Nucleo e spazio riga di una matrice
Leggendo il volume di "Algebra Lineare e Geometria" di Schlesinger, mi ha messo un po' in crisi un esercizio che, riformulato, dice:
"Il vettore \(\mathbf{v_0}=(1, -2, 1)^T\) appartiene al nucleo \(\mathrm{Ker}\ \mathbf A\) della matrice $\mathbf{A}=((1,1,1),(1,2,3))$. Dimostrare che il vettore $(x_1, x_2, x_3)^T=\mathbf{v_0}$ soddisfa l'equazione $a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=0$ se e solo se $(a_1, a_2, a_3)^T=\mathbf{a}$ appartiene allo spazio riga \(\mathrm{Row}\ \mathbf A\) di $\mathbf A$."
L'implicazione \(\Longleftarrow\) mi è parsa semplice fin dal primo tentativo: se \(\mathbf a\in\mathrm{Row} \mathbf A\), riscrivendo $\mathbf a$ come combinazione lineare delle righe di $\mathbf A$, $\mathbf a=α(1, 1, 1)^T+β(1, 2, 3)^T=(α+β, α+2β, α+3β)^T$ da cui immediatamente $α+β-2(α+2β)+α+3β=0$
Al contrario, sull'implicazione \(\Longrightarrow\) mi sono dovuto soffermare un po' di più anche se sono riuscito a trovare una soluzione che, però, non credo soddisfi pienamente i crismi di una dimostrazione di algebra lineare... Ho notato che $a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=0$ non era altro che $\mathbf a\cdot\mathbf{v_0}=0$ ovvero la condizione di perpendicolarità tra vettori in $\mathbb R^3$; dalla definizione di nucleo, risulta che anche i vettori riga di $\mathbf A$ sono perpendicolari a $\mathbf{v_0}$: allora \(\mathbf a\in\mathrm{Span}((1,1,1),(1,2,3))=\mathrm{Row}\mathbf A\).
Come si può formalizzare meglio questa dimostrazione?
"Il vettore \(\mathbf{v_0}=(1, -2, 1)^T\) appartiene al nucleo \(\mathrm{Ker}\ \mathbf A\) della matrice $\mathbf{A}=((1,1,1),(1,2,3))$. Dimostrare che il vettore $(x_1, x_2, x_3)^T=\mathbf{v_0}$ soddisfa l'equazione $a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=0$ se e solo se $(a_1, a_2, a_3)^T=\mathbf{a}$ appartiene allo spazio riga \(\mathrm{Row}\ \mathbf A\) di $\mathbf A$."
L'implicazione \(\Longleftarrow\) mi è parsa semplice fin dal primo tentativo: se \(\mathbf a\in\mathrm{Row} \mathbf A\), riscrivendo $\mathbf a$ come combinazione lineare delle righe di $\mathbf A$, $\mathbf a=α(1, 1, 1)^T+β(1, 2, 3)^T=(α+β, α+2β, α+3β)^T$ da cui immediatamente $α+β-2(α+2β)+α+3β=0$
Al contrario, sull'implicazione \(\Longrightarrow\) mi sono dovuto soffermare un po' di più anche se sono riuscito a trovare una soluzione che, però, non credo soddisfi pienamente i crismi di una dimostrazione di algebra lineare... Ho notato che $a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=0$ non era altro che $\mathbf a\cdot\mathbf{v_0}=0$ ovvero la condizione di perpendicolarità tra vettori in $\mathbb R^3$; dalla definizione di nucleo, risulta che anche i vettori riga di $\mathbf A$ sono perpendicolari a $\mathbf{v_0}$: allora \(\mathbf a\in\mathrm{Span}((1,1,1),(1,2,3))=\mathrm{Row}\mathbf A\).
Come si può formalizzare meglio questa dimostrazione?
Risposte
Quello che chiami "spazio riga" non è altro che l'immagine della trasposta di $A$; la relazione che vuoi dimostrare discende dalla relazione tra uno spazio e il suo duale, si ha che per ogni applicazione lineare \(\varphi :V \to W\),
\[\ker (\varphi^*) \cong (\text{im }\varphi)^\perp \qquad \text{im }(\varphi^*) \cong (\ker \varphi)^\perp\]
\[\ker (\varphi^*) \cong (\text{im }\varphi)^\perp \qquad \text{im }(\varphi^*) \cong (\ker \varphi)^\perp\]
Prima di tutto, mi scuso per aver sbagliato sezione e chiedo di spostare il post su Algebra Lineare e Geometria o, se potessi farlo da me, di illustrarmi come possa rimediare io direttamente...
Rispondendo a solaàl, non riesco a seguirti perché non conosco ancora lo spazio duale e quindi cercavo una dimostrazione più elementare...
Rispondendo a solaàl, non riesco a seguirti perché non conosco ancora lo spazio duale e quindi cercavo una dimostrazione più elementare...
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