Necessità della proprietà riflessiva nelle relazioni di equivalenza.
La proprietà $2$ di una relazione d' equivalenza afferma che se $a∼b$ allora $b∼a$; la proprietà $3$ afferma che se $a∼b$ e $b∼c$ allora $a∼c$. Cosa c'è di sbagliato nella seguente dimostrazione che le proprietà $2$ e $3$ implicano la proprietà $1$? Sia $a∼b$; allora $b∼a$, e dunque per la proprietà $3$ ( usando $a=c$ ) si ha $a∼a$.
Siete in grado di suggerire una proprietà alternativa alla $1$ in modo che le proprietà $2$ e $3$ implichino la $1$?
$(a∼b)^^(b∼c)=>a∼c$. Dal testo: $a=c$.
Da cui: $(a∼b)^^(b∼a)=>a∼a$.
Il fatto è che l'uguaglianza ( $a=c$ ) è una relazione d'equivalenza, quindi: $a=c=>a∼c$.
In questo modo nella proprietà transitiva, $(a∼b)^^(b∼c)$ non implica $a∼c$, in quanto è posto a priori ( ovvero non si deduce dai due termini, ma è prima imposto ). Pertanto la transitiva non è utilizzata, e si pretende che la riflessiva sia ottenuta dalla simmetrica: $(a∼b=>b∼a)=>a∼a$. Però la simmetrica non implica la riflessiva.
Se si impone la seguente proprietà: $(a∼b=>b∼a)=>((a∼b^^b∼c)=>a∼c)$ ( ovvero la simmetrica implica la transitiva ), si ottiene: $(a∼b=>b∼a)=>((a∼b^^b∼a)=>a∼a)$.
Va bene? Alla correttezza dello svolgimento sono interessato.
Siete in grado di suggerire una proprietà alternativa alla $1$ in modo che le proprietà $2$ e $3$ implichino la $1$?
$(a∼b)^^(b∼c)=>a∼c$. Dal testo: $a=c$.
Da cui: $(a∼b)^^(b∼a)=>a∼a$.
Il fatto è che l'uguaglianza ( $a=c$ ) è una relazione d'equivalenza, quindi: $a=c=>a∼c$.
In questo modo nella proprietà transitiva, $(a∼b)^^(b∼c)$ non implica $a∼c$, in quanto è posto a priori ( ovvero non si deduce dai due termini, ma è prima imposto ). Pertanto la transitiva non è utilizzata, e si pretende che la riflessiva sia ottenuta dalla simmetrica: $(a∼b=>b∼a)=>a∼a$. Però la simmetrica non implica la riflessiva.
Se si impone la seguente proprietà: $(a∼b=>b∼a)=>((a∼b^^b∼c)=>a∼c)$ ( ovvero la simmetrica implica la transitiva ), si ottiene: $(a∼b=>b∼a)=>((a∼b^^b∼a)=>a∼a)$.
Va bene? Alla correttezza dello svolgimento sono interessato.
Risposte
Premessa: sono alle prime armi con questi argomenti
non ho capito molto della tua soluzione.
Io direi che dato un insieme $ A={a,b,c,d} $ e una relazione $ R={(a,b) (b,a) (a,a) (b,c) (c,b) (b,b) (a,c) (c,a) (c,c)} $ , $ R $ soddisfi la proprietà di essere simmetrica e transitiva ma non quella di essere riflessiva, infatti $ (d,d) $ non appartiene a $ R $ e in alcun modo le proprietà 2,3 possono implicare il fatto che $ (d,d) in R $.
Non ho capito molto neanche la seconda domanda dell'esercizio. Per come ho inteso io una proprietà del tipo cercato potrebbe essere: "ogni elemento di $A$ è in relazione con almeno uno degli altri elementi di $A$ " . In questo modo si ha che $d$ è in relazione ad esempio con $a$ , $dRa$ e per la simmetria $ aRd $ e per la transitività $ dRd $.
non ho capito molto della tua soluzione.
Io direi che dato un insieme $ A={a,b,c,d} $ e una relazione $ R={(a,b) (b,a) (a,a) (b,c) (c,b) (b,b) (a,c) (c,a) (c,c)} $ , $ R $ soddisfi la proprietà di essere simmetrica e transitiva ma non quella di essere riflessiva, infatti $ (d,d) $ non appartiene a $ R $ e in alcun modo le proprietà 2,3 possono implicare il fatto che $ (d,d) in R $.
Non ho capito molto neanche la seconda domanda dell'esercizio. Per come ho inteso io una proprietà del tipo cercato potrebbe essere: "ogni elemento di $A$ è in relazione con almeno uno degli altri elementi di $A$ " . In questo modo si ha che $d$ è in relazione ad esempio con $a$ , $dRa$ e per la simmetria $ aRd $ e per la transitività $ dRd $.
Grazie.
Ci devo pensare, non vorrei essere stato precipitoso.
Ci devo pensare, non vorrei essere stato precipitoso.
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