Numeri algebrici e numeri costruibili
Ciao a tutti!
Mi aiutate a capire dove sbaglio in questo ragionamento? Perchè senza dubbio c'è qualche cosa di sbagliato che faccio, visto che vado in contraddizione, ma non riesco a capire dove è la falla....
Io so (1) per il Teorema di Lindemann-Weierstrass che a seni algebrici corrispondono angoli trascendenti (e viceversa, ad angoli algebrici corrispondono seni trascendenti).
Inoltre (2) tutti i numeri costruibili (con riga e compasso) sono algebrici.
Infine so che (3) se $alpha$ è costruibile (con riga e compasso) allora anche $\sin \alpha$ lo è (basta pensare che so costruire il segmento unitario orizzontale, so costruire l'angolo, traccio la perpendicolare, anch'essa costruibile, dalla fine del segmento unitario fino ad incontrare la semiretta dell'angolo, allora il segmento verticale è proprio pari al seno dell'angolo!).
Ora però se $\alpha$ è costruibile per (2) $\alpha$ è algebrico, ma allora per (1) il $\sin \alpha$ è trascendente, quindi non costruibile, il che va in contraddizione con (3)....
Dove sbaglio????
Aiutoooooooo
Mi aiutate a capire dove sbaglio in questo ragionamento? Perchè senza dubbio c'è qualche cosa di sbagliato che faccio, visto che vado in contraddizione, ma non riesco a capire dove è la falla....
Io so (1) per il Teorema di Lindemann-Weierstrass che a seni algebrici corrispondono angoli trascendenti (e viceversa, ad angoli algebrici corrispondono seni trascendenti).
Inoltre (2) tutti i numeri costruibili (con riga e compasso) sono algebrici.
Infine so che (3) se $alpha$ è costruibile (con riga e compasso) allora anche $\sin \alpha$ lo è (basta pensare che so costruire il segmento unitario orizzontale, so costruire l'angolo, traccio la perpendicolare, anch'essa costruibile, dalla fine del segmento unitario fino ad incontrare la semiretta dell'angolo, allora il segmento verticale è proprio pari al seno dell'angolo!).
Ora però se $\alpha$ è costruibile per (2) $\alpha$ è algebrico, ma allora per (1) il $\sin \alpha$ è trascendente, quindi non costruibile, il che va in contraddizione con (3)....
Dove sbaglio????
Aiutoooooooo
Risposte
Interessante...
non sono sicuro ma credo che ci sia un errore concettuale nella tua dimostrazione che se $\alpha$ e' costrubile, allora anche $sin(\alpha)$ e' costruibile. Infatti tu puoi costruire un segmento di lunghezza $\alpha$, ma un angolo non e' un segmento e non e' assolutamente chiaro come fai a costruirlo. Secondo me non puoi...
non sono sicuro ma credo che ci sia un errore concettuale nella tua dimostrazione che se $\alpha$ e' costrubile, allora anche $sin(\alpha)$ e' costruibile. Infatti tu puoi costruire un segmento di lunghezza $\alpha$, ma un angolo non e' un segmento e non e' assolutamente chiaro come fai a costruirlo. Secondo me non puoi...
Forse ho capito l'inghippo...è vero che se l'angolo $\alpha$ è costruibile allora il $\sin \alpha$ lo è...però, per l'appunto, $\alpha$ è un angolo costruibile, non un numero costruibile (ad esempio $\frac{\pi}{2}$ non è un numero costruibile, però l'angolo di ampiezza $\frac{\pi}{2}$ è costruibile, basta pensare che posso costruire una perpendicolare ad una retta data).
Quindi non posso dire che se $\alpha$ è costruibile allora $\alpha$ è algebrico, perchè questa affermazione sarebbe vera se $\alpha$ fosse un numero costruibile....
Ora penso sia corretto
Quindi non posso dire che se $\alpha$ è costruibile allora $\alpha$ è algebrico, perchè questa affermazione sarebbe vera se $\alpha$ fosse un numero costruibile....
Ora penso sia corretto
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