Non mi è chiara la logica sottostante questa dimostrazione come implicazione
Vorrei chiedere un gentile aiuto nell'interpretare questa proposizione:
il prof scrive che se ho una relazione binaria $R$ su $A$ (insieme) se R è sia simmetrica che antisimmetrica dati a e b in A vale sempre a=b.
Dimostrazione: aRb (ma essendo simmetrica) => aRb e bRa (ed essendo transitiva) => a=b, in definitiva: aRb =>a=b cvd
Quello che non capisco però è che per simmetria ho che per ogni a e b: aRb =>bRa (definizione), ma come giungo da questa implicazione a dire che aRb e bRa sia vera così da avere => a=b sempre soffisfatta?
aRb e bRa (ed essendo transitiva) => a=b in teroia questa è vera se l'antecedente è vera e il conseguente falso o se l'antecedente è falso e qualsiasi conseguente.
Non ho capito i passi logici
PROVO ad aggiungere una risposta in attesa di qualcno che passi
(ditemi se sbaglio perfavore)
forse il senso è che prendendo la tavola di verità notiamo che
aRb e bRa
V-----V
V-----F
F-----V
F-----F
Poiché l'implicazione aRb =>bRa è sempre vera (dall'hp di R simmetrica) abbiamo che la seconda riga non vale mai, quindi ci riduciamo ai casi
aRb e bRa
V-----V
F-----V
F-----F
Se studiamo aRb e bRa con i tre casi sopra garantiti dalla prima implicazione avremo
aRb e bRa
V
F
F
Infine
(aRb e bR a=> a=b)
V
V
V
Sempre vera poiché antisimmetrica?
Non ho però capito se questo studio sia corretto. Mi serve una mano davvero.
Grazie
il prof scrive che se ho una relazione binaria $R$ su $A$ (insieme) se R è sia simmetrica che antisimmetrica dati a e b in A vale sempre a=b.
Dimostrazione: aRb (ma essendo simmetrica) => aRb e bRa (ed essendo transitiva) => a=b, in definitiva: aRb =>a=b cvd
Quello che non capisco però è che per simmetria ho che per ogni a e b: aRb =>bRa (definizione), ma come giungo da questa implicazione a dire che aRb e bRa sia vera così da avere => a=b sempre soffisfatta?
aRb e bRa (ed essendo transitiva) => a=b in teroia questa è vera se l'antecedente è vera e il conseguente falso o se l'antecedente è falso e qualsiasi conseguente.
Non ho capito i passi logici
PROVO ad aggiungere una risposta in attesa di qualcno che passi
(ditemi se sbaglio perfavore)forse il senso è che prendendo la tavola di verità notiamo che
aRb e bRa
V-----V
V-----F
F-----V
F-----F
Poiché l'implicazione aRb =>bRa è sempre vera (dall'hp di R simmetrica) abbiamo che la seconda riga non vale mai, quindi ci riduciamo ai casi
aRb e bRa
V-----V
F-----V
F-----F
Se studiamo aRb e bRa con i tre casi sopra garantiti dalla prima implicazione avremo
aRb e bRa
V
F
F
Infine
(aRb e bR a=> a=b)
V
V
V
Sempre vera poiché antisimmetrica?
Non ho però capito se questo studio sia corretto. Mi serve una mano davvero.
Grazie
Risposte
"smartword":Questo è falso. Se $A$ è un qualsiasi insieme, la relazone di uguaglianza su $A$ è simmetrica e antisimmetrica, ma non è necessariamente vero che $a=b$ per ogni $a,b in A$. Per esempio puoi prendere $A={1,2}$.
se ho una relazione binaria $R$ su $A$ (insieme) se R è sia simmetrica che antisimmetrica dati a e b in A vale sempre a=b.
Sì, hai ragione perché l'ho scritta male, perdonami.
Il professore cito dice: Se una relazione R su un insieme Aè contemporaneamente simmetrica e antisimmetrica allora a=b.
Riscrivendola a mio modo, ho in effetti compiuto un errore su ciò che volevo intendere, forse scritta così è corretta: se ho una relazione binaria R su A (insieme) se R è sia simmetrica che antisimmetrica dati a e b in A SE aRb ALLORA vale sempre a=b
Ora la domanda sopra, col mio tentativo di soluzione, spero prenda forma
Grazie
Il professore cito dice: Se una relazione R su un insieme Aè contemporaneamente simmetrica e antisimmetrica allora a=b.
