Note di Algebra
Ciao a tutti,
volevo informarvi del fatto che sto scrivendo un pdf con note di algebra, e per ora sono arrivato ad un decente primo capitolo riguardante i gruppi. Pensavo di parlare nei successivi capitoli di teoria di Galois, categorie e algebra applicata alla topologia, un po' di teoria degli schemi.
Potete trovare il pdf qui.
Vi sarei grato se poteste dare un'occhiata a queste note, se volete, e dirmi che ne pensate. Naturalmente ci saranno errori, sto modificando il file giornalmente quindi me lo aspetto (ne trovo sempre).
Per alcuni esercizi e/o esempi mi sono servito di problemi proposti sul forum, alcuni li ho presi dalla maratona di teoria dei gruppi, altri da messaggi qua e là.
volevo informarvi del fatto che sto scrivendo un pdf con note di algebra, e per ora sono arrivato ad un decente primo capitolo riguardante i gruppi. Pensavo di parlare nei successivi capitoli di teoria di Galois, categorie e algebra applicata alla topologia, un po' di teoria degli schemi.
Potete trovare il pdf qui.
Vi sarei grato se poteste dare un'occhiata a queste note, se volete, e dirmi che ne pensate. Naturalmente ci saranno errori, sto modificando il file giornalmente quindi me lo aspetto (ne trovo sempre).
Per alcuni esercizi e/o esempi mi sono servito di problemi proposti sul forum, alcuni li ho presi dalla maratona di teoria dei gruppi, altri da messaggi qua e là.
Risposte
Wow, a una prima occhiata mi sembra proprio un bel lavoro, ci sono molte cose che non sapevo e che francamente non sapevo dove reperire (come ti dissi per PM), specie sui sottogruppi normali minimali e i sottogruppi notevoli. Ho notato poi che ci sono molte cose sui gruppi risolubili e nilpotenti, che di solito vengono solo accennati (o non trattati affatto) nei corsi di algebra di base, e anche le parti "classiche" (sylow, gruppi simmetrici) mi sembrano ben strutturate, complete e con esempi molto istruttivi. Credo che mi saranno estremamente utili per approfondire le mie conoscenze di teoria dei gruppi. 
Per un'analisi più dettagliata (anche per possibili errori) dovrei iniziare a studiarle, e al momento non ho molto tempo. Ma stai sicuro che ti segnalerò qualcunque ulteriore commento/nota/dubbio che mi salterà in testa leggendole.
Ancora complimenti!!
Per un'analisi più dettagliata (anche per possibili errori) dovrei iniziare a studiarle, e al momento non ho molto tempo. Ma stai sicuro che ti segnalerò qualcunque ulteriore commento/nota/dubbio che mi salterà in testa leggendole.
Ancora complimenti!!
Grazie 
Mi farebbe molto piacere se tu dessi un'occhiata - anche vaga e quando vuoi - al file, se trovi qualunque cosa (anche un errore di ortografia o una virgola fuori posto) ti sarei grato se me lo dicessi.
Stamattina ho trovato alcuni immancabili errori (tipo, avevo denotato male il prodotto semidiretto) e ho aggiunto la formula degli indici e un po' di reticoli di sottogruppi. Adesso aggiungerò i prodotti intrecciati e una classificazione grossolana dei sottogruppi massimali di $S_n$. Poi mi piacerebbe fare i gruppi lineari.
Ah per favore ditemi (se volete, quando volete naturalmente) se c'è qualche argomento che secondo voi manca.
Mi farebbe molto piacere se tu dessi un'occhiata - anche vaga e quando vuoi - al file, se trovi qualunque cosa (anche un errore di ortografia o una virgola fuori posto) ti sarei grato se me lo dicessi.
Stamattina ho trovato alcuni immancabili errori (tipo, avevo denotato male il prodotto semidiretto) e ho aggiunto la formula degli indici e un po' di reticoli di sottogruppi. Adesso aggiungerò i prodotti intrecciati e una classificazione grossolana dei sottogruppi massimali di $S_n$. Poi mi piacerebbe fare i gruppi lineari.
