Negazione formula
Buon pomeriggio potete aiutarmi a negare questa formula:
x > 1 ∧ (∀a ∈ Z)(y > 3 ⇒ a diverso 4).
Negazione: (x>1) v ($ EE alpha in Z $)(y>3^a=4)
potete aiutarmi a correggerla?
Grazie in anticipo
x > 1 ∧ (∀a ∈ Z)(y > 3 ⇒ a diverso 4).
Negazione: (x>1) v ($ EE alpha in Z $)(y>3^a=4)
potete aiutarmi a correggerla?
Grazie in anticipo
Risposte
Cosa non ti torna "a livello di logica"?
Ripeto, in questo thread non ci interessa il valore di verità di quella proposizione ma solo la costruzione della sua negazione.
Ripeto, in questo thread non ci interessa il valore di verità di quella proposizione ma solo la costruzione della sua negazione.
facciamo questo esempio che già ha il pregio di essere una proposizione sensata , nonostante sia molto somigliante alla schifezza scritta nel testo
$foralla$ giocata al lotto ,puntata $y>3$ euro $ rArr $ $a$ giocata $!=$ vittoria
questa proposizione è falsa , quindi la sua negazione è vera
secondo il ragionamento che è stato fatto in questa discussione , siccome è comparso un "per ogni", nella negazione dovrà comparire un "esiste"(sara l'ha detto più volte)
quindi,sempre secondo questo ragionamento, la proposizione esiste $a$ giocata,$y>3$ e $a=$ vittoria è la sua negazione e quindi è vera( sara ha dato proprio una risposta di questo tipo: esiste $a in Z ,y>3$ e $a=4$)
beh, ci sono persone che con questo ragionamento si sono rovinate, magari giocando non 3euro ma 30 euro su un terno per un numero elevatissimo di volte ( e che cavolo, ci sarà una volta in cui questi maledetti tre numeri usciranno)
la proposizione vera è $y>3$ euro non implica che $a$ sia diverso da vittoria (ma la vittoria potrebbe comunque non arrivare mai)
facciamo un esempio per il quale è corretto mettere "esiste" nella negazione
$forallainZ,y>3 rArr y>a$ palesemente falsa
la sua negazione è esiste $ainZ:y<=a$
p.s: scrivendo "a livello di logica " volevi essere ironico?
$foralla$ giocata al lotto ,puntata $y>3$ euro $ rArr $ $a$ giocata $!=$ vittoria
questa proposizione è falsa , quindi la sua negazione è vera
secondo il ragionamento che è stato fatto in questa discussione , siccome è comparso un "per ogni", nella negazione dovrà comparire un "esiste"(sara l'ha detto più volte)
quindi,sempre secondo questo ragionamento, la proposizione esiste $a$ giocata,$y>3$ e $a=$ vittoria è la sua negazione e quindi è vera( sara ha dato proprio una risposta di questo tipo: esiste $a in Z ,y>3$ e $a=4$)
beh, ci sono persone che con questo ragionamento si sono rovinate, magari giocando non 3euro ma 30 euro su un terno per un numero elevatissimo di volte ( e che cavolo, ci sarà una volta in cui questi maledetti tre numeri usciranno)
la proposizione vera è $y>3$ euro non implica che $a$ sia diverso da vittoria (ma la vittoria potrebbe comunque non arrivare mai)
facciamo un esempio per il quale è corretto mettere "esiste" nella negazione
$forallainZ,y>3 rArr y>a$ palesemente falsa
la sua negazione è esiste $ainZ:y<=a$
p.s: scrivendo "a livello di logica " volevi essere ironico?
E dagli.
NON è questo il soggetto del thread: l'esercizio chiede SOLAMENTE la costruzione della negazione della proposizione principale. Punto.
Nessuna valutazione del "senso" di essa (che NON è necessario per raggiungere l'obiettivo richiesto).
A mio parere, insistere su questo crea solo dubbi e confusione all'OP, IMHO.
Eventualmente, se ritieni l'argomento interessante, apri un'altra discussione in merito.
No, non volevo essere ironico.
Semplicemente, "logicamente", cosa ritieni non corretto nella mia costruzione della negazione?
Cordialmente, Alex
NON è questo il soggetto del thread: l'esercizio chiede SOLAMENTE la costruzione della negazione della proposizione principale. Punto.