Riscrivendola a mio modo, ho in effetti compiuto un errore su ciò che volevo intendere, forse scritta così è corretta: se ho una relazione binaria R su A (insieme) se R è sia simmetrica che antisimmetrica dati a e b in A SE aRb ALLORA vale sempre a=b
Ora la domanda sopra, col mio tentativo di soluzione, spero prenda forma
Grazie
"smartword":
come giungo da questa implicazione a dire che aRb e bRa sia vera così da avere => a=b sempre soffisfatta?
Perché se
$P$
è vera e
$P => Q$
è vera allora
$Q$
è vera.
Per definizione di implicazione logica.
Ok quindi è un modus ponens?
Perché io avevo inteso la dimostrazione
come implicazioni materiali. Ossia pensavo di dover mostrare che ogni singola implicazione materiale => con la sua tavola di verità desse valore vero. invece è una implicazione logica in questo caso?
Il fatto è che faccio sempre confusione con 'ste cose, nel senso che non mi è stata chiarita del tutto bene la differenza equando utilizzarel. Faccio un esempio: se io volessi mostrare che un insieme A è sottoinsieme di B mostro che $x in A => x in B$ e in questo caso => è una implicazione materiale.
Quindi non capisco quando struttare una o l'altra nelle dimostrazioni.
Devo cercare di mettereordine alle idee. Ti ringrazio.
Perché io avevo inteso la dimostrazione
Dimostrazione: aRb (ma essendo simmetrica) => aRb e bRa (ed essendo transitiva) => a=b, in definitiva: aRb =>a=b cvd
come implicazioni materiali. Ossia pensavo di dover mostrare che ogni singola implicazione materiale => con la sua tavola di verità desse valore vero. invece è una implicazione logica in questo caso?
Il fatto è che faccio sempre confusione con 'ste cose, nel senso che non mi è stata chiarita del tutto bene la differenza equando utilizzarel. Faccio un esempio: se io volessi mostrare che un insieme A è sottoinsieme di B mostro che $x in A => x in B$ e in questo caso => è una implicazione materiale.
Quindi non capisco quando struttare una o l'altra nelle dimostrazioni.
Devo cercare di mettereordine alle idee. Ti ringrazio.
Purtroppo non so cosa intendi con implicazione materiale.
Guarda, in realtà ci sono arrivato per vie traverse nel senso che in algebra 1 che sto seguendo è stata introdotta la logica molto base e trovando delle difficoltà ho cercato di approfondire da solo.
Ho trovato questo testo https://people.dm.unipi.it/dinasso/LM/LM2015-1.0.pdf e ho preso da qui la nomenclatura
In particolare a pag 16-17:
Insomma non ci sto più ben capendo nulla perché in certe dimostrazioni mi sembra usi l'implicazione materiale (ossia quella intesa come connettivo logico che ha una sua tavola di verità) mentre in altre come implicazione logica (ossia semantica dato p vero allora q vero)
Ho trovato questo testo https://people.dm.unipi.it/dinasso/LM/LM2015-1.0.pdf e ho preso da qui la nomenclatura
In particolare a pag 16-17:
E importante osservare che l’implicazione→(chiamata ancheimplicazione materiale) e l’implicazione logica|= sono sostanzialmentediverse. La prima e un simbolo che fa parte del linguaggio formale, dunque e un oggetto puramente sintattico. La seconda invece e di naturasemantica, ed e una relazione “metalinguistica” (cioe non appartenente al linguaggio formale) che puo sussistere tra formule proposizionali.
Insomma non ci sto più ben capendo nulla perché in certe dimostrazioni mi sembra usi l'implicazione materiale (ossia quella intesa come connettivo logico che ha una sua tavola di verità) mentre in altre come implicazione logica (ossia semantica dato p vero allora q vero)
Io la intendo sempre come connettivo logico con la sua tavola di verità.
Ok perfetto. L'importante era capirsi 
però allora non capisco come fare la tavola di verità da te suggerita nel primo messaggi. Intendo dire che io ho
aRb => bRa (def simmetria)
poi ho: aRb e bRa => a=b (def antisimmetria)
Ora lo studio con le tavole non dovrebbe essere quello del mio primo messaggio?
Riporto per comodità di lettura:
Insomma, come trovo la tavoladi verità per mostrare quanto hai affermato? Vorrei capirlo
però allora non capisco come fare la tavola di verità da te suggerita nel primo messaggi. Intendo dire che io ho
aRb => bRa (def simmetria)
poi ho: aRb e bRa => a=b (def antisimmetria)
Ora lo studio con le tavole non dovrebbe essere quello del mio primo messaggio?
