos\theta + i*sen\theta)=2sqrt(2)(cos (5/4)\pi + i*sen (5/4)\pi)$
e da De Moivre:
$z^(3/4)=(2sqrt(2))^(3/4)(cos (3/4)(5/4)\pi + i*sen (3/4)(5/4)\pi)=2^(9/8)(cos (15/16)\pi + i*sen (15/16)\pi)$
$z^(4/3)=(2sqrt(2))^(4/3)(cos (4/3)(5/4)\pi + i*sen (4/3)(5/4)\pi)=4(cos (5/3)\pi + i*sen (5/3)\pi)$
A questo punto pero' dovrei disegnare sul piano complesso quanto calcolato.... ma non mi e' proprio chiaro come farlo.
Dato il numero complesso $z = -2 - 2i$ determinare in forma trigonometrica i numeri complessi $z^(3/4)$, $z^(4/3)$ e disegnarli nel piano di Argand-Gauss.
Prima di tutto calcolo il raggio vettore di $z$: $p=|z|=sqrt(N(z))=sqrt(a^2+b^2)=sqrt(8)=2*sqrt(2)$
Da questo, sapendo che $a=-2$ e $b=-2$ calcolo seno e coseno:
$a=p*cos\theta$, $-2=2sqrt(2)=cos\theta$, $cos\theta=-1/sqrt(2)$
$b=p*sen\theta$, $-2=2sqrt(2)=sen\theta$, $sen\theta=-1/sqrt(2)$
che espressi in radianti diventano:
$cos (5/4)\pi$ , $sen (5/4)\pi$
A questo punto determino $z$ in forma esponenziale:
$z = p*e^i\theta=p(cos\theta + i*sen\theta)=2sqrt(2)(cos (5/4)\pi + i*sen (5/4)\pi)$
e da De Moivre:
$z^(3/4)=(2sqrt(2))^(3/4)(cos (3/4)(5/4)\pi + i*sen (3/4)(5/4)\pi)=2^(9/8)(cos (15/16)\pi + i*sen (15/16)\pi)$
$z^(4/3)=(2sqrt(2))^(4/3)(cos (4/3)(5/4)\pi + i*sen (4/3)(5/4)\pi)=4(cos (5/3)\pi + i*sen (5/3)\pi)$
A questo punto pero' dovrei disegnare sul piano complesso quanto calcolato.... ma non mi e' proprio chiaro come farlo.
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