Nessuna valutazione del "senso" di essa (che NON è necessario per raggiungere l'obiettivo richiesto).
A mio parere, insistere su questo crea solo dubbi e confusione all'OP, IMHO.
Eventualmente, se ritieni l'argomento interessante, apri un'altra discussione in merito.
No, non volevo essere ironico.
Semplicemente, "logicamente", cosa ritieni non corretto nella mia costruzione della negazione?
Cordialmente, Alex
se una proposizione è falsa la sua negazione, se è scritta in maniera corretta,è vera
col mio esempio ho dimostrato che una negazione come quella scritta da sara di una proposizione falsa non è scritta correttamente perchè non dà luogo ad una proposizione vera
se non va bene per una proposizione falsa non va bene in generale per qualsiasi tipo di proposizione di quel tipo,senza entrare nel merito
ho fatto anche un esempio nel quale è corretto mettere "esiste" nella negazione
col mio esempio ho dimostrato che una negazione come quella scritta da sara di una proposizione falsa non è scritta correttamente perchè non dà luogo ad una proposizione vera
se non va bene per una proposizione falsa non va bene in generale per qualsiasi tipo di proposizione di quel tipo,senza entrare nel merito
ho fatto anche un esempio nel quale è corretto mettere "esiste" nella negazione
Premesso che sul tuo esempio avrei qualcosa da ridire (ma NON è questo il thread), non so più come dirti che del "contenuto" delle varie proposizioni non ci interessa niente nel momento in cui si deve costruire "formalmente" la loro negazione.
E per fortuna che è così ... la costruzione e manipolazione delle varie proposizioni secondo le regole della logica non può e non deve dipendere dal loro contenuto, l'astrazione è fondamentale (l'algebra ti dice niente?)
Se poi le affermazioni/proposizioni/teoremi così fatti e costruiti sono del gran "vaccate", inconsistenti e contraddittori, è un altro paio di maniche.
Cordialmente, Alex
E per fortuna che è così ... la costruzione e manipolazione delle varie proposizioni secondo le regole della logica non può e non deve dipendere dal loro contenuto, l'astrazione è fondamentale (l'algebra ti dice niente?)
Se poi le affermazioni/proposizioni/teoremi così fatti e costruiti sono del gran "vaccate", inconsistenti e contraddittori, è un altro paio di maniche.
Cordialmente, Alex
cosa avresti da dire del mio esempio ?
dai , scrivi la negazione della mia proposizione
ti faccio notare che implicitamente hai detto che la negazione di una proposizione falsa non deve essere per forza vera ; l'algebra dice esattamente il contrario
e non fare il saputello con me
"l'algebra ti dice niente?'"
ma come **** ti permetti!!!!!!!!!!
dai , scrivi la negazione della mia proposizione
ti faccio notare che implicitamente hai detto che la negazione di una proposizione falsa non deve essere per forza vera ; l'algebra dice esattamente il contrario
e non fare il saputello con me
"l'algebra ti dice niente?'"
ma come **** ti permetti!!!!!!!!!!
Apri un altro thread se vuoi parlarne, qui ho già detto troppo (anche se l'ho ritenuto utile per l'OP) e stiamo andando OT.
