$nn$ distributiva rispetto a $Delta$
"Sergio":
A nn ((B uu C)-(B nn C)) = A nn (B Delta C)$
Grazie!
Il punto a9 non fa una piega, ma sono perplessa sull'ultima uguaglianza, mi sembra che manchi un passaggio intermedio, ci devo pensare un po' su perchè io faccio la verifica di questi passaggio con i tre simboli logici fondamentali: and, or e not e per la differenza simmetrica sono un poco laboriosi. Logicamente l'uguaglianza non è immediata, ma magari mi incasino io.
Ciao
Risposte
Per quanto possa contare il mio parere, la mia risposta è nì.
Le dimostrazioni che hai fornito sono molto intuitive e giocano molto su ciò che l'intuizione suggerisce a proposito del significato intuitivo delle operazioni insiemistiche coinvolte.
Mi spiego meglio: prendiamo per esempio la prima dimostrazione; sfruttando l'intuizione hai legato direttamente l'appartenenza di un oggetto $x$ all'insieme $A \cap (B \Delta C)$ con l'appartenenza di questo stesso oggetto all'insieme $(A \cap B) \Delta (A \cap C)$. Hai un po fatto come si fa nella dimostrazione intuitiva della commutatività dell'intersezione, con la differenza che ciò che è reso evidente dall'intuizione nella dimostrazione della commutatività dell'intersezione è anche formalmente evidente per mezzo della commutatività della congiunzione, mentre in queste due tue prove formalmente non sussiste questa evidenza: in pratica, intuitivamente sei passato direttamente alle relazioni di inclusione che giustificano l'assunzione della tesi.
Io avrei fatto così:
$(A \cap B) \Delta (A \cap C) \stackrel{(1)}[=] [(A \cap B) \cup (A \cap C)] - [(A \cap B) \cap (A \cap C)] \stackrel{(2)}[=] [A \cap (B \cup C)] - [A \cap (B \cap C)]$
(1) Per definizione di differenza simmetrica
(2) Per la proprietà distributiva dell'intersezione sull'unione e della proprietà associativa dell'intersezione
Bisogna dunque provare che $\forall x, x \in [A \cap (B \cup C)] - [A \cap (B \cap C)] <=> x \in A \cap (B \Delta C)$.
$x \in [A \cap (B \cup C)] - [A \cap (B \cap C)] \ \ \stackrel{(3)}[<=>] \ \ x \in A \ \wedge \ x \in (B \cup C) \ \wedge \ \not [x \in A \ \wedge \ x \in (B \cap C)] \ \ \stackrel{(4)}[<=>] \ \ x \in A \ \wedge \ [(x \in (B \cup C) \ \wedge \ \not(x \in A)) \ vv \ (x \in (B \cup C) \ \wedge \ \not(x \in (B \cap C))] \ \ \stackrel{(5)}[<=>]$
$\stackrel{(5)}[<=>] \ \ x \in A \ \wedge \ [(x \in (B \cup C) \ \wedge \ \not(x \in A)) \ vv \ (x \in ((B \cup C) - (B \cap C))] \ \ \stackrel{(6)}[<=>] \ \ [x \in A \ \wedge \ x \ \in (B \cup C) \wedge \not(x \in A)] \ vv \ [x \in A \ \wedge x \in ((B \cup C) - (B \cap C))] \ \ \stackrel{(7)}[<=>] \ \ [F] \ vv \ x \in A \cap (B \Delta C) \ \ \stackrel{(8)}[<=>] \ \ x \in A \cap (B \Delta C)$
(3) Definizione di intersezione e differenza
(4) Legge di De Morgan e distributività dell'intersezione sull'unione
(5) Definizione di differenza
(6) Distributività dell'intersezione sull'unione
(7) Legge di contraddizione
(8) Legge di cancellazione della disgiunzione inclusiva
Quindi intuitivamente sì, formalmente no: donde il nì iniziale.
Il tutto, ovviamente, secondo il mio modestissimo parere. Pertanto, sperando di non avere detto troppe scemenze, se qualcuno ha da bacchettarmi le mani, si accettano bacchettature.
Le dimostrazioni che hai fornito sono molto intuitive e giocano molto su ciò che l'intuizione suggerisce a proposito del significato intuitivo delle operazioni insiemistiche coinvolte.
Mi spiego meglio: prendiamo per esempio la prima dimostrazione; sfruttando l'intuizione hai legato direttamente l'appartenenza di un oggetto $x$ all'insieme $A \cap (B \Delta C)$ con l'appartenenza di questo stesso oggetto all'insieme $(A \cap B) \Delta (A \cap C)$. Hai un po fatto come si fa nella dimostrazione intuitiva della commutatività dell'intersezione, con la differenza che ciò che è reso evidente dall'intuizione nella dimostrazione della commutatività dell'intersezione è anche formalmente evidente per mezzo della commutatività della congiunzione, mentre in queste due tue prove formalmente non sussiste questa evidenza: in pratica, intuitivamente sei passato direttamente alle relazioni di inclusione che giustificano l'assunzione della tesi.