Ah per favore ditemi (se volete, quando volete naturalmente) se c'è qualche argomento che secondo voi manca.
Comincio io con qualche osservazione:
- [*:2gvqo9e8]Allora nella seconda riga di pagina 5 hai scritto "è un insieme [tex]S[/tex] dotato di una funzione [tex]S \times S \rightarrow S[/tex], [tex](s, t) \mapsto s * t[/tex],". La frase non è sbagliata ma generalmente le funzioni si segnano come [tex]*:S \times S \rightarrow S[/tex] e trovo poco chiaro il significato di [tex]s*t[/tex]. Io suggerei quindi o di mettere la definizione di operazione binaria oppure di riformulare la frase in qualche modo.
[/*:m:2gvqo9e8]
[*:2gvqo9e8]Nella definizione di monoide scrivi "semigruppo [tex](S,*)[/tex]" prima che tu abbia precedentemente presentato questo modo di segnare i semigruppi. Stesso dicasi per il gruppo. Dopo di che comunque è inusuale che un gruppo sia segnato come [tex]\left(S, *, ^{-1}, e\right)[/tex] anche se a rigore il linguaggio di gruppo è composto da una funzione binaria, una unaria e di una costante (funzione di arietà 0). Suggerisco quindi di semplicemente toglierlo: dal contesto di capisce cosa intendi anche senza ricordare l'insieme e la notazione.
[/*:m:2gvqo9e8]
[*:2gvqo9e8]Nella notazione non hai scritto che nella notazione moltiplicativa (non hai scritto come si chiama) l'elemento neutro è spesso segnato con un 1 ma lo usi nell'ultimo esempio della pagina. Inoltre non hai accennato la notazione additiva. Volendo andrebbe detto che le operazioni sono generalmente lette da sinistra a destra. Ho notato che hai messo queste cose a pagina 7 ma vanno messe subito, per lo meno l'uso dell'1 dato che lo usi.
[/*:m:2gvqo9e8]
[*:2gvqo9e8]L'ultimo esempio di pagina 5 non è un esempio. Se non vuoi considerarlo un teorema allora mettilo come osservazione.
[/*:m:2gvqo9e8]
[*:2gvqo9e8]La definizione di potenza è segnato come un esercizio.
[/*:m:2gvqo9e8]
[*:2gvqo9e8]La definizione di gruppo ciclico è in un esempio...
[/*:m:2gvqo9e8]
[*:2gvqo9e8]Nell'esercizio in cui definisci la funzione di eulero non è ben chiaro cosa bisogna fare.
[/*:m:2gvqo9e8]
[*:2gvqo9e8]L'ordine di un elemento di G non è segnato come definizione.
[/*:m:2gvqo9e8]
[*:2gvqo9e8]L'esempio che segue non lo considererei un esempio... Anche questa è più un'osservazione.
[/*:m:2gvqo9e8]
[*:2gvqo9e8]Sarebbe meglio se l'esercizio finale di pagina 6 non iniziasse all'ultima riga...[/*:m:2gvqo9e8][/list:u:2gvqo9e8]
Per ora (mi sono fermato lì) mi sembra un po' caotico...
Grazie vict, ho sistemato un po' di cose che mi hai detto. In effetti potrei isolare le definizioni per la chiarezza.
A proposito, sapete come correggere la sillabazione per il ritorno a capo?
A proposito, sapete come correggere la sillabazione per il ritorno a capo?
A proposito, sapete come correggere la sillabazione per il ritorno a capo?
Si, utilizzando \- dove vuoi permettere che la parola sia tagliata, per esempio pro\-po\-si\-to
Ho aggiornato la versione
Qualcuno sa come inserire l'intestazione a tutto il documento?
Qualcuno sa come inserire l'intestazione a tutto il documento?