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
"apri un altro thread se vuoi parlarne"
adesso ci mettiamo anche a dare gli ordini
ribadisco il concetto
se p è falsa e tu pretendi di averne scritto la negazione, la tua scrittura è sbagliata se non viene fuori una proposizione vera
e in generale ,qualsiasi sia il contenuto di una proposizione, per quanto l'algebra sia astratta, non puoi scrivere delle cose a **** e pretendere che siano delle negazioni scritte correttamente
quindi se Sara applica alla mia proposizione lo stesso ragionamento fatto con la sua proposizione sbaglia l'esercizio perchè da una proposizione falsa ne genera un'altra falsa
un 'ultima cosa : dietro ai tuoi "cordialmente" si nasconde una persona viscida e provocatrice
che sei un provocatore lo si evince da come entri nelle discussioni
ti posso assicurare che ,se nel momento in cui io stessi parlando con una persona tu ti intromettessi dicendo "non gli dar retta" ,indipendentemente dal fatto che stessi dicendo una cazzata o no,un ****tto in faccia da me lo prenderesti di sicuro
e adesso bannatemi pure, mi fa piacere , ci sono varie persone sgradevoli che ho incontrato in questo sito e rivendico con orgoglio di avere giustamente mandato affanculo in uno dei miei primi post un utente stupido e arrogante; quell'utente, come molti di quelli che scrivono qui,sta facendo sprecare molte migliaia di euro in tasse universitarie ai suoi genitori; se poi se le paga lui gli consiglio di spenderli in maniera più gratificante
tornando a noi, se poi non mi bannate per me non cambia niente, ma la fatica di scrivere all'adm per essere "cancellato" non la farò
continuerò a visitare il sito e risolverò per il solo mio piacere gli esercizi proposti
adesso ci mettiamo anche a dare gli ordini
ribadisco il concetto
se p è falsa e tu pretendi di averne scritto la negazione, la tua scrittura è sbagliata se non viene fuori una proposizione vera
e in generale ,qualsiasi sia il contenuto di una proposizione, per quanto l'algebra sia astratta, non puoi scrivere delle cose a **** e pretendere che siano delle negazioni scritte correttamente
quindi se Sara applica alla mia proposizione lo stesso ragionamento fatto con la sua proposizione sbaglia l'esercizio perchè da una proposizione falsa ne genera un'altra falsa
un 'ultima cosa : dietro ai tuoi "cordialmente" si nasconde una persona viscida e provocatrice
che sei un provocatore lo si evince da come entri nelle discussioni
ti posso assicurare che ,se nel momento in cui io stessi parlando con una persona tu ti intromettessi dicendo "non gli dar retta" ,indipendentemente dal fatto che stessi dicendo una cazzata o no,un ****tto in faccia da me lo prenderesti di sicuro
e adesso bannatemi pure, mi fa piacere , ci sono varie persone sgradevoli che ho incontrato in questo sito e rivendico con orgoglio di avere giustamente mandato affanculo in uno dei miei primi post un utente stupido e arrogante; quell'utente, come molti di quelli che scrivono qui,sta facendo sprecare molte migliaia di euro in tasse universitarie ai suoi genitori; se poi se le paga lui gli consiglio di spenderli in maniera più gratificante
tornando a noi, se poi non mi bannate per me non cambia niente, ma la fatica di scrivere all'adm per essere "cancellato" non la farò
continuerò a visitare il sito e risolverò per il solo mio piacere gli esercizi proposti
"l'abatefarina":
"apri un altro thread se vuoi parlarne"
adesso ci mettiamo anche a dare gli ordini
ribadisco il concetto
se p è falsa e tu pretendi di averne scritto la negazione, la tua scrittura è sbagliata se non viene fuori una proposizione vera
e in generale ,qualsiasi sia il contenuto di una proposizione, per quanto l'algebra sia astratta, non puoi scrivere delle cose a **** e pretendere che siano delle negazioni scritte correttamente
quindi se Sara applica alla mia proposizione lo stesso ragionamento fatto con la sua proposizione sbaglia l'esercizio perchè da una proposizione falsa ne genera un'altra falsa
un 'ultima cosa : dietro ai tuoi "cordialmente" si nasconde una persona viscida e provocatrice
che sei un provocatore lo si evince da come entri nelle discussioni
ti posso assicurare che ,se nel momento in cui io stessi parlando con una persona tu ti intromettessi dicendo "non gli dar retta" ,indipendentemente dal fatto che stessi dicendo una cazzata o no,un ****tto in faccia da me lo prenderesti di sicuro
e adesso bannatemi pure, mi fa piacere , ci sono varie persone sgradevoli che ho incontrato in questo sito e rivendico con orgoglio di avere giustamente mandato affanculo in uno dei miei primi post un utente stupido e arrogante; quell'utente, come molti di quelli che scrivono qui,sta facendo sprecare molte migliaia di euro in tasse universitarie ai suoi genitori; se poi se le paga lui gli consiglio di spenderli in maniera più gratificante
tornando a noi, se poi non mi bannate per me non cambia niente, ma la fatica di scrivere all'adm per essere "cancellato" non la farò
continuerò a visitare il sito e risolverò per il solo mio piacere gli esercizi proposti
Scusate ma ho solo letto ora mi dispiace che un mio post ha generato tutto ciò comunque l’esercizio di basa sulla negazione cioè tramite questo esercizio il prof vuole vedere se sai negare le formule( Ad esempio con de Morgan nel caso sia necessario) e non vedere se una frase sia vera o falsa perché su questo nella prova c’è un’altro esercizio fatto con le tavole di verità dove data un’espressione si vuole verificare se è una tautologia. Mi dispiace aver creato tutto ció con un esercizio, scusatemi in tanto grazie ad entrambi
"axpgn":
@sara09
Premesso che sarebbe utile conoscere se quel $a$ è un insieme oppure no (presumo di sì ma le informazioni non sono sufficienti), io risponderei così:
i) per me è vera perché per quel che ricordo due insiemi sono uguali se contengono gli stessi elementi, non contano né l'ordine né la ripetizione. IMHO
ii) vera
iii) falsa
iv) vera; ${a}$ è un sottoinsieme di ${a}$
v) falsa
vi) vedi la iv)
vii) falsa; abbiamo un insieme che contiene come elemento l'insieme vuoto ma questo insieme non è un sottoinsieme di ${a, {Ø}}$
viii) vera
ix) falsa; l'insieme vuoto non è un elemento di quell'insieme
x) vera; l'insieme vuoto è sempre un sottoinsieme di qualsiasi insieme.