Io avrei fatto così:
$(A \cap B) \Delta (A \cap C) \stackrel{(1)}[=] [(A \cap B) \cup (A \cap C)] - [(A \cap B) \cap (A \cap C)] \stackrel{(2)}[=] [A \cap (B \cup C)] - [A \cap (B \cap C)]$
(1) Per definizione di differenza simmetrica
(2) Per la proprietà distributiva dell'intersezione sull'unione e della proprietà associativa dell'intersezione
Bisogna dunque provare che $\forall x, x \in [A \cap (B \cup C)] - [A \cap (B \cap C)] <=> x \in A \cap (B \Delta C)$.
$x \in [A \cap (B \cup C)] - [A \cap (B \cap C)] \ \ \stackrel{(3)}[<=>] \ \ x \in A \ \wedge \ x \in (B \cup C) \ \wedge \ \not [x \in A \ \wedge \ x \in (B \cap C)] \ \ \stackrel{(4)}[<=>] \ \ x \in A \ \wedge \ [(x \in (B \cup C) \ \wedge \ \not(x \in A)) \ vv \ (x \in (B \cup C) \ \wedge \ \not(x \in (B \cap C))] \ \ \stackrel{(5)}[<=>]$
$\stackrel{(5)}[<=>] \ \ x \in A \ \wedge \ [(x \in (B \cup C) \ \wedge \ \not(x \in A)) \ vv \ (x \in ((B \cup C) - (B \cap C))] \ \ \stackrel{(6)}[<=>] \ \ [x \in A \ \wedge \ x \ \in (B \cup C) \wedge \not(x \in A)] \ vv \ [x \in A \ \wedge x \in ((B \cup C) - (B \cap C))] \ \ \stackrel{(7)}[<=>] \ \ [F] \ vv \ x \in A \cap (B \Delta C) \ \ \stackrel{(8)}[<=>] \ \ x \in A \cap (B \Delta C)$
(3) Definizione di intersezione e differenza
(4) Legge di De Morgan e distributività dell'intersezione sull'unione
(5) Definizione di differenza
(6) Distributività dell'intersezione sull'unione
(7) Legge di contraddizione
(8) Legge di cancellazione della disgiunzione inclusiva
Quindi intuitivamente sì, formalmente no: donde il nì iniziale.
Il tutto, ovviamente, secondo il mio modestissimo parere. Pertanto, sperando di non avere detto troppe scemenze, se qualcuno ha da bacchettarmi le mani, si accettano bacchettature.
Salve a tutti 
Volevo dare anch'io il mio parere. Sergio, il tuo punto a) mi risulta chiarissimo, ma il punto b) è un po' oscuro. Diciamo che i passaggi 'intuitivi' che fai non mi risultano con sufficiente chiarezza.
Poi vorrei proporre una soluzione 'alternativa'.
Date per note le seguenti:
i) $nn$ distributiva rispetto a $uu$
ii) $A Delta B = (A-B) uu (B-A)$
iii) $(A nn B)-C = A nn (B-C)$
abbiamo allora che:
$A nn (B Delta C) = A nn ((B-C) uu (C-B)) = (A nn (B-C)) uu (A nn (C-B)) = ((A nn B)-C) uu ((A nn C)-B) = ((A nn B)-(A nn C)) uu ((A nn C)-(A nn B)) = (A nn B) Delta (A nn C)$
Volevo dare anch'io il mio parere. Sergio, il tuo punto a) mi risulta chiarissimo, ma il punto b) è un po' oscuro. Diciamo che i passaggi 'intuitivi' che fai non mi risultano con sufficiente chiarezza.
Poi vorrei proporre una soluzione 'alternativa'.
Date per note le seguenti:
i) $nn$ distributiva rispetto a $uu$
ii) $A Delta B = (A-B) uu (B-A)$
iii) $(A nn B)-C = A nn (B-C)$
abbiamo allora che:
$A nn (B Delta C) = A nn ((B-C) uu (C-B)) = (A nn (B-C)) uu (A nn (C-B)) = ((A nn B)-C) uu ((A nn C)-B) = ((A nn B)-(A nn C)) uu ((A nn C)-(A nn B)) = (A nn B) Delta (A nn C)$
"Sergio":
Innanzi tutto ti ringrazio per la risposta (mi rendo conto che, per dirla alla Patrone, non è un argomento molto appealing).
Non ho capito, però, a quale "ultima uguaglianza" ti riferisci.
Non avevo visto una delle parentesi e nell'esercizio che ho risolto con i simboli logici non l'avevo messa,e per questo non mi tornava. Ti avevo detto che mi serviva un po' di tempo per pensarci e infatti mi ero incasinata io. Quindi l'esercizio è ineccepibile. Scusa
@Martino
Come sempre, una bella dimostrazione.
Come sempre, una bella dimostrazione.