Nella versione 1.1 ho aggiunto i reticoli dei sottogruppi di alcuni gruppi piccoli, ho raccolto gli esercizi nel paragrafo finale del capitolo 1, ho iniziato la classificazione dei sottogruppi di $S_n$ e ho aggiunto la dimostrazione della formula degli indici e la definizione di prodotto intrecciato.
Inoltre ho corretto l'asserzione $|X|=|Y| <=> Sym(X) cong Sym(Y)$ mantenendo solo l'implicazione $=>$, mi sono accorto che dell'altra implicazione non so nulla (a parte che è vera nel caso finito).
Grazie a_g_t, ma per caso sai come rendere la sillabazione automatica? Siccome il documento è in continuo cambiamento non serve a molto correggere le singole sillabazioni, dato che le parole spezzate potrebbero da un momento all'altro ritrovarsi alla riga sotto.
Grazie a tutti
Inoltre ho corretto l'asserzione $|X|=|Y| <=> Sym(X) cong Sym(Y)$ mantenendo solo l'implicazione $=>$, mi sono accorto che dell'altra implicazione non so nulla (a parte che è vera nel caso finito).
Grazie a_g_t, ma per caso sai come rendere la sillabazione automatica? Siccome il documento è in continuo cambiamento non serve a molto correggere le singole sillabazioni, dato che le parole spezzate potrebbero da un momento all'altro ritrovarsi alla riga sotto.
Grazie a tutti
Per rendere la sillabazione automatica, alcuni dicono che basta utilizzare \usepackage[italian]{babel}, ma a me non funziona...
Quindi quando scrivo qualcosa, non mi preoccupo della sillabazione mentre che scrivo e aspetto alla fine per correggere.
Quindi quando scrivo qualcosa, non mi preoccupo della sillabazione mentre che scrivo e aspetto alla fine per correggere.
Osservazioni:
Nella definizione 2 potresti definire $g^0=1$. Potresti anche dire al commincio, in "Notazione", che $NN=\{0,1,2,3, ...\}$, perchè per molta gente, $NN=\{1,2,3, ...\}$ (anche per me)
E poi ci sono delle cose da correggere:
Nel esercizio 1: $\{g^n | n \in ZZ\}$ invece di $\{g^n | n \in NN\}$
Nella definizione 3: "intero" invece di "intero positivo"
Nella definizione 2 potresti definire $g^0=1$. Potresti anche dire al commincio, in "Notazione", che $NN=\{0,1,2,3, ...\}$, perchè per molta gente, $NN=\{1,2,3, ...\}$ (anche per me)
E poi ci sono delle cose da correggere:
Nel esercizio 1: $\{g^n | n \in ZZ\}$ invece di $\{g^n | n \in NN\}$
Nella definizione 3: "intero" invece di "intero positivo"
OT a proposito di sillabazione in LaTeX:
Nel preambolo puoi inserire il comando
In tutto il documento dividerà "parole", "divisione", "sillabe" come indicato.
Però non so se questa istruzione richiede il caricamento del pacchetto babel (\usepackage[italian]{babel}, che io uso e non dà problemi).
/OT
"Martino":
Grazie a_g_t, ma per caso sai come rendere la sillabazione automatica? Siccome il documento è in continuo cambiamento non serve a molto correggere le singole sillabazioni, dato che le parole spezzate potrebbero da un momento all'altro ritrovarsi alla riga sotto.
Nel preambolo puoi inserire il comando
\hyphenation{pa-ro-le di-vi-sio-ne sil-la-be}
In tutto il documento dividerà "parole", "divisione", "sillabe" come indicato.
Però non so se questa istruzione richiede il caricamento del pacchetto babel (\usepackage[italian]{babel}, che io uso e non dà problemi).
/OT
Grazie a_g_t, grazie cirasa!
Nei prossimi giorni mandero' fuori la nuova versione, con opportune modifiche e aggiunte.
Nei prossimi giorni mandero' fuori la nuova versione, con opportune modifiche e aggiunte.
grazie per il lavoro che stai facendo...in vista del corso di algebra 2, sicuramente mi sarà utile questo file.