Forse ...
Cordialmente, Alex
Per la prima avevo pensato che in singleton di a ha solo un elemento mentre l’insieme {a,a} ha due elementi che però giustamente sarebbe 1 perché a=a. Per quanto riguarda cosa è “a” non lo so, la traccia dice solo che a è diversa dall’insieme vuoto
[xdom="gugo82"]@ sara09: Stavolta non hai nulla di cui dispiacerti.
Se certi utenti non hanno toni civili durante una conversazione non è certo colpa tua.
Elimino i post OT e prego gli utenti intervenuti a parlare di certe questioni in PM.[/xdom]
Se certi utenti non hanno toni civili durante una conversazione non è certo colpa tua.
Elimino i post OT e prego gli utenti intervenuti a parlare di certe questioni in PM.[/xdom]
Volevo rispondere, perché non lo ritengo OT, siccome stai spiegando delle cose "sbagliate" in relazione alla domanda del OP. Ma se un moderatore ritiene che la mia risposta sia OT, posso toglierla.
No. Tu assegni un valore di verità alla proposizione seguente
\[ (\forall a \in Z)(y>3 \Rightarrow a \neq 4 )\]
Questa proposizione può essere vera o falsa, questo dipende da cosa sono \(a,y,Z\). Ma è logicamente corretto scrivere una proposizione falsa, anzi spesso è più facile dimostrare che una proposizione è falsa piuttosto che dimostrare che la sua negazione è vera. Quindi il fatto che vi sia una proposizione "falsa" non è importante.
Se ho capito bene tu stai dicendo, la negazione di
\[ (\forall a \in Z)(y>3 \Rightarrow a \neq 4 )\]
è
\[ (\exists a \in Z)(y>3 \text{non implica} a \neq 4 )\]
e non è come dice axpgn
\[ (\exists a \in Z)(y>3 \wedge a = 4 )\]
Il problema è la lingua italiana, noi quando in italiano vogliamo negare la proposizione \( y > 3 \) implica \(a \) diverso da \(4\), diremmo giustamente \( y > 3 \) non implica \(a \) diverso da \(4\), il problema è che in logica non esiste \( \neg \Rightarrow\) o meglio, la frase da te scritta è più corretto scriverla
\[ \neg( y > 3 \Rightarrow a \neq 4) \]
che in italiano leggeremmo: "non" ( \(y >3\) implica \(a\) diverso da \(4\) ) che è un casino poiché in italiano non ci sono le parentesi, mentre qui sono molto importanti. Più in generale abbiamo che
\[ \neg ( A \Rightarrow B) \Leftrightarrow A \wedge \neg B \]
ovvero la proposizione di sinsitra è equivalente a quella di destra. Pertanto se accetti che la negazione della frase è
" \( y > 3 \) non implica \(a \) diverso da \(4\) " è equivalente a dire "\( y > 3 \) e \(a = 4 \)"
Infatti la negazione della frase
\[ (\forall a \in Z)(y>3 \Rightarrow a \neq 4 )\]
è corretto essere
\[ (\exists a \in Z)\neg(y>3 \Rightarrow a \neq 4 )\]
che è equivalente a
\[ (\exists a \in Z)(y>3 \wedge a = 4 )\]
Puoi pensarla così, prendi i valori di verità dell'implicazione \( A \Rightarrow B\). Indico con F=falso, V=vero.