E' sempre un piacere poter essere d'aiuto.
Buon lavoro e buon fine settimana.
P.S.
Anche io spesso mi esprimo a "parole"
Buon lavoro e buon fine settimana.
P.S.
Anche io spesso mi esprimo a "parole"
"Sergio":
@Martino: allora, mi pare che l'"osso duro" (faccine sorridenti a non finire...) sia tu.
C'è un punto della tua dimostrazione che mi lascia un po' perplesso (e mi interessa molto).
Andiamo con ordine:
$A nn (B Delta C) = A nn ((B-C) uu (C-B)) =...$ non fa una piega
$...= (A nn (B-C)) uu (A nn (C-B)) =...$ come sopra
$...= ((A nn B)-C) uu ((A nn C)-B) =...$ perfetto
$...= ((A nn B)-(A nn C)) uu ((A nn C)-(A nn B)) =...$ ALT!
Se fosse (saltando il passaggio intermedio e considerando solo il primo operando dell'unione) $(A nn (B-C))=((A nn B)-(A nn C))$, allora l'intersezione sarebbe distributiva rispetto alla differenza, cosa che non includi tra quelle che dai per note.
Quindi per dimostrare che l'intersezione è distributiva rispetto alla differenza simmetrica si deve prima dimostrare che è distributiva rispetto alla differenza. Giusto?
Provo a ragionare in termini di connettivi logici (come, mi pare, suggeriva WiZaRd).
Se $x\in A nn (B-C)$, allora $(x\in A) ^^ ((x \in B) ^^ (x \notin C))$, ovvero, togliendo le parentesi superflue, $(x\in A) ^^ (x \in B) ^^ (x \notin C)$; l'ultima proposizione è sicuramente equivalente a $((x\in A)^^(x\in B))^^((x\in A)^^(x \notin C))$.
Si dovrebbe però dimostrare che questa è equivalente a: $((x\in A)^^(x\in B))^^\not((x\in A)^^(x \in C))$.
In generale, $(x\in A)^^(x \notin C)$ non è equivalente a $\not((x\in A)^^(x \in C))$, perché la seconda è vera anche quando $x\inA$ è falsa, ma le possiamo considerare equivalenti in quanto $x\in A$ è necessaria perché $((x\in A)^^(x\in B))^^...$ sia vera.
Che dici, fila?
Indubbiamente fila.
Però se mi permetti
non mi pare di aver omesso cose 'date per note' nella mia dimostrazione. La sola cosa che ho lasciato un po' al caso è che se A, B, C sono insiemi allora(*) $(A nn B)-C = (A nn B)-(A nn C)$.
Ciò segue dalla definizione di differenza insiemistica: abbiamo infatti che se X è un insieme di cui A e B sono due sottoinsiemi, allora
a) Se $A subseteq B$ definiamo $B-A = \{b \in B\ |\ b \not \in A\}$
b) Altrimenti definiamo $B-A = B-(A nn B)$
La distinzione che ho fatto tra i casi a) e b) non è dettata da esigenze formali (la definizione in (a) funzionerebbe anche se non fosse vero che $A subseteq B$) ma da esigenze 'intuitive': mi piace pensare alla differenza come ad una operazione 'pulita': togliamo da un certo insieme un suo certo sottoinsieme.
Ne deduco che l'uguaglianza (*) si può spiegare così: abbiamo che
$(A nn B)-C = (A nn B)-(A nn B nn C)$
$(A nn B)-(A nn C) = (A nn B)-(A nn B nn A nn C) = (A nn B)-(A nn B nn C)$.
Dall'uguaglianza degli ultimi membri segue l'uguaglianza dei primi.
Lieto di aver contribuito 
Ciao.
Ciao.
In origine ho sentito parlare di questa distinzione, che ho approvato ed adottato. Inoltre di solito metto un 'c' ad esponente per denotare il complemento se l'insieme 'grande' rispetto a cui facciamo il complemento è sottinteso: $A^c$.
Uso questa distinzione perché con essa è spesso più facile districarsi nelle formule che coinvolgono la differenza insiemistica, potendo modificare a volte proficuamente gli insiemi coinvolti senza alterare il risultato.
Uso questa distinzione perché con essa è spesso più facile districarsi nelle formule che coinvolgono la differenza insiemistica, potendo modificare a volte proficuamente gli insiemi coinvolti senza alterare il risultato.
A mio modestissimo avviso, tutto ok 
Solo una piccola cosa.
Non so assolutamente niente di niente di logica, ma ritengo più giusto indicare l'equiveridicità delle formule proposizionali son $\equiv$ anziché con $=$. Ovviamente da $A \equiv B$ discende poi che $A <=> B$ è una tautologia.
Solo una piccola cosa.
Non so assolutamente niente di niente di logica, ma ritengo più giusto indicare l'equiveridicità delle formule proposizionali son $\equiv$ anziché con $=$. Ovviamente da $A \equiv B$ discende poi che $A <=> B$ è una tautologia.
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