L'e-book di Algebra di Martino è stato aggiornato. Il link è sempre lo stesso.
Grazie Admin.
Nella versione 2.0 ho sistemato un po' il capitolo sui gruppi completando in particolare la parte del teorema di O'Nan Scott, e poi ho inserito il capitolo sulle categorie. Non è pensato come una parte da leggersi in tranquillità ma piuttosto come un mini-manuale, da consultarsi in caso di bisogno.
Se avete osservazioni sarei felice se me le esplicitaste.
Grazie a tutti!
Nella versione 2.0 ho sistemato un po' il capitolo sui gruppi completando in particolare la parte del teorema di O'Nan Scott, e poi ho inserito il capitolo sulle categorie. Non è pensato come una parte da leggersi in tranquillità ma piuttosto come un mini-manuale, da consultarsi in caso di bisogno.
Se avete osservazioni sarei felice se me le esplicitaste.
Grazie a tutti!
Mi sono particolarmente divertito a leggere il tuo lavoro e mi complimento di molto su quanto hai costruito. Mi permetto di farti solo qualche osservazione.
Mi pare che le tue "note" siano un manuale un poco ascetico e credo che manchi un poca di discorsività per chiarire i punti più ostici. Per esempio il senso di alcuni teoremi potrebbe essere commentato (Sylow, Lagrange sono solo un esempio) oppure resa la logica della successione dei teoremi e delle definizioni in maniera discorsiva, provando a pensare di parlare con il lettore. Il fatto è che questo renderebbe il tuo scritto più personale dando il TUO punto di vista e rendendolo differente!
Mi pare che le tue "note" siano un manuale un poco ascetico e credo che manchi un poca di discorsività per chiarire i punti più ostici. Per esempio il senso di alcuni teoremi potrebbe essere commentato (Sylow, Lagrange sono solo un esempio) oppure resa la logica della successione dei teoremi e delle definizioni in maniera discorsiva, provando a pensare di parlare con il lettore. Il fatto è che questo renderebbe il tuo scritto più personale dando il TUO punto di vista e rendendolo differente!
"Lord K":Hai proprio ragione, infatti mi rendo conto che uno dei miei limiti e' che do' per scontati i miei pensieri. Cerchero' certamente di inserire il mio punto di vista. Grazie, se hai altri suggerimenti dimmelo, anche critiche, non fare complimenti!
Mi pare che le tue "note" siano un manuale un poco ascetico e credo che manchi un poca di discorsività per chiarire i punti più ostici. Per esempio il senso di alcuni teoremi potrebbe essere commentato (Sylow, Lagrange sono solo un esempio) oppure resa la logica della successione dei teoremi e delle definizioni in maniera discorsiva, provando a pensare di parlare con il lettore. Il fatto è che questo renderebbe il tuo scritto più personale dando il TUO punto di vista e rendendolo differente!
nel preambolo
\hipenation{car-lo-al-ber-to}
oppure devi usare il vocabolario giusto. Mi sono accorto nello scrivere la mia tesi che avevo scritto male il vocabolario, e dava un sacco di problemi di sillabazione. Una volta aggiustato è stato tutto perfetto. Anyway tutte le risposte sono nell' "Arte" !
\hipenation{car-lo-al-ber-to}
oppure devi usare il vocabolario giusto. Mi sono accorto nello scrivere la mia tesi che avevo scritto male il vocabolario, e dava un sacco di problemi di sillabazione. Una volta aggiustato è stato tutto perfetto. Anyway tutte le risposte sono nell' "Arte" !
"Gaal Dornick":Lo so, infatti consulto sempre l' "Arte" per avere risposte ai miei dubbi. Ma non ho ancora trovato un metodo che mi permetta di correggere le sillabazioni automaticamente senza dover sillabare ogni singola parola che si spezza.
tutte le risposte sono nell' "Arte" !