\( A \) |\(B\) | \( A \Rightarrow B \) | \( \neg ( A \Rightarrow B)\)
-----------------------------------
\( F \) |\(V\) | \( \ \ \ \ \) \( V\) \( \ \ \ \ \) | \( \ \ \ \ \) \(F\)
-----------------------------------
\( F \) |\(F\) | \( \ \ \ \ \) \( V\) \( \ \ \ \ \) | \( \ \ \ \ \) \(F\)
-----------------------------------
\( V \) |\(V\) | \( \ \ \ \ \) \( V\) \( \ \ \ \ \) | \( \ \ \ \ \) \(F\)
-----------------------------------
\( V \) |\(F\) | \( \ \ \ \ \) \( F\) \( \ \ \ \ \) | \( \ \ \ \ \) \(V\)
Come puoi vedere ad esempio la proposizione
\[ (\forall a \in Z)(y>3 \Rightarrow a \neq 4 )\]
potrebbe essere vera se \( y \leq 3 \), indipendentemente dal valore di verità di \(a \neq 4\). Detto ciò, vediamo invece la tavola di verità di \(A \wedge \neg B\), sapendo che la congiunzione logica è vera solo se entrambe sono vere.
\( A \) |\(B\) |\(\neg B\) | \(A \wedge \neg B\)
-----------------------------------
\( F \) |\(V\) | \( F\) | \( \ \ \ \ \) \(F\)
-----------------------------------
\( F \) |\(F\) | \( V\) | \( \ \ \ \ \) \(F\)
-----------------------------------
\( V \) |\(V\) | \( F\) | \( \ \ \ \ \) \(F\)
-----------------------------------
\( V \) |\(F\) | \( V\) | \( \ \ \ \ \) \(V\)
come puoi notare hanno la stessa tavola di verità. Quindi sono equivalenti, ed entrambi avete ragione.
Che ha senso anche nel tuo esempio di giocata, anche se dovresti definire cos'è giocata. Ad esempio prendiamo il gioco della roulette. Diciamo che una giocata è puntare una quantità \( y \) di euro su una possibile uscita dei numeri. Ad esempio 10 euro che esce il rosso, oppure 2 euro che esce il numero 19.
La frase
(Per ogni giocata \(a\))(\( y>3 \Rightarrow a \neq \text{vittoria} \) ) è falsa proprio perché è vera la sua negazione.
(Esiste almeno una giocata \(a\)) \(\neg\)(\( y>3 \Rightarrow a \neq \text{vittoria} \) )
o equivalentemente
(Esiste almeno una giocata \(a\)) (\( y>3 \wedge a = \text{vittoria} \) )
ti faccio notare che in entrambi i casi non significa che vinci di sicuro. Ma questa giocata esiste, se io puntassi 100 euro (maggiore di 3) sul numero 19, è possibile che esce il numero 19 e quindi che la mia giocata sia vincente (anche se è molto improbabile che succeda), l'errore che fanno i giocatori è proprio questo, ovvero leggere quella frase con, se esiste quella giocata che mi permette di vincere allora vincerò. Questo non è vero, l'esistenza di una giocata che mi permette di vincere non implica che quella giocata sarà la mia, semplicemente che tra tutte le possibilità c'è almeno una che è vincente.
a parte il fatto che ora che ci penso , a rigor di logica è proprio senza senso la proposizione
se si esordisce per ogni a appartenente a Z , vuol dire che tra queste a c'è anche il 4 e quindi come fa y>3 a implicare che a sia diverso da 4
No. Tu assegni un valore di verità alla proposizione seguente
\[ (\forall a \in Z)(y>3 \Rightarrow a \neq 4 )\]
Questa proposizione può essere vera o falsa, questo dipende da cosa sono \(a,y,Z\). Ma è logicamente corretto scrivere una proposizione falsa, anzi spesso è più facile dimostrare che una proposizione è falsa piuttosto che dimostrare che la sua negazione è vera. Quindi il fatto che vi sia una proposizione "falsa" non è importante.
