Numeri complessi

[kobeilprofeta]

Come promesso apro per discutere dei numeri immaginari/complessi e parto subito con una domanda. Riuscite a spiegarmi logicamente come fare $n^i$?
mi spiego meglio: nel caso di $n^k$ devo moltiplicare $n$ per $k$ volte; nel caso $n^x$ con $x in RR$ ho già delle difficoltà poichè se $x$ non è sotto forma di frazione non saprei come fare....e infine se $x in CC$ il tutto peggiora ulteriormente...

[Zero87]

"kobeilprofeta":Come promesso apro per discutere dei numeri immaginari/complessi

Ottimo, benvenuto in questo tuo viaggio alla ricerca del sapere (matematico).

"kobeilprofeta":e parto subito con una domanda. Riuscite a spiegarmi logicamente come fare $n^i$?

Il punto è che fino a che non ci si imbatte nell'analisi complessa, una cosa del genere sembra decisamente fuori da ogni qualsiasi logica.
Al liceo scientifico, facendo il turbo pascal, ho scoperto che nel suddetto linguaggio di programmazione, l'unico modo decente per far eseguire una potenza era scrivere
$a^b =e^(b log(a))$
al ché la professoressa al terzo anno mi disse che per potenze ad esponenti reali quello era il modo utilizzato sia in matematica che dalle calcolatrici.
All'università ne ho avuto la conferma poiché $e^x$ si può calcolare "abbastanza" facilmente con un grado di precisione arbitrario servendosi della formula di Taylor mentre per il logaritmo, oltre all'esistenza delle suddette tavole logaritmiche, si può fare altrettanto se non erro.

In analisi reale, dunque, si pone $a^x = e^(x log(a))$ sfruttando alcune proprietà di esponenziali e logaritmi: come ho detto, per quanto ne so, anche le calcolatrici utilizzano questo metodo servendosi della formula di Taylor.

Comunque in analisi complessa le cose peggiorano in maniera - direi - esponenziale, soprattutto perché il logaritmo non è iniettivo. Ad ogni numero, infatti, possono corrispondere infiniti logaritmi differenti, ma questa è una questione piuttosto spinosa che per ora lascio da parte e fischietto allegramente...
Tuttavia non tutto è perduto: se vuoi fare
$a^z$
dove $a$ è reale e $z$ complesso, il logaritmo resta quello reale e non si pongono tantissimi problemi.

Piccola nota: si utilizza molto volentieri $z$ come variabile complessa indicando così $x$ la sua parte reale e $y$ quella immaginaria in modo da avere $z= x+iy$.

Dunque
$n^z=e^(zlog(n))$
continua a valere senza problemi (vale anche per una base complessa, ma il discorso è lungo e abbastanza palloccoloso).

In questo discorso, un ruolo importante lo ha la ben nota formula di Eulero
$e^(iy)= cos(y)+i sin(y)$ (per $y$ reale)
che si può estendere ad un qualunque esponente complesso anche misto sfruttando le ben note proprietà dell'esponenziale
$e^z = e^(x+iy) = e^x \cdot e^(iy) = e^x (cos(y) +i sin(y))$.

Magari può sembrare arcano come discorso, ma cercherò di fare qualche esempio.

1.
Calcoliamo $2^i$.
$2^i = e^(i log(2))= cos(log(2))+i sin(log(2))$
sembra chissà quanto difficile, ma ricordo che $log(2)$ è un numero di cui si possono calcolare tranquillamente seno e coseno

2.
Calcoliamo $e^(2+3i)$
$e^(2+3i)= e^2 \cdot e^(3i)= e^2 (cos(3)+i sin(3))$
anche qui $cos(3)$ e $sin(3)$ sono 2 numeri.

3.
Visto che abbiamo seni e coseni, facciamo un esempio ad hoc: calcoliamo $e^(2 \pi/3 i)$
$e^(2 \pi/3 i)= cos(2\pi/3) +i sin(2\pi/3) = -1/2 + i \sqrt(3)/2$

4.
Esempio più calzante.: calcoliamo $e^(i\pi )$.
$e^(i \pi)=cos(\pi)+i sin(\pi)=-1$
Esempio che mostra come gli esponenziali complessi possono anche assumere valori negativi: una cosa che farebbe andare in tilt qualsiasi studente delle superiori abituato al dogma "gli esponenziali sono sempre positivi".

5.
Mostriamo comunque che siamo sani di mente. Un numero reale non è altro che un complesso con parte immaginaria nulla.
$e^x = e^(x+0i)=e^x \cdot (cos(0)+i sin(0)) = e^x$
in altre parole, l'esponenziale complesso torna tranquillamente ad essere l'esponenziale reale per valori reali salvando capra e cavoli.
Dunque sarebbe corretto dire "l'esponenziale reale assume sempre valori positivi". Alle superiori si dà per scontato che l'esponenziale è l'esponenziale reale, ma così non è in realtà.

Conclusione
Ho scritto un papiro di cui dubito della comprensibilità: se qualche passaggio è oscuro... chiedi!

@Pianoth
Grazie per la segnalazione, ho editato.

[Pianoth]

Sono contento che tu mi abbia preceduto, Zero, stavo per rispondere io (più o meno dicendo quello che hai detto tu alla fin fine) Penso comunque che debba essere chiaro per kobe, non hai detto niente in ostrogoto.

[kobeilprofeta]

...$a^b=e^(b*log a)$ se non erro: $a^b=(e^(log a))^b$... dunque $a=e^(log a)$
Nel caso $a=1000$ è immediato che $1000!=e^3$

[Zero87]

"kobeilprofeta":...$a^b=e^(b*log a)$ se non erro: $a^b=(e^(log a))^b$... dunque $a=e^(log a)$
Nel caso $a=1000$ è immediato che $1000!=e^3$

Non ho capito granché di quello che hai scritto, ma comunque con "log" io intendo il logaritmo in base $e$ (e con "Log" quello in base 10): in molti dicono così e anche io mi sono abituato.

Se ti piace di più, $a= e^(ln(a))$

[kobeilprofeta]

Ok...ora mi ritorna:normale proprietà dei logaritmi...

Nel frattempo... Non esiste un numero immaginario per definire, oltre ad $sqrt(-1)$, anche per es $log (-1)$ o $log (1)$?

[Zero87]

"kobeilprofeta":anche per es $log (-1)$ o $log (1)$?

Comunque intendo "log" come quello in base $e$... se però intendi un logaritmo qualsiasi, credo che basti solo il cambio di base quindi non cambia molto il discorso...

Comunque $log(1)=0$, per quanto riguarda il $log(-1)$ esiste davvero un metodo per definirlo, ma è piuttosto complicato e mi sa che è meglio lasciar perdere la definizione "tecnica"...

Piuttosto una definizione più intuitiva viene dalla formula di Eulero: puoi notare che
$e^((2k+1) i)=-1$
da cui si deduce $log(-1)=2k\pi i$.

[Pianoth]

Beh, almeno non ha chiesto il logaritmo complesso