Per la tua tesi hai corretto le sillabazioni solo alla fine?
Ho controllato. Semplicemente usavo \hyphenation{in-co-gni-te} se mancava una parola.
Ma poi mi sono accorto che bastava mettere
\usepackage[italian]{babel}
controllando di avere il vocabolario giusto, che si reperisce in modi diversi a seconda del programma..Io ho usato il Led, e avevo sbagliato a impostarlo, perciò mi dava molti errori di sillabazione. Una volta aggiustato questo, non ho più avuto problemi.
Ma poi mi sono accorto che bastava mettere
\usepackage[italian]{babel}
controllando di avere il vocabolario giusto, che si reperisce in modi diversi a seconda del programma..Io ho usato il Led, e avevo sbagliato a impostarlo, perciò mi dava molti errori di sillabazione. Una volta aggiustato questo, non ho più avuto problemi.
Mi fa piacere darti un mio parere, ma non vorrei sembrare bacchettone 
, vorrei solo darti una mano...
Pag.6 Definizione 2: cosa intendi per "prodotto"??? Qui dai per scontata una notazione moltiplicativa tipica ma da nessuna parte lo hai specificato, un lettore inesperto potrebbe non comprendere che quel "prodotto di $g$ con se stesso " è una iterazione dell'operazione interna.
Pag.6 Esercizio 2: citi la bella funzione di Eulero, forse sarebbe utile specificarne quantomeno il modo di calcolarlo.
Pag.12: qui parli di alcuni risultati di teoria dei numeri, perchè non far vedere che i risultati sono gli stessi ma che usano strumenti palesemente diversi?
Pag.13 Definizione 11: cos'è un supporto? O meglio, dove è definito cosa è un supporto?
Pag.14 Esempio: Scrivi: "I sottogruppi normali sono esattamente i sottogruppi stabili rispetto a tale azione"... non è chiaro cosa significhi essere stabile...
Per ora mi fermo alla conclusione delle azioni di gruppo. Denoto che hai una certa "fretta" di arrivare da qualche parte, la parte riguardante le azioni di gruppo di solito si affronta dopo aver ben macinato le strutture di gruppo e a mio parere sono parecchio pesanti sia di notazione che di vocaboli propri poco mnemonici, ti consiglierei di fare qualche esempio in più (tipo risolvi alcuni degli esercizi che tu stesso proponi) e di spiegarlo nei minimi dettagli. L'argomento ne merita molti, vista la sua potenza!
A presto per il resto!
, vorrei solo darti una mano...Pag.6 Definizione 2: cosa intendi per "prodotto"??? Qui dai per scontata una notazione moltiplicativa tipica ma da nessuna parte lo hai specificato, un lettore inesperto potrebbe non comprendere che quel "prodotto di $g$ con se stesso " è una iterazione dell'operazione interna.
Pag.6 Esercizio 2: citi la bella funzione di Eulero, forse sarebbe utile specificarne quantomeno il modo di calcolarlo.
Pag.12: qui parli di alcuni risultati di teoria dei numeri, perchè non far vedere che i risultati sono gli stessi ma che usano strumenti palesemente diversi?
Pag.13 Definizione 11: cos'è un supporto? O meglio, dove è definito cosa è un supporto?
Pag.14 Esempio: Scrivi: "I sottogruppi normali sono esattamente i sottogruppi stabili rispetto a tale azione"... non è chiaro cosa significhi essere stabile...
Per ora mi fermo alla conclusione delle azioni di gruppo. Denoto che hai una certa "fretta" di arrivare da qualche parte, la parte riguardante le azioni di gruppo di solito si affronta dopo aver ben macinato le strutture di gruppo e a mio parere sono parecchio pesanti sia di notazione che di vocaboli propri poco mnemonici, ti consiglierei di fare qualche esempio in più (tipo risolvi alcuni degli esercizi che tu stesso proponi) e di spiegarlo nei minimi dettagli. L'argomento ne merita molti, vista la sua potenza!
A presto per il resto!
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