"l'abatefarina":
facciamo questo esempio che già ha il pregio di essere una proposizione sensata , nonostante sia molto somigliante alla schifezza scritta nel testo
$ foralla $ giocata al lotto ,puntata $ y>3 $ euro $ rArr $ $ a $ giocata $ != $ vittoria
questa proposizione è falsa , quindi la sua negazione è vera
secondo il ragionamento che è stato fatto in questa discussione , siccome è comparso un "per ogni", nella negazione dovrà comparire un "esiste"(sara l'ha detto più volte)
quindi,sempre secondo questo ragionamento, la proposizione esiste $ a $ giocata,$ y>3 $ e $ a= $ vittoria è la sua negazione e quindi è vera( sara ha dato proprio una risposta di questo tipo: esiste $ a in Z ,y>3 $ e $ a=4 $)
beh, ci sono persone che con questo ragionamento si sono rovinate, magari giocando non 3euro ma 30 euro su un terno per un numero elevatissimo di volte ( e che cavolo, ci sarà una volta in cui questi maledetti tre numeri usciranno)
la proposizione vera è $ y>3 $ euro non implica che $ a $ sia diverso da vittoria (ma la vittoria potrebbe comunque non arrivare mai)
Se ho capito bene tu stai dicendo, la negazione di
\[ (\forall a \in Z)(y>3 \Rightarrow a \neq 4 )\]
è
\[ (\exists a \in Z)(y>3 \text{non implica} a \neq 4 )\]
e non è come dice axpgn
\[ (\exists a \in Z)(y>3 \wedge a = 4 )\]
Il problema è la lingua italiana, noi quando in italiano vogliamo negare la proposizione \( y > 3 \) implica \(a \) diverso da \(4\), diremmo giustamente \( y > 3 \) non implica \(a \) diverso da \(4\), il problema è che in logica non esiste \( \neg \Rightarrow\) o meglio, la frase da te scritta è più corretto scriverla
\[ \neg( y > 3 \Rightarrow a \neq 4) \]
che in italiano leggeremmo: "non" ( \(y >3\) implica \(a\) diverso da \(4\) ) che è un casino poiché in italiano non ci sono le parentesi, mentre qui sono molto importanti. Più in generale abbiamo che
\[ \neg ( A \Rightarrow B) \Leftrightarrow A \wedge \neg B \]
ovvero la proposizione di sinsitra è equivalente a quella di destra. Pertanto se accetti che la negazione della frase è
" \( y > 3 \) non implica \(a \) diverso da \(4\) " è equivalente a dire "\( y > 3 \) e \(a = 4 \)"
Infatti la negazione della frase
\[ (\forall a \in Z)(y>3 \Rightarrow a \neq 4 )\]
è corretto essere
\[ (\exists a \in Z)\neg(y>3 \Rightarrow a \neq 4 )\]
che è equivalente a
\[ (\exists a \in Z)(y>3 \wedge a = 4 )\]
Puoi pensarla così, prendi i valori di verità dell'implicazione \( A \Rightarrow B\). Indico con F=falso, V=vero.
\( A \) |\(B\) | \( A \Rightarrow B \) | \( \neg ( A \Rightarrow B)\)
-----------------------------------
\( F \) |\(V\) | \( \ \ \ \ \) \( V\) \( \ \ \ \ \) | \( \ \ \ \ \) \(F\)
-----------------------------------
\( F \) |\(F\) | \( \ \ \ \ \) \( V\) \( \ \ \ \ \) | \( \ \ \ \ \) \(F\)
-----------------------------------
\( V \) |\(V\) | \( \ \ \ \ \) \( V\) \( \ \ \ \ \) | \( \ \ \ \ \) \(F\)
-----------------------------------
\( V \) |\(F\) | \( \ \ \ \ \) \( F\) \( \ \ \ \ \) | \( \ \ \ \ \) \(V\)
Come puoi vedere ad esempio la proposizione
\[ (\forall a \in Z)(y>3 \Rightarrow a \neq 4 )\]
potrebbe essere vera se \( y \leq 3 \), indipendentemente dal valore di verità di \(a \neq 4\). Detto ciò, vediamo invece la tavola di verità di \(A \wedge \neg B\), sapendo che la congiunzione logica è vera solo se entrambe sono vere.