Riporto per comodità di lettura:
forse il senso è che prendendo la tavola di verità notiamo che
aRb bRa aRb =>bRa
V-----V------V
V-----F------F
F-----V------V
F-----F------V
Poiché l'implicazione aRb =>bRa è sempre vera (dall'hp di R simmetrica) abbiamo che la seconda riga non vale mai, quindi ci riduciamo ai casi
aRb bRa
V-----V
F-----V
F-----F
Se studiamo aRb e bRa con i tre casi sopra garantiti dalla prima implicazione avremo
aRb e bRa
V
F
F
Infine
(aRb e bR a=> a=b)
V
V
V
Sempre vera poiché antisimmetrica?
Insomma, come trovo la tavoladi verità per mostrare quanto hai affermato? Vorrei capirlo
Devi dimostrare che aRb implica a=b. È un esercizio base. Non capisco quale sia la difficoltà.
Si infatti è base, per questo vorrei capire cosa non riesco a comprendere. Sono proprio agli inizi, in ongni caso.
Devo dimostrare quanto dici, e vorrei capire con le tavole di verità dell'implicazione perché valgano i vari passaggi:
aRb => aRb e bRa => a=b
siccome non riesco a capire perché vale quella "catena"
Partendo dalle ipotesi.
- aRb => bRa (def simmetria)
-aRb e bRa => a=b (def antisimmetria)
In particolare mi areno sul perché se aRb => bRa allora avrò aRb e bRa vera che implicherà => a=b.
Vorrei capirlo con le tavole di verità (dato che potrei avere un antecedente falso e un conseguente vero che rende vera => a sua volta, comeda tavola dell'implicazione, perché non teniamo conto di questo fatto?), come mostravo, ma non mi riesce. Era questa la domanda stupida
Il mio dubbio è di mera logica.
Devo dimostrare quanto dici, e vorrei capire con le tavole di verità dell'implicazione perché valgano i vari passaggi:
aRb => aRb e bRa => a=b
siccome non riesco a capire perché vale quella "catena"
Partendo dalle ipotesi.
- aRb => bRa (def simmetria)
-aRb e bRa => a=b (def antisimmetria)
In particolare mi areno sul perché se aRb => bRa allora avrò aRb e bRa vera che implicherà => a=b.
Vorrei capirlo con le tavole di verità (dato che potrei avere un antecedente falso e un conseguente vero che rende vera => a sua volta, comeda tavola dell'implicazione, perché non teniamo conto di questo fatto?), come mostravo, ma non mi riesce. Era questa la domanda stupida
Il mio dubbio è di mera logica.
Supponiamo (1) aRb.
Allora (2) bRa perché R è simmetrica.
Abbiamo quindi che (1) e (2) sono vere, quindi a=b perché R è antisimmetrica.
Più di così non so dirti.
Allora (2) bRa perché R è simmetrica.
Abbiamo quindi che (1) e (2) sono vere, quindi a=b perché R è antisimmetrica.
Più di così non so dirti.
Ti ringrazio, non so perchéma ero convinto di poterci anche arrivare a livello di tavole di verità.
Ma curiosità.Mi stavo ponendo un esempio simile su queste prime pagine di algebra. Io vorrei dimostrare che dati A e B insiemi.
Voglio dimostrare che c'e transitività nellarelazione di inclusione cioè: se A è incluso in B e B è incluso in C allora A è incluso in C, cioè per definizione di inclusione
$(x in A =>x in B ∧ x in B => x in C) => (x in A => x in C)$
Per svolgere tale dimostrazione parafrasando quello che mi hai spiegato è corretto dire:
siccome A è incluso in B abbiamo che $x in A =>x in B$ vera e $x in A$ vera... quindi $x in B$ vera
inoltre so che $x in B =>x in C$ vera e $x in B$ vera... quindi $x in C$ vera
Ora $x in A$ implica che x sia in B, automaticamente è quindi vera anche che se x è in B allora x è in C, quindi $x in A$ implica $x in C$?
Altrimenti come sarebbe corretto fare il ragionamento? Se ho sbagliato di nuovo
edit: typo
Ma curiosità.Mi stavo ponendo un esempio simile su queste prime pagine di algebra. Io vorrei dimostrare che dati A e B insiemi.
