Nuclei di morfismi di prefasci

[killing_buddha]

Prendiamo due prefasci in Gruppi. Come mostrare che il nucleo [tex]\mathcal K[/tex] di un morfismo di prefasci [tex]f: \mathcal F\to \mathcal G[/tex] ha effettivamente la proprieta' universale del nucleo?

Sono le prime volte che armeggio con questi oggetti, e ogni tanto qualche dimostrazione standard salta. In particolare qualche fonte inverte i lati dell'implicazione, dicendo che siccome [tex]\mathcal K[/tex] e' il ker di [tex]f[/tex], allora ha la proprieta' universale dei ker, non che siccome ha la proprieta' universale dei ker allora e' il nucleo... che fare?

[Studente Anonimo]

Fisso un po' di definizioni/notazioni.

Un prefascio in gruppi [tex]\mathcal F[/tex] sullo spazio topologico $X$ non è altro che un funtore [tex]{\tau_X}^{op} \to \mbox{Gruppi}[/tex], dove [tex]\tau_X[/tex] (la topologia di X) è la categoria i cui oggetti sono gli aperti di X e se U,V sono due aperti di X esiste un unico morfismo $U to V$ se e solo se $U \subseteq V$.

Un morfismo [tex]f:\mathcal{F} \to \mathcal{G}[/tex] di prefasci su X non è altro che una trasformazione naturale dei relativi funtori.

Il candidato nucleo di $f$ è il prefascio su X che manda [tex]U[/tex] in [tex]\ker(f_U)[/tex].

Se espliciti la proprietà universale ti risulta che essa segue direttamente dalla proprietà universale del nucleo nella categoria [tex]\mbox{Gruppi}[/tex].

[killing_buddha]

Quindi, visto che per ogni aperto [tex]U[/tex] vale che

ogni morfismo [tex]g(U)[/tex] che [tex]f(U)\circ g(U)=0(U)[/tex] si fattorizza via il nucleo (che in ogni "componente" del prefascio nucleo e' un gruppo con relativo monomorfismo in [tex]\mathcal F(U)[/tex]) nel modo che segue
[tex]\xymatrix{
\mathcal K(U)\ar[dr]^{i(U)} & & \\
& \mathcal F(U) \ar[r]^{f(U)}& \mathcal G(U)\\
H(U) \ar[ur]_{g(U)}\ar@{.>}[uu]^{\gamma(U)}& &
}[/tex]

posso dedurre che la proprieta' "passa" al morfismo di prefasci tutto intero?

[Studente Anonimo]

Certo. Ma lo puoi dimostrare, non è difficile.