\( A \) |\(B\) |\(\neg B\) | \(A \wedge \neg B\)
-----------------------------------
\( F \) |\(V\) | \( F\) | \( \ \ \ \ \) \(F\)
-----------------------------------
\( F \) |\(F\) | \( V\) | \( \ \ \ \ \) \(F\)
-----------------------------------
\( V \) |\(V\) | \( F\) | \( \ \ \ \ \) \(F\)
-----------------------------------
\( V \) |\(F\) | \( V\) | \( \ \ \ \ \) \(V\)
come puoi notare hanno la stessa tavola di verità. Quindi sono equivalenti, ed entrambi avete ragione.
Che ha senso anche nel tuo esempio di giocata, anche se dovresti definire cos'è giocata. Ad esempio prendiamo il gioco della roulette. Diciamo che una giocata è puntare una quantità \( y \) di euro su una possibile uscita dei numeri. Ad esempio 10 euro che esce il rosso, oppure 2 euro che esce il numero 19.
La frase
(Per ogni giocata \(a\))(\( y>3 \Rightarrow a \neq \text{vittoria} \) ) è falsa proprio perché è vera la sua negazione.
(Esiste almeno una giocata \(a\)) \(\neg\)(\( y>3 \Rightarrow a \neq \text{vittoria} \) )
o equivalentemente
(Esiste almeno una giocata \(a\)) (\( y>3 \wedge a = \text{vittoria} \) )
ti faccio notare che in entrambi i casi non significa che vinci di sicuro. Ma questa giocata esiste, se io puntassi 100 euro (maggiore di 3) sul numero 19, è possibile che esce il numero 19 e quindi che la mia giocata sia vincente (anche se è molto improbabile che succeda), l'errore che fanno i giocatori è proprio questo, ovvero leggere quella frase con, se esiste quella giocata che mi permette di vincere allora vincerò. Questo non è vero, l'esistenza di una giocata che mi permette di vincere non implica che quella giocata sarà la mia, semplicemente che tra tutte le possibilità c'è almeno una che è vincente.
ringrazio molto 3m0o per la bellissima spiegazione e mi scuso con tutto il forum e in particolare con axpgn
beh , almeno la soddisfazione di sapere che avevamo ragione entrambi
comunque, io non avevo messo l'esiste, avevo scritto semplicemente come negazione
$y>3$ non implica $a!=4$
beh , almeno la soddisfazione di sapere che avevamo ragione entrambi
comunque, io non avevo messo l'esiste, avevo scritto semplicemente come negazione
$y>3$ non implica $a!=4$
"l'abatefarina":
comunque, io non avevo messo l'esiste, avevo scritto semplicemente come negazione
$y>3$ non implica $a!=4$
Beh in tal caso la tua negazione è sbagliata. Perché stai "dimenticando" un quantificatore.
Cambio esempio per semplicità di analisi, ma il principio rimane il medesimo. Analizziamo la proposizione
1) Proposizione \( P(x)\)
\[ x \in \mathbb{R} \Rightarrow (x-1) \neq 0 \]
E la negazione \( \neg P(x)\) è
\[ x \in \mathbb{R} \wedge (x-1) = 0 \]
2)
Mentre la proposizione \( Q(x)\)
\[(\forall (x-1) \in \mathbb{R})( x \in \mathbb{R} \Rightarrow (x-1) \neq 0) \]
E la negazione \( \neg Q(x)\) è
\[(\exists (x-1) \in \mathbb{R})(x \in \mathbb{R} \wedge (x-1) = 0) \]
Nel caso 1) non hai un quantificatore sulle \(x\) e neppure sulle \( x-1 \), pertanto ragioni "caso per caso", se \(x\) e \((x-1) \) vivono in \( \mathbb{R} \) è falso o vero a dipendenza del valore che scegli per \(x\). E siccome non hai quantificatori cambia singolarmente. Ad esempio fissi \(x=2\) la proposizione \( P(2)\) è vera infatti \( 2 \in \mathbb{R} \Rightarrow (2-1) \neq 0 \)
mentre se scegli \(x=1\) la proposizione \(P(1) \) è falsa. Perché \( 1 \in \mathbb{R} \wedge (1-1) = 0 \).