Voglio dimostrare che c'e transitività nellarelazione di inclusione cioè: se A è incluso in B e B è incluso in C allora A è incluso in C, cioè per definizione di inclusione
$(x in A =>x in B ∧ x in B => x in C) => (x in A => x in C)$
Per svolgere tale dimostrazione parafrasando quello che mi hai spiegato è corretto dire:
siccome A è incluso in B abbiamo che $x in A =>x in B$ vera e $x in A$ vera... quindi $x in B$ vera
inoltre so che $x in B =>x in C$ vera e $x in B$ vera... quindi $x in C$ vera
Ora $x in A$ implica che x sia in B, automaticamente è quindi vera anche che se x è in B allora x è in C, quindi $x in A$ implica $x in C$?
Altrimenti come sarebbe corretto fare il ragionamento? Se ho sbagliato di nuovo
edit: typo
Sì è giusto quello che dici. Se $x in A$ allora $x in B$ perché $A$ è incluso in $B$. Siccome $B$ è incluso in $C$, segue $x in C$. Siccome questo vale per ogni $x in A$, segue che $A$ è incluso in $C$.
Ma questo lo puoi formulare in vari modi, puoi scegliere parole diverse per dirlo o usare tabelle, l'importante è che sia corretto. Cioè se io dico
"Se x sta in A allora sta in B quindi sta in C. Quindi A è incluso in C"
Qui non ho usato grandi giri di parole e sono stato molto sintetico senza ricordare le ipotesi ad ogni passo, ma non si può dire che la dimostrazione sia scorretta. È solo scritta in modo strano.
Ma questo lo puoi formulare in vari modi, puoi scegliere parole diverse per dirlo o usare tabelle, l'importante è che sia corretto. Cioè se io dico
"Se x sta in A allora sta in B quindi sta in C. Quindi A è incluso in C"
Qui non ho usato grandi giri di parole e sono stato molto sintetico senza ricordare le ipotesi ad ogni passo, ma non si può dire che la dimostrazione sia scorretta. È solo scritta in modo strano.
Ciò che usualmente viene chiamato "implicazione materiale" è il connettivo \(\to\), che è un simbolo del linguaggio oggetto.
Ciò che usualmente viene chiamato "implicazione logica" è un concetto metateorico, espresso dal simbolo \(\models\) che è metalinguistico e non linguistico.
Nell'ambito della logica del primo ordine, i due concetti sono collegati: \(P \to Q\) se e solo se \(P \models Q\).
Quando in matematica si dimostra un teorema, si dimostra un \(\models\), che è però collegato ad un \(\to\).
Le tavole di verità servono a definire semanticamente i connettivi.
Il modus ponens è una regola di inferenza che è collegata alla omonima tautologia, dove una tautologia è una formula sempre vera.
Ciò che usualmente viene chiamato "implicazione logica" è un concetto metateorico, espresso dal simbolo \(\models\) che è metalinguistico e non linguistico.
Nell'ambito della logica del primo ordine, i due concetti sono collegati: \(P \to Q\) se e solo se \(P \models Q\).
Quando in matematica si dimostra un teorema, si dimostra un \(\models\), che è però collegato ad un \(\to\).
Le tavole di verità servono a definire semanticamente i connettivi.
Il modus ponens è una regola di inferenza che è collegata alla omonima tautologia, dove una tautologia è una formula sempre vera.
Grazie per le spiegazioni a entrambi
@G.D. ho compreso la tua spiegazione, il punto è che se coincidono ledue implicazioni nella logica del primo ordine mi ritorna il dubbio del perché non riesca ad arrivarci tramite tavole di verita come scrivevo prima in questo messaggio: https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 5#p8499652
In teoria non sarebbe del tutto sbagliato provarci, perché potrei anche vederla come implicazione materiale (cioè connetivo logico) che ha la sua bella tavola di verità, no? Posso chiederti cosa ho sbagliato in quel messaggio del link?
Vorrei compilare delle tavole corrette per mostrare il processo logico della implicazione materiale seguita.
Grazie mille G.D.
@G.D. ho compreso la tua spiegazione, il punto è che se coincidono ledue implicazioni nella logica del primo ordine mi ritorna il dubbio del perché non riesca ad arrivarci tramite tavole di verita come scrivevo prima in questo messaggio: https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 5#p8499652
In teoria non sarebbe del tutto sbagliato provarci, perché potrei anche vederla come implicazione materiale (cioè connetivo logico) che ha la sua bella tavola di verità, no? Posso chiederti cosa ho sbagliato in quel messaggio del link?
Vorrei compilare delle tavole corrette per mostrare il processo logico della implicazione materiale seguita.
Grazie mille G.D.
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