Nel caso 2) La proposizione \(Q(x)\) è falsa punto. Perché tu stai prendendo in esame tutti i possibili valori di \((x-1)\) e fra questi esiste uno che soddisfa l'ipotesi \( x \in \mathbb{R} \) e \(x-1 = 0 \). Ad esempio \(x=1\) soddisfa l'ipotesi che \(1 \in \mathbb{R} \) e \( 1-1=0\).
Però nota bene che esiste almeno un valore \(c\) che verifica la negazione, che è ben diverso dall'affermare che per ogni valore di \(x\) la negazione è verificata, o ancora è differente dall'affermare semplicemente \( x \in \mathbb{R} \wedge (x-1) \neq 0 \) perché stai togliendo il quantificatore e quindi cambi il senso semantico e sintattico della proposizione. Morale della favola: i quantificatori sono importanti e non vanno tralasciati, perché cambia il senso della frase. Ed in generale se \( \varphi \) è una formula allora
\[ \neg ( \forall x \phi ) \Leftrightarrow \exists x \neg \phi \]
e viceversa
\[ \neg ( \exists x \phi ) \Leftrightarrow \forall x \neg \phi \]
Se ti stai chiedendo che senso abbia dire prendo tutti i valori, beh
Prendi la proposizione seguente \(R(x)\):
\[(\forall (x-1) \in \mathbb{R})( x > 3 \Rightarrow (x-1) \neq 0) \]
Perché tra tutti i possibili valori di \(x-1)\) ( quindi attualmente anche \((x-1)=0\), non c'è nessuno di questi che soddisfa l'ipotesi \( x>3\) e \( ( x-1)=0\). Infatti se \(x-1=0 \) deduci che \(x=1\) quindi l'ipotesi non è mai soddisfatta. Pertanto la proposizione \(R(x)\) è vera.
Alternativamente prendi tutti i possibili valori di \((x-1)\), e puoi verificare che sotto l'ipotesi che \(x>3\) allora è vero che \((x-1) \neq 0\).
no, ma l'esempio che avevo proposto io era senza il per ogni, per dare più senso alla proposizione
era
$y>3 rArr a !=4$
ho capito comunque che se ci fossa stato il per ogni ,anche nel caso in cui la negazione avesse portato a una frase non logica dal punto di vista del senso comune, ci sarebbe voluto l'esiste
era
$y>3 rArr a !=4$
ho capito comunque che se ci fossa stato il per ogni ,anche nel caso in cui la negazione avesse portato a una frase non logica dal punto di vista del senso comune, ci sarebbe voluto l'esiste
La proposizione potrebbe avere senso anche con il \( \forall \) a dipendenza di cosa sono \(a,y,Z\) leggi qui 
edit: mi correggo la proposizione ha senso con il \( \forall \) indipendentemente da \(a,y,Z\), ciò che dipende da \(a,y,Z\) è il valore di verità della proposizione.
"3m0o":
Se ti stai chiedendo che senso abbia dire prendo tutti i valori, beh
Prendi la proposizione seguente \(R(x)\):
\[(\forall (x-1) \in \mathbb{R})( x > 3 \Rightarrow (x-1) \neq 0) \]
Perché tra tutti i possibili valori di \((x-1)\), quindi attualmente anche \((x-1)=0\), non c'è nessuno di questi che soddisfa l'ipotesi \( x>3\) e \( ( x-1)=0\). Infatti se \(x-1=0 \) deduci che \(x=1\) quindi l'ipotesi non è mai soddisfatta. Pertanto la proposizione \(R(x)\) è vera.
Alternativamente prendi tutti i possibili valori di \((x-1)\), e puoi verificare che sotto l'ipotesi che \(x>3\) allora è vero che \((x-1) \neq 0\).
edit: mi correggo la proposizione ha senso con il \( \forall \) indipendentemente da \(a,y,Z\), ciò che dipende da \(a,y,Z\) è il valore di verità della proposizione.
sì è giusto, ripeto, un po' fuori dalla logica comune ma effettivamente l'astrazione dell'algebra porta anche a questo
ho imparato un'altra cosa
mi scuso ancora una volta con axpgn
ho imparato un'altra cosa
mi scuso ancora una volta con axpgn
"l'abatefarina":
sì è giusto, ripeto, un po' fuori dalla logica comune ma effettivamente l'astrazione dell'algebra porta anche a questo
ho imparato un'altra cosa
mi scuso ancora una volta con axpgn
Infatti questo è linguaggio del primo ordine non logica "comune"
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